2021_2022学年高中数学第三章不等式3.2基本不等式与最大小值课时素养评价含解析北师大版必修5202103131251.doc

1、基本不等式与最大(小)值 (20分钟35分)1.(2020南京高一检测)下列函数中,最小值为4的函数是()A.y=ex+4e-xB.y=sin x+(0x)C.y=D.y=log3x+logx81(1x1,则y2;只有D选项通过配方易得y2.2.已知正数x,y满足x+4y=4,则的最小值为()A.2B.6C.18D.28【解析】选C.由于x+4y=4,则=+=10+10+8=18,当且仅当x=8y时取等号,所以最小值为18.当且仅当=x=8yx=,y= 时等号成立.3.(2020海门高一检测)若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是()A.18B.2C.2D.6【解析】选D.因为实数

2、a,b满足a+b=2,所以3a+3b2=2=6,当且仅当3a=3b即a=b=1时取等号,所以3a+3b的最小值为6.4.(2020烟台高一检测)设x0,y0,且+=2,则x+2y的最小值为.【解析】因为x0,y0,且+=2,所以+=1,由基本不等式可得x+2y=+2+=,当且仅当x=y=时,等号成立,因此x+2y的最小值为.答案:5.已知a0,b0,且ab=1,则+的最小值为.【解析】因为a0,b0,所以a+b0,又ab=1,所以+=+=+2=4,当且仅当a+b=4时取等号,结合ab=1,解得a=2-,b=2+,或a=2+,b=2-时,等号成立.答案:46.已知x0,y0,lg x+lg y=

3、1,求+的最小值.【解析】由已知条件lg x+lg y=1,x0,y0,可得xy=10.则+=2,所以=2,当且仅当即x=2,y=5时等号成立. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共25分)1.已知函数y=x-4+(x-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b=()A.-3B.2C.3D.8【解析】选C.y=x-4+=(x+1)+-5,因为x-1,所以x+10,所以y2-5=23-5=1.当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,即a=2,b=1,所以a+b=3.2.若实数x,y满足xy0,且+=1,则x+y的最小值为() A.2B.3C.D.【解析】选D.方法一:实数x,y满足xy0

4、,且+=1,令x+y=m(x-y)+n(x+2y),得m=,n=,所以x+y=(x-y)+(x+2y)=(x-y)+2(x+2y)=(x-y)+2(x+2y)=(17+8)=.当且仅当=,即x+2y=2(x-y),x-y=5,x+2y=10,即x=,y=时,x+y=为所求.方法二:实数x,y满足xy0,且+=1,令x+y=z,则+=1,去分母,整理,得2y2+(z-15)y-z2+9z=0,由=(z-15)2-8(-z2+9z)0,得3z2-34z+750,即(z-3)(3z-25)0,解得z3或z.当z=3时,y2-6y+9=0,得y=3,x=0,与xy0矛盾;当z=时,(3y-5)2=0,

5、得y=,x=,即x+y=为所求.3.(2020郑州高一检测)已知等比数列的前n项和为Sn=a4n-1+b-1(a0,b0),则+的最小值为()A.B.C.D.【解析】选D.当n=1时,S1=a+b-1,当n2时an=Sn-Sn-1=a4n-1-a4n-2=3a4n-2,因为数列为等比数列,所以a1=a+b-1=,所以a+b=4,所以(a+b)=(+3)(+2)=.4.正项等比数列中,存在两项am,an使得=4a1,且a6=a5+2a4,则+的最小值是()A.B.2C.D.【解析】选A.在等比数列中,因为a6=a5+2a4,所以a4q2=a4q+2a4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(

6、舍去).因为=4a1,所以=4a1,即2m+n-2=16=24,所以m+n-2=4,即m+n=6,所以+=1,所以+=+2=+2=,当且仅当=,即n=2m时取等号.【误区警示】不能利用条件=4a1和a6=a5+2a4正确转化m与n的关系,是本题的易错点.5.设实数x,y满足4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是()A.1B.3C.D.【解析】选D.由4x2+y2+xy=1,得(2x+y)2=1+3xy,由于对于任意实数a,b,不等式(a+b)24ab成立,即ab,所以(2x+y)2=1+3xy=1+2xy1+,得(2x+y)2,所以-2x+y,所以2x+y的最大值是.【光速解题】本题若找

7、不到思路,可以从待求式子2x+y去观察条件式子可表示为(2x)2+y2+(2x)y=1,直接猜测y=2x时取最值.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020合肥高一检测)已知正数x,y满足2x+y=1,则+的最小值为.【解题指南】配凑可得2x+y+1=2,利用均值不等式即可求得最小值.【解析】因为2x+y=1,故可得2x+=2,故+=4+2.当且仅当=,2x+y=1时,即x=,y=2-时取得最小值.答案:4+2【补偿训练】 (2020长沙高一检测)已知x0,y0,且+=1,若x+2ym2+2m有解,则实数m的取值范围是.【解析】由题可知:若x+2y,因为+=1,且x0,y0,所以x+2y

8、=4+4+2=8,当且仅当=,即x=2y时取等号,所以m2+2m8,则m2+2m-800.所以m2,即m的取值范围为.答案:7.(2020苏州高一检测)已知x,y为正实数,且xy+2x+4y=41,则x+y的最小值为.【解析】因为x,y为正实数,且xy+2x+4y=41,可知x-4,所以y=,所以x+y=x+=(x+4)+-62-6=8,当且仅当x=3时取等号,所以x+y的最小值为8.答案:88.已知5x2y2+y4=1(x,yR),则x2+y2的最小值是.【解析】因为5x2y2+y4=1(x,yR),所以y0,所以x2=,则x2+y2=+y22=,当且仅当=y2时,即y2=,x2=时,x2+

9、y2的最小值是.答案:【光速解题】4=(5x2+y2)4y2=,故x2+y2,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=,y2=时取等号.所以=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020桂林高一检测)(1)已知x0,求函数y=的最小值;(2)已知0x0)的最小值为9.(2)因为0x0,所以y=2x(1-2x)=,当且仅当2x=1-2x,即x=时,ymax=,即该函数的最大值为.10.十九大以来,国家深入推进精准脱贫,加大资金投入,强化社会帮扶,为了服务于人民,调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有100户农民,且都从事水果种植,据了解,平均每户的年收入为2万元.为了调整产业结

10、构,调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工.据估计,若能动员x(x0)户农民从事水果加工,则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%,而从事水果加工的农民平均每户收入将为2(a0)万元.(1)若动员x户农民从事水果加工后,要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入,求x的取值范围;(2)在(1)的条件下,要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入,求a的最大值.【解析】(1)由题意(100-x)2(1+2x%)2100x-x20得0x50,由x0可得0y0,且+=1,则x+y的最小值为()A.B.C.

11、D.【解析】选B.因为2xy0,所以2x-y0,x+2y0,令,解得,则m0,n0,+=1,所以x+y=1=,当且仅当=,即m=n,即2x-y=(x+2y),即x=,y=时取等号.2.已知lg(3x)+lg y=lg(x+y+1).(1)求xy的最小值;(2)求x+y的最小值.【解析】由lg(3x)+lg y=lg(x+y+1),得(1)因为x0,y0,所以3xy=x+y+12+1,所以3xy-2-10,即3()2-2-10.所以(3+1)(-1)0.所以1,所以xy1.当且仅当x=y=1时,等号成立.所以xy的最小值为1.(2)因为x0,y0,所以x+y+1=3xy3,所以3(x+y)2-4(x+y)-40,所以3(x+y)+2(x+y)-20.所以x+y2.当且仅当x=y=1时取等号.所以x+y的最小值为2.