2021_2022学年高中数学第二章解三角形1.2余弦定理课时素养评价含解析北师大版必修5202103131244.doc

1、余 弦 定 理(20分钟35分)1.设ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a+c=2b,3sin B=5sin A,则C=()A.B.C.D.【解析】选B.因为3sin B=5sin A,所以由正弦定理可得3b=5a,所以a=b.因为a+c=2b,所以c=,所以cos C=-,因为C(0,),所以C=.【补偿训练】在ABC中,sin2A-sin2C-sin2B=sin Csin B,则A等于()A.60B.45C.120D.30【解析】选C.由正弦定理得a2-c2-b2=bc,结合余弦定理得cos A=-,又A(0,),所以A=120.2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a

2、,b,c,下列结论不正确的是()A.a2=b2+c2-2bccos AB.asin B=bsin AC.a=bcos C+c cos BD.acos B+bcos A=sin C【解析】选D.选项A,是余弦定理,所以该选项正确;选项B,实际上是正弦定理=的变形,所以该选项是正确的;选项C,由于sin A=sin(B+C),所以sin A=sin Bcos C+cos Bsin C,所以a=bcos C+ccos B,所以该选项正确;选项D,acos B+bcos A=2R(sin Acos B+sin Bcos A)=2Rsin C(R为ABC的外接圆半径),不一定等于sin C,所以该项是错

3、误的.3.在ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.cos B=+,因为0B,所以B.4.已知在ABC中,AB=7,BC=5,CA=6,则=.【解析】在ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB,则=cacos B=ca=(a2+c2-b2)=(52+72-62)=19.答案:195.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是.【解析】只需让3和a所对的边均为锐角即可.故解得2a.答案:2a6.在ABC中,若ccos B=bcos C,cos A=.(1)求sin B的值.(2)若b=2,求a.【解析】方法一:(1

4、)由ccos B=bcos C,结合正弦定理得sin Ccos B=sin Bcos C,故sin(B-C)=0,因为0B,0C,所以-B-C,所以B-C=0,B=C,故b=c.因为cos A=,所以由余弦定理得3a2=2b2,再由余弦定理得cos B=,故sin B=.(2)由(1)知b=c=2,所以a2=b2+c2-2bccos A=4+4-222=,则a=.方法二:(1)由余弦定理和ccos B=bcos C得c=b,化简得b=c,cos A=,故3a2=2b2,即a=b,又由cos A=,知sin A=,由正弦定理得sin B=.(2)因为cos A=,所以sin A=,由正弦定理得a

5、=.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cos2=,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.因为cos2=及2cos2-1=cos A,所以cos A=,即=,所以a2+b2=c2,则ABC是直角三角形.2.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,=,则A=()A.B.C.D.【解析】选B.因为=,所以由正弦定理得=,化简得b2+c2-a2=bc,所以cos A=.又因为0A0,所以sin B-cos B=0,即tan B=,解得B=,由余弦定

6、理得b2=a2+c2-2acosB=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-3b2,即4b2=(a+c)2,解得=2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=b,cos B=cos C,a=,则SABC=.【解析】因为cos B=cos C,所以=,结合c=b,化简得a=b,从而有b2+c2=a2,即ABC为直角三角形,将c=b,a=代入b2+c2=a2,得b=1,于是c=,所以SABC=bc=.答案:【补偿训练】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2=b2+c2,则的值为.【解析】因为a2=b2+c2,所以b2

7、=a2-c2.所以cos B=.所以=.答案:7.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccos A+accos B+abcos C的值是.【解析】因为cos A=,所以bccos A=(b2+c2-a2).同理accos B=(a2+c2-b2),abcos C=(a2+b2-c2),所以bccos A+accos B+abcos C=(a2+b2+c2)=.答案:8.若ABC为钝角三角形,三边长分别为2,3,x,则x的取值范围是.【解析】若x3,则x所对角的余弦值x,解得x5.若x3,则3所对角的余弦值3,解得1x.故x的取值范围是(1,)(,5).

8、答案:(1,)(,5)三、解答题(每小题10分,共20分)9.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+b)(a-b)=c(c-b).(1)求角A的大小;(2)若a=bcos C,c=2,求ABC的面积S.【解析】(1)由a2-b2=c2-bc,可得cos A=,又A(0,),所以A=.(2)由正弦定理得sin A=sin(B+C)=sin Bcos C,即cos Bsin C=0.因为sin C0,故cos B=0,所以B=,又c=2,所以a=2,所以S=2.10.(2020全国卷)ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.(1)求A;(2)若BC=

9、3,求ABC周长的最大值.【解析】(1)因为sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C,所以由正弦定理得:BC2-AC2-AB2=ACAB,所以cos A=-,因为A(0,),所以A=.(2)由(1)知A=,又BC=3,所以由余弦定理得:BC2=AC2+AB2-2ACABcos A=AC2+AB2+ACAB=9,即(AC+AB)2-ACAB=9.因为ACAB(当且仅当AC=AB时取等号),所以9=(AC+AB)2-ACAB(AC+AB)2-=(AC+AB)2,解得:AC+AB2(当且仅当AC=AB时取等号),所以ABC的周长=AC+AB+BC3+2,所以ABC周长的最大值为3+2

10、.1.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为ABC的面积,sin(A+C)=,且A,B,C成等差数列,则C的大小为.【解析】在ABC中,由A,B,C成等差数列,可得2B=A+C=-B,即B=,sin(A+C)=,即为sin B=,即有b2=c2+ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,即有a=2c,b=c,cos C=,又因为C为三角形的内角,所以C=.答案:2.如图,ABC的顶点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0).(1)若c=5,求sin A的值;(2)若A为钝角,求c的取值范围.【解析】(1)因为A(3,4),B(0,0),所以AB=5,当c=5时,BC=5,所以AC= =2.由余弦定理知cos A=.因为0A,所以sin A= =.(2)因为A(3,4),B(0,0),C(c,0),所以AC2=(c-3)2+42,BC2=c2,由余弦定理得cos A=.因为A为钝角,所以cos A0,即AB2+AC2-BC20,所以52+(c-3)2+42-c2=50-6c.故c的取值范围为.