2021_2022版高中数学第一章解三角形1.2.3三角形中的几何计算素养评价检测含解析新人教A版必修520210317290.doc

1、三角形中的几何计算 (20分钟35分)1.在ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,A=,c=2,SABC=,则a=()A.B.3C.D.7【解析】选A.依题意SABC=bcsin A=2b=,所以b=1,故由余弦定理得a=.2.已知ABC中,|=3,|=4,且=-6,则ABC的面积是()A.3B.3C.6D.6【解析】选A.=|cos(180-C)=-6,代入数据得cos(180-C)=-,解得cos C=,那么sin C=,所以SABC=|sin C=34=3.3.三角形的一边长为14,这条边所对的角为60,另两边之比为85,则这个三角形的面积为()A.40B.20C.40D.20

2、【解析】选A.设另两边长为8x,5x,cos 60=,解得x=2,所以另两边长为16,10,三角形面积S=1610sin 60=40.4.(2020宁波高二检测)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足面积S=a2-(b2+c2),则cos A=()A.B.C.-D.【解析】选C.由题意S=bcsin A=a2-(b2+c2),则sin A=-=-cos A,即sin A=-4cos A,因为sin2A+cos2A=1,所以cos2A=,因为sin A0,所以cos A0,所以cos A=-.【补偿训练】(2018全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的

3、面积为,则C=()A.B.C.D.【解析】选C.由题意知SABC=absin C=,所以a2+b2-c2=2absin C,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,所以sin C=cos C,因为C(0,),所以C=.5.在ABC中,角A,B,C的对边a,b,c满足b2+c2=a2+bc,且bc=8,则ABC的面积为_.【解析】因为b2+c2=a2+bc,所以cos A=,所以A=,三角形面积S=bcsin A=8=2.答案:26.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知acos B=4(c-1)cos A,b=4.(1)求tan A的值;(2)若点M为BC的中点,AM=,

4、求ABC的面积.【解析】(1)因为acos B=4(c-1)cos A,b=4,所以acos B=(4c-b)cos A,由正弦定理得:sin Acos B=(4sin C-sin B)cos A,即sin Acos B+cos Asin B=4sin Ccos A,即sin C=4cos Asin C,在ABC中,sin C0,所以cos A=,sin A=,得tan A=.(2)由M为BC的中点,得+=2,两边平方得:+2=4,由b=4,|=AM=,cos A=,sin A=,得c2+b2+2cb=410,可得c2+16+2c=40,解得:c=4或c=-6(舍),所以ABC的面积S=bcs

5、in A=2.【补偿训练】 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=,求角A的大小.【解析】(1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故 0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,因为si

6、n B0,所以sin C=cos B.又B,C(0,),所以C=B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020郑州高二检测)在ABC中,AC=2,BC=4,B=,则ABC的面积等于()A.B.2C.2D.3【解析】选C.因为AC=2,BC=4,B=,由余弦定理AC2=BC2+AB2-2BCABcos B,可得12=16+AB2-2AB4,可得(AB-2)2=0,解得AB=2,所以SABC=ABBCsin B=24=2.2.(2020榆林高二检测)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2=(a-

7、b)2+6,C=,则ABC的面积是()A.B.C.D.3【解析】选A.根据余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,即c2=a2+b2-ab,又c2=(a-b)2+6,即c2=a2+b2-2ab+6,两式相减,得ab=6,所以ABC的面积为S=absin C=6sin =.3.在ABC中,AC=,BC=2,B=60,则BC边上的高等于()A.B.C.D.【解析】选B.设AB=c,由余弦定理知AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即7=c2+4-22c,即c2-2c-3=0,所以c=3或c=-1(负值舍去).设BC边上的高等于h,由三角形面积公式SABC=ABBCsin B=BCh

8、,即32sin 60=2h,解得h=.4.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则三角形的面积为()A.2B.8C.D.【解析】选C.因为=2R=8,所以sin C=,所以SABC=absin C=.5.ABC的周长为20,面积为10,A=60,则BC的边长等于()A.5B.6C.7D.8【解析】选C.如图,由题意得则bc=40,a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(20-a)2-340,所以a=7.【补偿训练】 在ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,已知cos B=,ABC的面积为9,且tan=2,则边长a的值为()A.3B.6C.4D.

9、2【解析】选A.因为tan=2,解得tan A=,所以解得sin A=,cos A=,则sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=+=,由正弦定理得=,故c=2a,又SABC=acsin B=9,即ac=18,所以2a2=18,解得a=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=_.【解析】如图,连接正六边形的对角线,将正六边形分成六个边长为1的正

10、三角形,从而S6=612sin 60=.答案:【补偿训练】 我国南宋著名数学家秦九韶在数书九章的“田域类”中写道:“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何”.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13,14,15里,求三角形沙田的面积.则此田面积为_平方里.【解析】由题意画出图形:且AB=13里,BC=14里,AC=15里,在ABC中,由余弦定理得,cos B=,所以sin B=,则该沙田的面积:即ABC的面积S=ABBCsin B=1314=84(平方里).答案:847.(2020全国卷)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=,ABA

11、C,ABAD,CAE=30,则cosFCB=_.【解析】因为ABAC,AB=,AC=1,由勾股定理得BC=2,同理得BD=,所以BF=BD=,在ACE中,AC=1,AE=AD=,CAE=30,由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2ACAEcos30=1+3-21=1,所以CF=CE=1,在BCF中,BC=2,BF=,CF=1,由余弦定理得cosFCB=-.答案:-8.如图,在四边形ABCD中,AC=CD=AB=1,=1,sin BCD=.则四边形ABCD的面积为_.【解析】因为AC=CD=AB=1,所以=|cos BAC=2cos BAC=1,所以cos BAC=,所以BAC=60.在ABC中

12、,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2ABACcos BAC=22+12-221=3,所以BC=.在ABC中,有AB2=BC2+AC2,所以ABC为直角三角形,且ACB=90,所以SABC=BCAC=1=.又BCD=ACB+ACD=90+ACD,sin BCD=,所以cos ACD=,从而sin ACD=,所以SACD=ACCDsin ACD=11=,所以S四边形ABCD=SABC+SACD=+=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:-=c.【证明】由余弦定理的推论得cos B=,cos A=,代入等式右边,得右边=c=-=左

13、边,所以-=c.10.如图,在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=4,b=2,2ccos C=b,D,E分别为线段BC上的点,且BD=CD,BAE=CAE.(1)求线段AD的长;(2)求ADE的面积.【解析】(1)因为c=4,b=2,2ccos C=b,所以cos C=.由余弦定理得cos C=,所以a=4(负值舍去),即BC=4.在ACD中,CD=2,AC=2,所以AD2=AC2+CD2-2ACCDcos ACD=22+22-222=6,所以AD=.(2)因为BAE=CAE,所以=2.又=,所以=2,所以EC=BC=,DE=2-=.又因为cos C=,所以sin C=.所

14、以SADE=SACD-SACE=DCACsin C-ECACsin C=DEACsin C=.1.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则ABC的面积S=.若a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为()A.B.2C.3D.【解析】选A.根据正弦定理及a2sin C=4sin A,得ac=4.再结合(a+c)2=12+b2,得a2+c2-b2=4,则S=.2.如图,郊外有一边长为200 m的菱形池塘ABCD,塘边AB与AD的夹角为,拟架设三条网隔BE,BF,EF,把池塘分成几个不同区域,其中网隔BE与BF相互垂直,E,F两点分别在塘边AD和DC上,区域BEF为荷花种植区域.记ABE=,荷花种植区域的面积为S m2.(1)求S关于的函数关系式;(2)求S的最小值.【解析】(1)=,=,所以BE=,BF=.所以S=.(2)令f()=cos2+sin cos =+sin 2=+sin,所以当=时,f()有最大值+1,此时S有最小值为(120 000-60 000) m2.