广东省河源市龙川一中2015届高三数学下学期第二次调研试卷理含解析.doc

1、2014-2015学年广东省河源市龙川一中高三（下）第二次调研数学试卷（理科）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|y=lnx，集合B=2，1，1，2，则AB=( )A（0，+）B1，2C（1，2）D1，22在四边形ABCD中，且|=|，那么四边形ABCD为( )A平行四边形B菱形C长方形D正方形3在等差数列an中，若a1+a5+a9=，则tan（a4+a6）=( )ABC1D14给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的( )条件A充要B充分非必要C必要非充分D既非充

2、分又非必要5如图所示的程序框图，若输入n=3，则输出结果是( )A2B4C8D16ABC中，AB=，AC=1，B=30，则ABC的面积等于( )ABCD7从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A140种B120种C35种D34种8如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是( )ABCD二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（913题）9为了解某校高中学生的近视眼发

3、病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名若高三学生共抽取25名，则高一学生共抽取_名10若（a2i）i=b+i，其中a，bR，i为虚数单位，则a+b=_11曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为_12在的二项展开式中，含x11的项的系数是_13我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍你可以从给出的简单图形、中体会这个原理现在图中的曲线分别是+=1（ab0）与x2+y2=a2，运用上面的原理，图中椭圆的面积为_三.选做题（14

4、15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分）（几何证明选讲选做题）14（几何证明选做题）已知AB是圆O的直径，AB=2，AC和AD是圆O的两条弦，则CAD的度数是_（坐标系与参数方程选做题）15极坐标方程分别为=cos与=sin的两个圆的圆心距为_四、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16已知向量=（cosx，sinx），=（cosx，cosx），=（1，0）（）若，求向量、的夹角；（）当时，求函数的最大值17如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD=90，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点（1）求证：PA平面

5、ABCD；（2）求异面直线EF与BD所成角的余弦值18（14分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响若A项技术指标达标的概率为，B项技术指标达标的概率为按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品（1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；（2）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求的分布列及E19（14分）已知数列an中，a1=3，an+1=2an1（n1）（）设bn=an1（n=1，2，3），求证：数列bn是等比数列；（）求数列an的通项公式（）设，求证：数列cn的前n项和20（14分）已知椭圆中心E

6、在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（2，0）、B（2，0）、三点（1）求椭圆E的方程：（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（1，0），H（1，0），当DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；（3）若直线l：y=k（x1）（k0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上21（14分）已知集合D=（x1，x2）|x10，x20，x1+x2=k（其中k为正常数）（1）设u=x1x2，求u的取值范围；（2）求证：当k1时不等式对任意（x1，x2）D恒成立；（3）求使不等式对任意（x1，x2）D恒成立的k2的范围2014-2015学年广东省河源市龙川一中高三

7、（下）第二次调研数学试卷（理科）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|y=lnx，集合B=2，1，1，2，则AB=( )A（0，+）B1，2C（1，2）D1，2【考点】交集及其运算 【专题】集合【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A为函数y=lnx的定义域，于是 A=（0，+），B=2，1，1，2，AB=1，2，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2在四边形ABCD中，且|=|，那么四边形ABCD为( )A平行四边形B菱形C长方形D正方形【考点】向量在几何中的应用 【专题】常规题型【分

8、析】根据，以及共线向量定理可得ABCD，且AB=CD，从而可知在四边形ABCD是平行四边形，又由|=|得四边形ABCD的一组邻边相等，因此得到四边形ABCD为菱形【解答】解：由=可得四边形ABCD是平行四边形，由|=|得四边形ABCD的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形故选B【点评】此题是个基础题考查共线向量定理以及向量在几何中的应用，考查学生利用知识分析解决问题的能力3在等差数列an中，若a1+a5+a9=，则tan（a4+a6）=( )ABC1D1【考点】等差数列的性质；两角和与差的正切函数 【专题】计算题【分析】根据等差数列的性质，知道a5是a1与a9的等差中项，得到第五项的值

9、，根据a5是a4与a6的等差中项，得到这两项的值，求出角的正切值【解答】解：等差数列an中，a1+a5+a9=，3a5=，a4+a6=，tan（a4+a6）=tan，故选A【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差中项的应用，考查特殊角的三角函数值，本题是一个比较简单的综合题目4给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的( )条件A充要B充分非必要C必要非充分D既非充分又非必要【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】由垂直的定义，我们易得“直线l与平面垂直”“直线l与平面内无数条直线都垂直”为真命题，反之，“直线l与平面内无数条直线都垂直”“

10、直线l与平面垂直”却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论【解答】解：直线与平面内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面垂直；即“直线l与平面内无数条直线都垂直”“直线l与平面垂直”为假命题；但直线l与平面垂直时，l与平面内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面垂直”“直线l与平面内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的必要非充分条件故选C【点评】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题

11、q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系5如图所示的程序框图，若输入n=3，则输出结果是( )A2B4C8D1【考点】程序框图 【专题】规律型【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S=54的值，计算后易给出答案【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 S k循环前/1 1第一圈 是 2 2第二圈 是 4 3第三圈 是 8 4第四圈 否此时输出的S值为8故选C【点评】本题考查的

12、知识点是循环结构，其中根据已知的程序流程图分析出程序的功能是解答本题的关键6ABC中，AB=，AC=1，B=30，则ABC的面积等于( )ABCD【考点】解三角形 【专题】计算题【分析】由AB，AC及cosB的值，利用余弦定理即可列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长，然后利用三角形的面积公式，由AB，BC以及sinB的值即可求出ABC的面积【解答】解：由AB=，AC=1，cosB=cos30=，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB，即1=3+BC23BC，即（BC1）（BC2）=0，解得：BC=1或BC=2，当BC=1时，ABC的面积S=ABBCsinB=1=；

13、当BC=2时，ABC的面积S=ABBCsinB=2=，所以ABC的面积等于或故选D【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题7从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A140种B120种C35种D34种【考点】排列、组合及简单计数问题 【分析】从7个人中选4人共C74种选法，本题不可能只有女生这种情况，去掉不合题意的只有男生的选法C44就可得有既有男生，又有女生的选法【解答】解：7人中任选4人共C74种选法，去掉只有男生的选法C44，就可得有既有男生，又有女生的选法C74C44=34故选D【点评】排列

14、与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素8如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是( )ABCD【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】压轴题【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D【解答】解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所

15、以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2xcosD1BD=2是一次函数，所以排除D故选B【点评】本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（913题）9为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名若高三学生共抽取25名，则高一学生共抽取40名【考点】分层抽样方法 【专题】概率与统计【分析】根据分层抽样在各部分抽取的比例相等

16、求解【解答】解：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，高一应抽取的学生数为800=40故答案为：40【点评】本题考查了分层抽样的定义，熟练掌握分层抽样的特征是关键10若（a2i）i=b+i，其中a，bR，i为虚数单位，则a+b=3【考点】复数相等的充要条件 【专题】计算题；转化思想【分析】先化简，然后，根据复数相等的充要条件，实部与实部相等，虚部与虚部相等，求出a，b即可【解答】解：（a2i）i=b+i，化为：2+ai=b+ia=1，b=2所以a+b=3故答案为：3【点评】本题考查复数相等的概念，考查计算能力，是基础题11曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为xey

17、=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】计算题【分析】由y=lnx，知，故曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=，由此能求出曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程【解答】解：y=lnx，曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的斜率k=，曲线y=lnx在点M（e，1）处切线的方程为：y1=），整理，得xey=0故答案为：xey=0【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，是基础题解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用12在的二项展开式中，含x11的项的系数是15【考点】二项式系数的性质 【专题】计算题【分析】令二项展开式的通项中x的指数为11，求出r值，再计算系数【解答

18、】解：的二项展开式的通项为Tr+1=由203r=11，r=3含x11的项的系数是=15故答案为：15【点评】本题考查二项式定理的简单直接应用牢记公式是前提，准确计算是关键13我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍你可以从给出的简单图形、中体会这个原理现在图中的曲线分别是+=1（ab0）与x2+y2=a2，运用上面的原理，图中椭圆的面积为ab【考点】类比推理 【专题】规律型【分析】根据拨给原理的条件，先用平行于y轴的直线截椭圆+=1与圆x2+y2=a2，可得出所截得线段的比都为，再根据所

19、给的原理可知，椭圆+=1的面积是圆x2+y2=a2的面积的倍从而结合圆x2+y2=a2的面积公式即可得出椭圆+=1的面积【解答】解：图中的曲线分别是+=1（ab0）与x2+y2=a2，如果用平行于y轴的直线截椭圆+=1与圆x2+y2=a2，所截得线段的比都为，根据所给的原理可知，椭圆+=1的面积是圆x2+y2=a2的面积的倍又圆x2+y2=a2的面积为a2，椭圆+=1的面积是a2=ab故答案为：ab【点评】本题主要考查了类比推理，考查了新原理的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题三.选做题（1415题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分）（几何证明选讲选做题）1

20、4（几何证明选做题）已知AB是圆O的直径，AB=2，AC和AD是圆O的两条弦，则CAD的度数是15或75【考点】三角形中的几何计算 【专题】不等式【分析】由题意可知，OAC=45，OAD=30，再分类讨论C，D在直径AB的同侧，C，D在直径AB的两侧，即可得出结论【解答】解：由题意可知，OAC=45，OAD=30C，D在直径AB的同侧，则CAD=OACOAD=15；C，D在直径AB的两侧，则CAD=OAC+OAD=75故答案为：15或75【点评】本题考查圆的知识，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题（坐标系与参数方程选做题）15极坐标方程分别为=cos与=sin的两个圆的圆心

21、距为【考点】简单曲线的极坐标方程 【专题】计算题【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，将极坐标方程为=cos和=sin化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得【解答】解：由=cos，化为直角坐标方程为x2+y2x=0，其圆心是A（ ，0），由=sin，化为直角坐标方程为x2+y2y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故答案为：【点评】本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视四、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明

22、、证明过程和演算步骤.16已知向量=（cosx，sinx），=（cosx，cosx），=（1，0）（）若，求向量、的夹角；（）当时，求函数的最大值【考点】数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值 【专题】计算题【分析】（）先求出向量、的坐标，及向量的模，代入两个向量的夹角公式进行运算（）利用两个向量的数量积公式及三角公式，把函数的解析式化为某个角三角函数的形式，根据角的范围，结合三角函数的单调性求出函数的值域【解答】解：（）当时，cos，=，0，=（）=2sinxcosx（2cos2x1）=，故 ，当 ，即 时，f（x）max =1【点评】本意考查两个向量的夹角公式，两个向量的数量积运算以及三

23、角公式的应用，利用三角函数的单调性、有界性求其值域17如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD=90，且PA=AD，E、F分别是线段PA、CD的中点（1）求证：PA平面ABCD；（2）求异面直线EF与BD所成角的余弦值【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定 【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）由已知条件推导出PAAD，由此利用面面垂直的性质定理能证明PA平面ABCD（2）法一：取BC的中点M，连结EM、FM，则FMBD，从而EFM（或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线EF与BD所成角的余弦值法二：以A为原点，AB为x轴，

24、AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能求出异面直线EF与BD所成角的余弦值【解答】（本题满分12分）（1）证明：由于平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD而PAD=90即PAAD，且PA平面PAD由面面垂直的性质定理得：PA平面ABCD（2）解法一：取BC的中点M，连结EM、FM，则FMBD，EFM（或其补角）就是异面直线EF与BD所成的角 设PA=2，则AD=DC=CB=BA=2，RtMAE中，同理，又，MFE中，由余弦定理得，解法二：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴， AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB=2，A（0，0，0）

25、，B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（1，2，0），【点评】本题考查线面垂直的证明，考查两导面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18（14分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响若A项技术指标达标的概率为，B项技术指标达标的概率为按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品（1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；（2）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求的分布列及E【考点】离散型随机变量及其分布列；离

26、散型随机变量的期望与方差 【专题】计算题；概率与统计【分析】（1）分A项指标达标与A项指标不达标而B项技术指标达标求概率再求和即可；（2）由题意求的分布列及E【解答】解：（1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率P=+（1）=，（2）一个产品合格的概率为=，则P（=0）=，同理可求得，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，P（=4）=；故的分布列是01234PE=4=【点评】本题考查了离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力19（14分）已知数列an中，a1=3，an+1=2an1（n1）（）设bn=an1（n=1，2，3），求证：数列bn是等比数列；（

27、）求数列an的通项公式（）设，求证：数列cn的前n项和【考点】数列递推式；等比关系的确定；数列与不等式的综合 【专题】综合题；等差数列与等比数列【分析】（）将an+1=2an1转化an+11=2（an1），即可证得结论；（）由（），即可求数列an的通项公式（）利用裂项法求和，即可得到结论【解答】（）证明：an+1=2an1（n1）两边同时减去1，得an+11=2（an1）又a11=2，bn=an1bn是以a11=2为首项，q=2为公比的等比数列，（）解：由（）知an1=2n，an=2n+1（nN*）（）证明：=Sn=（）+（）+（）=即【点评】本题考查等比数列定义，考查数列的通项与求和，考查学

28、生的计算能力，属于中档题20（14分）已知椭圆中心E在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（2，0）、B（2，0）、三点（1）求椭圆E的方程：（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（1，0），H（1，0），当DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；（3）若直线l：y=k（x1）（k0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上【考点】椭圆的简单性质 【专题】综合题；方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设椭圆方程为mx2+my2=1（m0，n0），代入A，B，C的坐标，解方程可得m，n，进而得到椭圆方程；（2）运用三角形的

29、面积公式和内切圆半径与三边周长的关系，结合当D在椭圆上顶点时，面积最大，求得半径的最大值，可得圆心坐标；（3）将直线l：y=k（x1）代入椭圆E的方程，运用韦达定理，求得AM的方程和BN的方程与x=4的交点，证明它们重合即可得证【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+my2=1（m0，n0），将A（2，0）、B（2，0）、代入椭圆E的方程，得解得，椭圆E的方程；（2）|FH|=2，设DFH边上的高为h，设DFH的内切圆的半径为R，因为DFH的周长为定值6所以，当D在椭圆上顶点时，h最大为，故SDFH的最大值为，于是R也随之最大值为，此时内切圆圆心的坐标为；（3）证明：将直线l：y=k（x1）代入

30、椭圆E的方程，并整理得（3+4k2）x28k2x+4（k23）=0设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由根与系数的关系，得 直线AM的方程为：，它与直线x=4的交点坐标为，同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等y1=k（x11），y2=k（x21），=，因此结论成立综上可知直线AM与直线BN的交点住直线x=4上【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题21（14分）已知集合D=（x1，x2）|x10，x20，x1+x2=k（其中k为正

31、常数）（1）设u=x1x2，求u的取值范围；（2）求证：当k1时不等式对任意（x1，x2）D恒成立；（3）求使不等式对任意（x1，x2）D恒成立的k2的范围【考点】不等式的综合 【专题】证明题；综合题【分析】（1）利用基本不等式，其中和为定值，积有最大值；（2）结合（1）中的范围直接将左边展开，利用u在上单调递增即可，或者作差法比较；（3）结合（2）将（3）转化为求使对恒成立的k的范围，利用函数的单调性解决，或者作差法求解【解答】解：（1），当且仅当时等号成立，故u的取值范围为（2）解法一（函数法）=由，又k1，k210，f（u）=u在上是增函数所以=即当k1时不等式成立解法二（不等式证明的作

32、差比较法）=，将k24x1x2=（x1x2）2代入得：=（x1x2）20，k1时4k2x1x24k2=4（1k2）k2x1x20，即当k1时不等式成立（3）解法一（函数法）记=，则，即求使对恒成立的k2的范围由（2）知，要使对任意（x1，x2）D恒成立，必有0k1，因此1k20，函数在上递减，在上递增，要使函数f（u）在上恒有，必有，即k4+16k2160，解得解法二（不等式证明的作差比较法）由（2）可知=，要不等式恒成立，必须4k2x1x24k20恒成立即恒成立由得，即k4+16k2160，解得因此不等式恒成立的k2的范围是【点评】本题考查不等式的综合应用，以及利用转化思想、函数思想转化为函数问题利用函数的单调性解决不等式问题，属于中档题