广东省海珠区2013届高三上学期综合测试（二）数学理试题 WORD版.doc

1、海珠区2012学年高三综合测试（二）数学(理科）本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷 上。3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答

2、题卡一并交回。 参考公式：如果事件A、B互斥，那么若在每次试验中，事件A发生的概率为P，则在n次独立重复试验中，事件WA恰好发生k次的概率为.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. i是虚数单位，复数对应的点位于A第一象限B第二象限C.第二象限D.第四象限2. 若集合.，集合，则 “a = 3”是“.的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知函数，若，则A. a b cB. c a bC. b c aD. a c 1时，有设有五个函数.，其中既是偶函数又在 上是

3、增函数的有2个.其中真命题的序号是_.（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点A的坐标为曲线c的方程 为，则0A (O为极点）所在直线被曲线C所截弦的长度为_.15. (几何证明选讲选做题D如图5所示，过圆C外一点尸做一条直线与圆C交于A,B两 点，AB = 2AP，PT与圆c相切于T点.已知圆C的半径为2，则PT=_.三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分）已知函数(1)求f(X)的最小正周期；(2)求函数在区间上的最大值和最小值,并求此时X的值.17.

4、(本小题满分12分）现有3个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.约定：每个人 将质地均匀的硬币抛掷2次决定自己去参加哪个游戏.2次抛出的硬币朝上的面均为正面的 人去参加甲游戏，2次抛出的硬币朝上的面为其它情形的去参加乙游戏.(1)求这3个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这3个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；18. 用;分别表示这3个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变 量的分布列和数学期望.(本小题满分14分）如图6，四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD，M，N分别是PB，PC的中点， PA = AB,在四边形ABCD中，AB 丄 AD

5、，AB 丄 BC .(1)求证：MN/平面PAD,(2)求证：平面MN丄平面PBC;(3)若AD AB = 1，求二面角PABN的大小.19. (本小题满分14分）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点尸在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点.(1)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；(2)对于由(1)得到的椭圆C，过点P的直线l交X轴于点Q(-1,0)，交x轴于点M， 若，求直线l的斜率.20. (本小题满分14分）已知点？在函数_的图象上.(1)若数列是等差数列，求证数列是等比数列；(2)若数列的前项和是，过点的直线与两坐标轴所围二角 形面积为Cn，求最小的实数t使：恒成立；(3)若

6、数列为山（2)中a得到的数列，在与之间插入个3， 得一新数列，问是杏存在这样的正整数m，使数列的前m项的和，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由21. (本小题满分14分）已知函数的最小值为0,其中a0. (1)求a的值；（2)若对任意的，有成立,求实数k的最小值； (3)证明海珠区2012学年高三综合测试(二)理科数学参考答案与评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解

7、答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案BACDDAAA二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。其中1415题是选做题，考生只能选做一题9. 10. , 11. 12. , 13. 14. 15. (第10题第一空分,第二空分)三、解答题:本大题共6小题，满分80分

8、.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)（本小题主要考查三角两角和的正余弦公式,三角特殊值的运算,函数的周期,最值等知识,考查化归、转化、换元的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）2分 3分 4分 5分6分的最小正周期为 7分(2)由(1)知,由,得, 8分当,即时, 取得最大值; 10分当,即时, 取得最小值.12分17. (本小题满分12分)（本小题主要考查互斥事件,古典概型,独立重复试验，数学期望等知识，考查随机思想以及数据处理能力、抽象思维能力、运算求解能力和应用意识）解:将质地均匀的两枚硬币抛掷两次朝上的面有等可能的四种结果:, , 1分所以个人中,

9、每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.2分设“这个人中恰有人去参加甲游戏”为事件则. 3分(1)这个人中恰有人去参加甲游戏的概率.5分(2)设“这个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件,则, 由于互斥,故.所以, 这个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.7分(3)的所有可能取值为, 8分由于与,与互斥,故,9分. 10分所以, 的分布列为11分所以随机变量的数学期望. 12分18. (本小题满分14分)（本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）解: (1)证明

10、: 分别是的中点是的中位线, , 又，, 1分平面, 2分平面, 3分平面. 4分(2),是的中点5分底面，平面，又，平面，平面，平面，平面. 6分,平面,平面 平面. 7分又平面 8分平面平面. 9分(3) 底面，平面，,又又,联立,解得.过点作于,在中,. 10分方法一（向量法）：以为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示. 11分则,，,.由(2)知是平面的一个法向量; 设平面的法向量为,则,即,得.取.12分.13分结合图可知, 二面角的大小为. 14分方法二（几何法）由（2）知平面，平面,是直角三角形斜边上的中线，.同理易证.取的中点,连,则.连,易知,.平面,

11、平面,即是二面角的平面角. 11分在中,在中, , 12分在中,又有,是以为直角的等腰直角三角形,. 13分二面角的大小为. 14分19.(本小题14分)（本小题主要考查直线斜率、椭圆的方程、离心率、向量的运算等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查综合运用能力以及运算求解能力）解:(1) 由已知,设. 1分则直线的斜率,直线的斜率. 由,得. 2分 3分,得, 4分. 5分椭圆的离心率. 6分(2) 由题意知直线的斜率存在. 7分设直线 的斜率为 , 直线的方程为 8分则有，设，由于三点共线，且根据题意，得 9分解得或 11分又点在椭圆上，又由（1）知椭圆的方程为所以或 由解得

12、，即,此时点与椭圆左端点重合, 舍去; 12分由解得，即 13分直线直线的斜率. 14分20. (本小题满分14分)（本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力）解:（1）证明：数列是等差数列，设公差为，则对恒成立， 1分依题意， 2分所以是定值， 3分从而数列是等比数列 4分（2）解：当时，当时，也适合此式，即数列的通项公式是 5分由，数列的通项公式是， 6分所以，过这两点的直线方程是：，可得与坐标轴的交点是和 7分， 8分由于9分即数列的各项依次单调递减，所以

13、 10分（3）数列中，（含项）前的所有项的和是 11分估算知，当时，其和是， 12分当时，其和是，又因为，是3的倍数，故存在这样的，使得， 13分此时 14分21. (本小题满分14分)（本小题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识，考查函数思想，分类讨论思想，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力）解（）解：的定义域为 1分. 2分由得当变化时，的变化情况如下表：0+极小值 3分因此，在处取得最小值，故由题意所以 5分(2)解:当时,取,有故不合题意. 6分当时,令即令,得 7分当时,. 在上恒成立,因此,在上单调递减.从而对于任意的的,总有即在上恒成立.故符合题意. 8分当时,对于,故在内单调递增.因此当时,即不成立.故不合题意. 9分综上,的最小值为. 10分(3)证明:当时,不等式左边右边.所以不等式成立. 11分当时, 12分在(2)中取,得,从而 13分所以有综上, 14分