广东省深圳中学高中数学必修二导学案8.直线与平面垂直的判定及其性质.doc

1、8直线与平面垂直的判定及其性质史强学习目标1熟悉直线与平面垂直的定义。2掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理。3熟悉斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念4能利用线面垂直的性质解决空间角与距离的有关问题。5体会线面垂直与线线垂直的转化。一、夯实基础基础梳理1直线和平面垂直的定义直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直。说明：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直，过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。2判定直线和平面垂直的方法（1）定义法。（2）利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（3）推论：如果在两条平行直线中，

2、有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也_这个平面。3直线和平面垂直的性质（1）直线垂直于平面，则垂直于平面内_直线。（2）垂直于同一个平面的两条直线_（3）垂直于同一直线的两个平面_。4直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的_所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一直线垂直于平面，说它们所成角为_；直线或，则它们成_角。基础达标1若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是（ ）ABCD2有如下六个命题：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；垂直于同一个平面内的两条直线是平行直线；两条异面直线不可能垂直于同一个平面；若两条异面直线垂直，则一定可以过其中的一条直线作一个平面垂直于

3、另一条直线；若两条异面直线不垂直，则一定可以过其中的一条直线作一个平面垂直于另一条直线；过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直。其中正确命题的个数为（ ）A1B2C3D43如图，为正方体，下面结论错误的是（ ）A平面BC平面D异面直线与所成的角为4平行四边形所在平面外有一点，且，对角线与相交于。求证：平面。5是的直线，是异于的圆周上任意一点，垂直于所在的平面，在三棱锥的四个面中共有多少个直角三角形？二、学习指引自主探究1根据直线和平面垂直的定义回答以下问题：（1）如果一条直线和平面内的某一条直线垂直，那么该直线是否和平面垂直？（2）如果一条直线和平面内的无数条直线垂直，那么该直线是否和平面垂直？

4、（3）如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么该直线是否和平面垂直？（4）如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线是否垂直于平面内的所有直线？2证明下列结论：（1）如果两条平行直线中有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于平面（2）过空间任意一点作平面的垂线，该垂线有且只有一条（3）如果直线和三角形的两个边垂直，则必然和第三条边垂直（4）如果直线和平面平行，那么该直线上的各个点到平面的距离相等3下列说法是否正确？如果正确，请证明。（1）平面内的一条直线如果和斜线在平面内的射影垂直，那么该直线必然和斜线垂直。（2）平面内的一条直线如果和平面的一条斜线垂直，那么该直线必然和斜线在平面内的射影垂直。4

5、如图，面于于，试判断是否有下列结论：（1）面；（2）面；（3）。5在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，试问在棱上能否找到一点，使平面？若能，试确定点的位置；若不能，请说明理由。案例分析1对于四面体，给出下列四个命题：若则；若则；若，则；则；其中真命题的序号是_。【解析】。2（2012年全国，有改动）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面是上的一点，。（1）证明：平面；（2）若在平面内，且平面，求与平面所成角的大小。【解析】（1）证明：因为底面为菱形，所以。又，所以。如图，设，连接。因为，故，由得。又从而。因为所以，由此知。因为与平面内两条相交直线都垂直，所以平面。（2）因为平面，所以。又平面，故

6、平面，于是，所以底面为正方形，。设到平面的距离为。因为，且平面平面，故平面、两点到平面的距离相等，即。设与平面所成的角为，则。所以与平面所成的角为。3如图，在三棱锥中，顶点在底面上的射影为，在以下各种情况下，试判断分别是的什么心？（1）若；（2）若；（3）若两两互相垂直；（4）若点到底面三个边的距离相等；（5）若与底面所成的角相等。【解析】（1）外心；（2）垂心；（3）垂心；（4）内心；（5）外心。三、能力提升能力闯关1已知直线、及平面，下列命题中的假命题是（ ）A若则。B若则。C若则。D若则。2直角三角形的斜边在平面内，直角顶点在平面上的射影为，已知、与平面所成的角分别为、，求直角三角形斜边

7、上的高与平面所成的角。来源:Z_xx_k.Com3正方形的边长为4，平面且、分别为、的中点，。（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离。拓展迁移4四面体中，分别为的中点，且，求证：平面。5已知三棱锥中，点到边的距离为17。求点到平面的距离。6（2012年山东）如图，几何体是四棱锥，为正三角形，。（1）求证：；（2）若，为线段的中点，求证：平面。挑战极限7若四面体的一个顶点在底面的射影是底面三角形的垂心，求证，其余顶点在相应底面上的射影都是底面三角形的垂心。课程小结1证明线面垂直时，往往先过某个点作两个平面交线的垂线，再证明该垂线垂直于平面。2求点到面的距离，直接过己知点作平面的垂线如有困难，可

8、以考虑平移该点到适当的位置，再作平面的垂线。3案例分析3要作为结论记住，对解决选择填空题是很有帮助的。直线与平面垂直的判定及其性质一、夯实基础基础梳理（）相交（）垂直.任意，平行，平行.射影，直角，基础达标.只有是错误的.提示：由得由得所以，平面所成平面，则，故，均为直角三角形是的直径，则，即是直角三角形，又由平面，则，即是直角三角形，所以共个直角三角形二、学习指引.（）否；（）否；（）是；（）是.（）提示：在平面内作两条相交直线来源:Z。xx。k.Com（）提示：用同一法，假设有两条，则这两条直线重合（）提示：这是直线和平面垂直的定义的逆命题（）提示：利用平行四边形性质来源:学科网.（）（）

9、都正确如图，是平面内的一条直线，是外的一条直线（不垂直于），是直线在上的投影，证明：（）若，则；（）若，则解：（）如图，记，为直线上异于点的任意一点，过作，垂足为，则，直线又，平面，平面又平面，（）略.（）（）（）都正确（）面；（）由（）有面；（）由（）有面在棱上能找到点，使平面平面，又，故平面又平面，若平面，则设在内射影为，则设交于，即是中点也必是中点，这样的点存在且是之中点三、能力提升.连接，不妨设显然，皆为直角三角形，且根据已知条件：，故与平面所成的角等于.（）略（）连接交于点，过作于，易证平面，平面，从而点到平面的距离等于点到平面的距离，即等于在直角三角形中，则，取得中点，连结，分别为，的中点，又，在中，又，即，平面作底面于，为的外心，而是直角三角形，来源:学|科|网Z|X|X|K故点恰为的中点作交于，连接在直角中，故点到平面的距离为（）设中点为，连接，则由知，又已知，所以平面所以，即时的垂直平分线，所以来源:Z。xx。k.Com（）取中点，连接，是的中点，是等边三角形，由知，所以，即，所以，所以平面平面，故平面作平面于，连并延长交于，连；作交于，连并延长交于是三角形的垂心，又，则平面，平面平面而，平面，从而由是三角形的垂心，容易证明，平面，又，为三角形的垂心同理可证，其余顶点在相应底面上的射影都是底面三角形的垂心