广东省深圳市2013届高三数学第一次模拟试卷 理（含解析）.doc

1、广东省深圳市2013年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1（5分）（2013深圳一模）化简sin2013的结果是（）Asin33Bcos33Csin33Dcos33考点：运用诱导公式化简求值专题：计算题分析：将所求式子中的角变形后利用诱导公式化简即可得到结果解答：解：sin2013=sin（3605+213）=sin213=sin（180+33）=sin33故选C点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键2（5分）（2013深圳一模）已知i是虚数单位，则复数i13（1+i）=

2、（）A1+iB1iC1+iD1i考点：复数代数形式的乘除运算.专题：计算题分析：利用i2=1化简i13，然后直接利用复数的乘法运算得到结果解答：解：i13（1+i）=（i2）6i（1+i）=（1）6i（1+i）=1+i故选C点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了基本概念，属会考题型3（5分）（2013深圳一模）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是（）A32、B16、C12、D8、考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题分析：利用三视图复原的几何体的形状以及三视图的数据直接求解几何体个表面积与体积解答：解：三视图复原的几何体是半径为2的半球，所以半球的

3、表面积为半个球的表面积与底面积的和：2r2+r2=3r2=12半球的体积为：=故选C点评：本题考查几何体的三视图与几何体的关系，三视图复原几何体的形状是解题的关键，注意公式的正确应用4（5分）（2013深圳一模）双曲线x2my2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于（）ABC2D4考点：双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线的标准方程即可得出a与b的关系，即可得到m的值解答：解：双曲线x2my2=1化为，a2=1，实轴长是虚轴长的2倍，2a=22b，化为a2=4b2，解得m=4故选D点评：熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键5（5分）（2013深圳一

4、模）等差数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行235第二行8614第三行11913则a4的值为（）A18B15C12D20考点：等差数列的性质.专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得 a1 =3，a2 =8，a3=13，可得此等差数列的公差d的值，故把a3 加上4，即得a4的值解答：解：由题意可得 a1 =3，a2 =8，a3=13，故此等差数列的公差为5，故a4=a3+d=18，故选A点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题6（5分）（2013深圳一模）我们把各

5、位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（）A18个B15个C12个D9个考点：排列、组合及简单计数问题.专题：新定义分析：先设满足题意的“六合数”为，根据“六合数”的含义得a+b+c=4，于是满足条件的a，b，c可分四种情形，再对每一种情形求出种数，即可得出“六合数”中首位为2的“六合数”共有多少种解答：解：设满足题意的“六合数”为，则a+b+c=4，于是满足条件的a，b，c可分以下四种情形：（1）一个为4，两个为0，共有3种；（2）一个为3，一个为1，一个为0，共有A=6种；（3）两个为2，一个为0，共有3种；（4）一个为2，两

6、个为1，共有3种则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15种故选B点评：本小题主要考查排列、组合及简单计数问题等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想属于基础题7（5分）（2013宁波模拟）函数y=ln|x1|的图象与函数y=2cosx（2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A8B6C4D2考点：数列的求和；根的存在性及根的个数判断.专题：计算题；函数的性质及应用分析：由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案解答：解：由图象变化的法则可知：y=lnx的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象，向右平移1个单位得到y=ln|x1|的图象，再把x

7、轴上方的不动，下方的对折上去可得g（x）=ln|x1|的图象；又f（x）=2cosx的周期为T=2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得：xA+xB=2，xD+xC=2，xE+xF=6故所有交点的横坐标之和为6故选B点评：本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题8（5分）（2013深圳一模）定义函数y=f（x），xD，若存在常数C，对任意的x1D，存在唯一的x2D，使得，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C已知f（x）=2x，x1，2，则函数f（x）=2x在1，2上的几何平均数为（）AB2CD4考点：指数函数的单调性与特殊点.专

8、题：新定义分析：根据已知中对于函数y=f（x），xD，若存在常数C，对任意x1D，存在唯一的x2D，使得 ，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C我们易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由f（x）=2x，D=1，2，代入即可得到答案解答：解：根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为C的定义，结合f（x）=2x在区间1，2单调递增则x1=1时，存在唯一的x2=2与之对应故C=2故选C点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据函数在区间上的几何平均数的定义，判断出C等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键二、填空题

9、：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）（2013深圳一模）若，则a3=80考点：二项式定理的应用.专题：计算题分析：根据二项式展开式的通项公式为 Tr+1=（2x）r，可得x3的系数a3=23，运算求得结果解答：解：二项式展开式的通项公式为 Tr+1=（2x）r，故x3的系数a3=23=80，故答案为 80点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10（5分）（2013深圳一模）容量为60的样本的频率分布直方图共

10、有n（n1）个小矩形，若其中一个小矩形的面积等于其余n1个小矩形面积和的，则这个小矩形对应的频数是10考点：频率分布直方图.专题：计算题；概率与统计分析：根据其中一个小矩形的面积等于其余（n1）个小矩形面积之和的，设出这一个小矩形的面积是x，则其余（n1）个小矩形面积之和为5x，得到这一个小组的频率的值，用概率乘以样本容量得到结果解答：解：分类分步直方图共有n个小矩形，其中一个小矩形的面积等于其余（n1）个小矩形面积之和的，设这一个小矩形的面积是x，则其余（n1）个小矩形面积之和为5x，x+5x=1，x=样本容量为60，则这个小矩形对应的频数是60=10，故答案为：10点评：本题考查频率分布表

11、，考查频率分步直方图小正方形的面积等于这组数据的频率，注意小正方形的面积之间的关系不要弄混，本题是一个基础题11（5分）（2013深圳一模）已知=（x，y）|x+y6，x0，y0，A=（x，y）|x4，y0，xy20，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率是考点：定积分在求面积中的应用；几何概型.专题：计算题；导数的概念及应用；概率与统计分析：作出对应的平面区域，得到如图的RtOBC，其中B（6，0），C（0，6）而A=（x，y）|x4，y0，xy20表示的平面区域是在区域内部，位于曲线y=下方、直线x=4左边且在x轴上方的平面区域利用定积分公式算出A对应的平面区域的面积S1=，再由R

12、tOBC的面积为18，结合几何概型计算公式即可算出所求的概率解答：解：=（x，y）|x+y6，x0，y0，作出对应的平面区域，得到如图的RtOBC，其中B（6，0），C（0，6）又A=（x，y）|x4，y0，xy20，作出A对应的平面区域，得到曲线y=下方、直线x=4左边，且在x轴上方的平面区域，其面积为S1=dx=RtOBC的面积为S=18向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率P=故答案为：点评：本题给出两个由不等式组确定的平面区域和A，求向区域内投点能使点落在A内的概率着重考查了运用定积分公式计算曲边三角形的面积和几何概型计算公式等知识，属于中档题12（5分）（2013深圳一模）若执

13、行图中的框图，输入N=13，则输出的数等于（注：“S=0”，即为“S0”或为“S：=0”）考点：程序框图.专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=+的值解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=+=1=故答案为：点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题13（5分）（2013深圳一模）设集合A=（x，y）|（x4）2+y2=1，B=（x，y）|（xt）2+（yat+2）2=1，如果命题“tR，AB”是真命题，则实数a的取值范围是

14、考点：特称命题.专题：计算题；直线与圆分析：首先要将条件进行转化，即命题P：AB空集为假命题，再结合集合A、B的特征利用数形结合即可获得必要的条件，解不等式组即可获得问题的解答解答：解：A=（x，y）|（x4）2+y2=1，表示平面坐标系中以M（4，0）为圆心，半径为1的圆，B=（x，y）|（xt）2+（yat+2）2=1，表示以N（t，at2）为圆心，半径为1的圆，且其圆心N在直线axy2=0上，如图如果命题“tR，AB”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线axy2=0的距离不大于2，即，解得0a实数a的取值范围是；故答案为：点评：本题考查的是集合运算和命题的真假判断与应用的综合类问题在

15、解答的过程当中充分体现了圆的知识、集合运算的知识以及命题的知识同时问题转化的思想也在此题中得到了很好的体现值得同学们体会和反思（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分14（3分）（2013深圳一模）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的极坐标方程为sincos=3，则C1与C2交点在直角坐标系中的坐标为（2，5）考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程.专题：直线与圆分析：利用消去参数t将曲线C1的参数方程化成直角坐标方程，再将曲线C2

16、的极坐标方程也化成直角坐标的方程，把曲线C1与C2的方程组成方程组解出对应的方程组的解，即得曲线C1与C2的交点坐标解答：解：由曲线C1的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=x2+1（x0），曲线C2的极坐标方程为sincos=3的直角坐标方程为：yx=3；解方程组 ，可得 （不合，舍去）或，故曲线C1与C2的交点坐标为（2，5），故答案为：（2，5）点评：本题主要考查把参数方程或极坐标方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点坐标，属于中档题15（3分）（2013深圳一模）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A，O之间），EFBC，垂足为F若，则AB=6，CFC

17、B=5，则AE=1考点：与圆有关的比例线段.专题：选作题分析：在RtBEC中，由射影定理可得EC2=CFCB，由垂径定理可得CE=ED，再利用相交弦定理即可求出AE解答：解：在RtBCE中，EC2=CFCB=5，EC2=5ABCD，CE=ED由相交弦定理可得AEEB=CEEB=CE2=5（3OE）（3+OE）=5，解得OE=2，AE=3OE=1故答案为1点评：熟练掌握射影定理、垂径定理、相交弦定理是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）（2013深圳一模）已知函数，点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点（1）求点A、B

18、的坐标以及的值；（2）设点A、B分别在角、的终边上，求tan（2）的值考点：两角和与差的正切函数；平面向量数量积的运算.专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据x的范围以及正弦函数的定义域和值域，求得，由此求得图象上的最高顶、最低点的坐标及的值（2）由点A（1，2）、B（5，1）分别在角、的终边上，求得tan、tan的值，从而利用二倍角公式求得tan2的值，再利用两角和的正切公式求得tan（2）的值解答：解：（1）0x5，（1分） （2分）当，即x=1时，f（x）取得最大值2；当，即x=5时，f（x）取得最小值1因此，点A、B的坐标分别是A（1，2）、B（5，1） （4分） （6分）（2）点

19、A（1，2）、B（5，1）分别在角、的终边上，tan=2，（8分），（10分） （12分）点评：本小题主要考查了三角函数f（x）=Asin（x+）的图象与性质，三角恒等变换，以及平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力，属于中档题17（12分）（2013深圳一模）一次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所示：学生A1A2A3A4A5数学（x分）8991939597物理（y分）8789899293（1）请在如图的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归方程；（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数，求随

20、机变量X的分布列及数学期望E（X）的值考点：线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差.专题：概率与统计分析：（1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，再根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程（2）根据题意得到变量X的可能取值，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列，做出期望值解答：解：（1）散点图如图所示（1分）=93，=90， （5分）故这些数据的回归方程是： （6分）（2）随机变量X的可能取值为0，1，2 （7分）； （10分）故X的分布列为：X012p（11分）E（X）=+=1 （12分）点评

21、：本题主要考查读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力18（14分）（2013深圳一模）如图1，O的直径AB=4，点C、D为O上两点，且CAB=45，DAB=60，F为的中点沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）（1）求证：OF平面ACD；（2）求二面角CADB的余弦值；（3）在上是否存在点G，使得FG平面ACD？若存在，试指出点G的位置，并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法.专题：空间角分析：（1）以

22、O为坐标原点，以AB所在直线为y轴，以OC所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，利用向量共线的坐标表示求证OFAC，从而说明线面平行；（2）根据，DAB=60求出D点坐标，然后求出平面ACD的一个法向量，找出平面ADB的一个法向量，利用两平面法向量所成角的余弦值求解二面角CADB的余弦值；（3）假设在上存在点G，使得FG平面ACD，根据（1）中的结论，利用两面平行的判定定理得到平面OFG平面ACD，从而得到OGAD，利用共线向量基本定理得到G的坐标（含有参数），然后由向量的模等于圆的半径求出G点坐标，最后利用向量与平面ACD的法向量所成角的关系求直线AG与平面ACD所成角的正弦值

23、解答：（1）证明：如图，因为CAB=45，连结OC，则OCAB以AB所在的直线为y轴，以OC所在的直线为z轴，以O为原点，作空间直角坐标系Oxyz，则A（0，2，0），C（0，0，2），点F为的中点，点F的坐标为，即OFACOF平面ACD，AC平面ACD，OF平面ACD（2）解：DAB=60，点D的坐标，设二面角CADB的大小为，为平面ACD的一个法向量由有即取x=1，解得，= 取平面ADB的一个法向量=（0，0，1），（3）设在上存在点G，使得FG平面ACD，OF平面ACD，平面OFG平面ACD，则有OGAD设，又，解得=1（舍去1），则G为的中点因此，在上存在点G，使得FG平面ACD，且点

24、G为的中点设直线AG与平面ACD所成角为，根据（2）的计算为平面ACD的一个法向量，因此，直线AG与平面ACD所成角的正弦值为点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力，此题是中档题19（14分）（2013深圳一模）已知数列an满足：a1=1，a2=a（a0），（其中p为非零常数，nN*）（1）判断数列是不是等比数列？（2）求an；（3）当a=1时，令，Sn为数列bn的前n项和，求Sn考点：数列的求和；等比关系的确定.专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）由an+2=p可求得=p

25、，利用等比数列的定义即可判断数列是否为等比数列；（2）利用累乘法an=a1=（apn2）（apn3）（ap0）1即可求得an；（3）当a=1时，bn=np2n1，利用错位相减法与分类讨论思想即可求得数列bn的前n项和Sn解答：解：（1）由an+2=p得=p （1分）令cn=，则c1=a，cn+1=pcna0，c10，故=p（非零常数），数列是等比数列，（3分）（2）数列cn是首项为a，公比为p的等比数列，cn=c1pn1=apn1，即=apn1 （4分）当n2时，an=a1=（apn2）（apn3）（ap0）1=an1，（6分）a1满足上式，an=an1，nN* （7分）（3）=（apn）（a

26、pn1）=a2p2n1，当a=1时，bn=np2n1 （8分）Sn=1p1+2p3+np2n1，p2Sn=1p3+（n1）p2n1+np2n+1当p21，即p1时，得：（1p2）Sn=p1+p3+p2n1np2n+1，Sn=，p1 （11分）而当p=1时，Sn=1+2+n=，（12分）当p=1时，Sn=（1）+（2）+（n）=（13分）综上所述，Sn=（14分）点评：本题考查等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想，属于难题20（14分）（2013深圳一模）已知两点F1（1，0）及F2（1，0），点P在以F1

27、、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1Ml，F2Nl求四边形F1MNF2面积S的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；数列与解析几何的综合；椭圆的简单性质.专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）依题意，设椭圆C的方程为，c=1再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，即可得到a，利用b2=a2c2得到a即可得到椭圆的方程；（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得到关于x的一元二次方程，由直线

28、l与椭圆C仅有一个公共点知，=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d1=|F1M|，d2=|F2N|法一：当k0时，设直线l的倾斜角为，则|d1d2|=|MN|tan|，即可得到四边形F1MNF2面积S的表达式，利用基本不等式的性质即可得出S的最大值；法二：利用d1及d2表示出及d1d2，进而得到，再利用二次函数的单调性即可得出其最大值解答：解：（1）依题意，设椭圆C的方程为|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，2a=|PF1|+|PF|2=2|F1F2|=4，a=2又c=1，b2=3椭圆C的方程为（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2

29、=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0 由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，=64k2m24（4k2+3）（4m212）=0，化简得：m2=4k2+3 设，法一：当k0时，设直线l的倾斜角为，则|d1d2|=|MN|tan|，=，m2=4k2+3，当k0时，当k=0时，四边形F1MNF2是矩形， 所以四边形F1MNF2面积S的最大值为 法二：，=四边形F1MNF2的面积=，= 当且仅当k=0时，故所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论

30、证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想21（14分）（2013深圳一模）已知，g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x2与曲线y=g（x）相切（1）若对1，+）内的一切实数x，不等式f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求最大的正整数k，使得对e，3（e=2.71828是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，xk都有f（x1）+f（x2）+f（xk1）16g（xk）成立；（3）求证：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题.专题：压轴题；导数的综合应用分析：（1）首先设出直线y=2x2与曲线y=g（x）的切点，把切点代入两曲线方

31、程后联立可求得b的值，解出g（x）后把f（x）和g（x）的解析式代入f（x）g（x），分离变量a后对函数进行两次求导得到函数在区间1，+）内的最小值，则实数a的范围可求；（2）当a=1时可证得函数f（x）在e，3上为增函数，而g（x）也是增函数，把不等式左边放大取最大值，右边取最小值，代入后即可求解最大的正整数k；（3）该命题是与自然数有关的不等式，采用数学归纳法证明，由归纳假设证明n=k+1成立时，穿插运用分析法解答：解：（1）设点（x0，y0）为直线y=2x2与曲线y=g（x）的切点，则有2lnx0+bx0=2x02，由得，2x02=bx0，代入得x0=1，所以b=0，则g（x）=2lnx

32、由f（x）g（x），即，整理得，x1，要使不等式f（x）g（x）恒成立，必须ax22xlnx恒成立设h（x）=x22xlnx，当x1时，h（x）0，则h（x）是增函数，h（x）h（1）=0，h（x）是增函数，则h（x）h（1）=1，a1又a0，因此，实数a的取值范围是0a1 （2）当a=1时，f（x）在e，3上是增函数，f（x）在e，3上的最大值为要对e，3内的任意k个实数x1，x2，xk，都有f（x1）+f（x2）+f（xk1）16g（xk）成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当x1=x2=xk1=3时不等式左边取得最大值，xk=e时不等式右边取得最小值（k1）f（3）16g（3），即，解得k13因此，k的最大值为13 （3）证明：1当n=1时，左边=，右边=ln3，根据（1）的推导有，x（1，+）时，f（x）g（x），即令x=3，得，即因此，n=1时不等式成立 2假设当n=k时不等式成立，即，则当n=k+1时，要证n=k+1时命题成立，即证，即证在不等式中，令，得n=k+1时命题也成立 综上所述，不等式对一切nN*成立点评：本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识，属难题