广东省深圳市2013年高三数学第一次调研考试试题 理 （2013深圳一模）新人教A版.doc

1、广东省深圳市2013年高三第一次调研考试数学（理）试题 本试卷共21小题，满分150分 考试用时120分钟注意事项： 1答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用05毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上不按要求填涂的，答案无效。 3非选择题必须用05毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指

2、定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效。 4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答漏涂、错涂、多涂的答案无效 5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。参考公式： 若锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积为V =Sh 若球的半径为R，则球的表面积为S=4R2，体积为V=R2， 回归方程为， 其中：一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1化简sin 2013o的结果是 Asin 33o

3、 Bcos33oA-sin 33o B-cos33o2已知i是虚数单位，则复数i13（1+i）= Al+i Bli C-l+ID-li3图l是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是A32、 B16、 C12、 D8、4双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，则rn= A BC2 D45等差数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列。第一列 第二列第三列第一行235第二行8614第三行11913 则a4的值为 A18 B15 C12 D206我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数

4、”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有 A18个 B15个 C12个D9个7函数y = 1n|x1|的图像与函数y=-2 cos x（-2x4）的图像所有交点的横坐标之和等于 A8 B6 C4 D28函数y=f（x），xD，若存在常数C，对任意的xlD，仔在唯一的x2D，使得 ，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C已知f（x）=x3，x1，2，则函数f（x）=x3在1，2上的几何平均数为A B2C4 D 2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9若则a3

5、= 。10容量为60的样本的频率分布直方图共有n（n1）个小矩形，若其中一个小矩形的面积等于其余n1个小矩形面积和的，则这个小矩形对应的频数是_ 11已知= （x，y）|x+ y6，x0，y0，A=（x，y）|x4，y0，xy20，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率是 12若执行图2中的框图，输入N=13，则输出的数等于 。（注：“S=0”，即为“S0”或为“S0”）13设集合A=（x，y）|（x一4）2+y2=1，B=（x，y）|（xt）2+（yat+ 2）2=l，如果命题 “R，”是真命题，则实数a的取值范围是 。（二）选做题：第14、1 5题为选做题，考生只能选做一题，两题全

6、答的，只计算前一题的得分14（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的极坐标方程为sincos =3，则Cl与C2交点在直角坐标系中的坐标为 。15（几何证明选讲选做题）如图3，在O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFBC，垂足为F，若AB=6，CFCB=5，则AE= 。三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分） 已知函数f（x）=2 sin（0x5），点A、B分别是函数y=f（x）图像上的最高点和最低点（1）求点A、B的坐标以及的值；（

7、2）没点A、B分别在角、的终边上，求tan（）的值17（本小题满分12分）一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：学生A1A2A3A4A5数学（x分8991939597物理（y分）8789899293（1）请在图4的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的同归方程；（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）的值18（木小题满分14分） 如图5，O的直径AB=4，点C、D为O上两点，且CA B=45o，DAB=60o，F为的中点沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图

8、6）（1）求证：OF/平面ACD；（2）求二面角C- AD-B的余弦值；（3）在上是否存在点G，使得FG平面ACD?若存在，试指出点G的位置，并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由 19（本小题满分14分） 已知数列an满足：a1=1，a2=（a0），an+2=p（其中P为非零常数，nN *） （1）判断数列是不是等比数列？ （2）求an；（3）当a=1时，令bn=，Sn为数列bn的前n项和，求Sn。 20（本小题满分14分） 已知两点F1（-1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列（1）求椭圆C的方

9、程；（2）如图7，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1Ml，F2Nl求四边形F1MNF2面积S的最大值21（本小题满分14分） 已知f（x）=x-（a0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x2与曲线y=g（x）相切（1）若对1，+）内的一切实数x，小等式f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对e，3（e=271828是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，xk都有成立；（3）求证：参考答案说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准

10、制订相应的评分细则2对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数一、选择题：本大题每小题5分，满分40分12345678CCCD AB BD二、填空题：本大题每小题5分，满分30分9 ； 10 ； 11； 12；13； 14； 15三、解答题16（本小题满分12分）已知函数，点、分别是函数图像上的最高点和最低点（1）求点、的坐标以及的值；（2）设点、分别

11、在角、的终边上，求的值解：（1）， ， 1分 2分当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值 因此，点、的坐标分别是、 4分 6分（2）点、分别在角、的终边上， 8分， 10分 12分【说明】 本小题主要考查了三角函数的图象与性质，三角恒等变换，以及平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力17（本小题满分12分）一次考试中，五名同学的数学、物理成绩如下表所示：学生数学（分）物理（分）（1）请在图的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归方程；图4y(物理成绩)O899193959788929490x(数学成绩)（2）要从名数学成绩在分以上的同学中选人参加一项活动，以

12、表示选中的同学的物理成绩高于分的人数，求随机变量的分布列及数学期望的值解：（1）散点图如右图所示1分=，=， 5分故这些数据的回归方程是： 6分（2）随机变量的可能取值为， 7分 ； 10分 故的分布列为：11分=+= 12分【说明】本题主要考察读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力18（本小题满分14分）如图，的直径，点、为上两点，且，为的中点沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图）（1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值；（3）在上是否存在点，使得/平面？若存在，试指出点的位置，并求直线 与平面所成

13、角的正弦值；若不存在，请说明理由图5图6（法一）：证明：（1）如右图，连接， ， 又为的中点，平面，平面，平面3分解：（2）过作于，连，平面平面 平面又平面， ， 平面，则是二面角的平面角 5分， 由平面，平面，得为直角三角形，= 8分（3）设在上存在点，使得/平面，平面， 平面平面， 因此，在上存在点，使得/平面，且点为的中点10分连，设与平面所成角为，点到平面的距离为 =，=， 由=，得=，得 12分 在中，由余弦定理得=，13分= 14分（法二）：证明：（1）如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，作空间直角坐标系，则， ，点为的中点，点的坐标为，即平面，平面，平面 3分解：

14、（2），点的坐标，设二面角的大小为，为平面的一个法向量 由 有 即 取，解得，= 5分 取平面的一个法向量=， 6分8分（3）设在上存在点，使得/平面，平面， 平面平面，则有设，又，解得（舍去），则为的中点因此，在上存在点，使得/平面，且点为的中点11分设直线与平面所成角为，根据（2）的计算为平面的一个法向量， 因此，直线与平面所成角的正弦值为 14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，线面角、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力19（本小题满分14分）已知数列满足：，（其中为非零常数，）（1）判断数列是不是等比数列？（

15、2）求；（3）当时，令，为数列的前项和，求解：（1）由，得 1分令，则，（非零常数），数列是等比数列 3分（2）数列是首项为，公比为的等比数列， ，即 4分当时， ， 6分满足上式， 7分（3），当时， 8分， 当，即时，得：， 即 11分而当时， 12分当时，13分综上所述， 14分【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想20（本小题满分14分） 已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、 构成等差数列（1）求椭圆的方程；图7MyONlxF1F2（2）如图7，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是

16、直线上的两点，且， 求四边形面积的最大值解：（1）依题意，设椭圆的方程为构成等差数列， 又，椭圆的方程为 4分 (2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得 5分由直线与椭圆仅有一个公共点知，化简得： 7分MyONlxF1F2H 设， 9分（法一）当时，设直线的倾斜角为，则， ，11分，当时，当时，四边形是矩形， 13分所以四边形面积的最大值为 14分（法二）， 四边形的面积， 11分 13分当且仅当时，故 所以四边形的面积的最大值为 14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查分类讨论、数形结合

17、、化归与转化思想21（本小题满分14分）已知，且直线与曲线相切（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立；（3）求证：解：（1）设点为直线与曲线的切点，则有 （*）， （*）由（*）、（*）两式，解得， 2分由整理，得，要使不等式恒成立，必须恒成立 设，当时，则是增函数，是增函数，5分因此，实数的取值范围是 6分（2）当时，在上是增函数，在上的最大值为要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值，解得因此，的最大值为 10分（3）证明（法一）：当时，根据（1）的推导有，时，即 11分令，得， 化简得， 13分 14分（法二）数学归纳法：当时，左边=，右边=，根据（1）的推导有，时，即令，得，即因此，时不等式成立 11分（另解：，即）假设当时不等式成立，即，则当时,，要证时命题成立，即证，即证在不等式中，令，得 时命题也成立 13分根据数学归纳法，可得不等式对一切成立 14分【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识命题： 喻秋生、姚亮、宋晓勤 审题：魏显峰