广东省深圳市2015届高三上学期第一次五校联考数学（理）试题 WORD版含答案.doc

1、2015届高三年级第一次五校联考理科数学试卷本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟命题人：二高董正林注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对

2、应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）A B C D2. 设集合，则（ ）A B C D3. 函数的零点所在的区间为（ ）A B C D4. 已知m，n，则 “a2”是“mn”的（ ）A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A B C D 6. 在爸爸去哪儿第二季第四期中，村

3、长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：食物投掷地点有远、近两处； 由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。则不同的搜寻方案有（ ）（第5题图） A40种 B70种 C80种 D100种7. 已知数列的首项为，且满足对任意的，都有，成立，则（ ）A B C D8. 已知函数，当时，恒有 成立，则实数的取值范围（ ）A B C D二、填空题（本大题共7小题，其中第9第13题为必做题，第14第15题为选做题，考生从中任选一题作答，两题均选按第14题给分，每

4、小题5分，总分30分）（第9题图）开始结束n=1，S=1S=S+n=n + 1 输出S否是nM9. 右图是一个算法的程序框图，若输出的结果是31，则判断框中的正整数的值是_10. 若二项式的展开式中的第5项是常数项， 则n=_11. 若实数满足约束条件，则目标函数的最大值为_12. 已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是_若m，n，m、n，则 .若，m，n，则mn .若m，mn，则n .若n，n，m，那么mn .13. 若不等式的解集是区间的子集，则实数的范围为_ 14.（参数方程与极坐标）已知在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数且

5、），在以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线的极坐标方程为，则曲线与交点的直角坐标为_15.（几何证明选讲）如图，切圆于点,交圆于两点，且与直径交于点，若，则_ （第15题图）三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答过程须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分12分）已知的最小正周期为.（1）求的值；（2）在中，角所对应的边分别为，若有，则求角的大小以及的取值范围.17. （本小题满分12分）已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个. 现从中随机取球，每次只取一球.（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两

6、次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望18. （本小题满分14分）如图，三棱柱侧棱与底面垂直，且所有棱长都为4，D为CC1中点（1）求证：；（2）求二面角的余弦值 （第18题图）19. （本小题满分14分）已知数列满足，是数列的前n项和，且有.（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，记数列的前n项和，求证：.20. （本小题满分14分）已知双曲线， 分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为. 设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限

7、内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. （第20题图）21. （本小题满分14分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，设，是函数图像上的任意两点（），记直线AB的斜率为，求证：.2015届高三年级第一次五校联考理科数学试卷参考答案一、选择题：题号12345678答案DCCBAAAD二、填空题：9、 4 10、 6 11、 8 12、 13、 14、 （2，2） 15、 15三、解答题：16. （本小题满分12分）已知的最小正周期为.（1）求的值；（2）在中，角所对应的边分别为，若有，则求

8、角的大小以及的取值范围.解：（1） 1分 2分 3分的最小正周期为 ，即： 4分 5分 6分（2） 由正弦定理可得： 7分 8分 9分 10分 11分 12分17. （本小题满分12分）已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个. 现从中随机取球，每次只取一球.（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望.解：（1）记事件表示“第i次取到白球”（），事件表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：. 2分

9、 4分 5分或者：记随机变量表示连续取球四次，取得白球的次数. 易知 2分则5分（2）易知：随机变量X的取值分别为2，3，4，5 6分， ， 10分随机变量X的分布列为：X2345P 11分随机变量X的期望为： 12分18. （本小题满分14分）如图，三棱柱侧棱与底面垂直，且所有棱长都为4，D为CC1中点（1）证明：；（2）求二面角的余弦值解法一：（向量法）（1）取中点，连结取中点， 故：以为原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 2分则： 3分 4分， 6分 平面 7分（2）设平面的法向量为 令得为平面的一个法向量 10分由（1）可知：为平面的法向量 11分 13分二面角是锐角 二

10、面角的余弦值为为14分解法二：（传统几何法）（1）取BC中点O，连结AO和， 2分 3分在正方形中，分别为的中点， 由正方形性质知：， 4分5分又在正方形中， 6分平面 7分（2）设AB1与A1B交于点，在平面1BD中，作于，连结，由（1）得 为二面角的平面角 10分在中，由等面积法可求得， 12分又 ， 13分 所以二面角的余弦值为 14分19. （本小题满分14分）已知数列满足，是数列的前n项和，且有.（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，记数列的前n项和，求证：.（1）证明： 1分 即： 3分数列是以为首项，1为公差的等差数列. 4分（2）解：当时， 5分， 即：

11、 6分 8分当时， 9分（3）由（1）知： 10分 12分.14分20. （本小题满分14分）已知双曲线， 分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为. 过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，设点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）由题可知： 1分 2分 双曲线C的方程为： 3分（2）设直线的方程为：，另设： 4分 5分又直线AP的方程为，代入 6分同理，直线AQ的方程为，代入 7分 9分（3）当直线的方程为时，解得. 易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也

12、即：. 10分下证：对直线存在斜率的情形也成立. 11分 12分 13分结合正切函数在上的图像可知， 14分21. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，设，是函数图像上的任意两点（），记直线AB的斜率为，求证：. （1）解： 1分（i）当时， 恒成立，即恒成立，故函数的单增区间为，无单减区间. 2分（ii）当时，解得：，函数的单增区间为，单减区间为. 4分（iii）当时，由解得：.，而此时，函数的单增区间为，单减区间为. 6分综上所述：（i）当时，的单增区间为，无单减区间.（ii）当时，的单增区间为，单减区间为.（iii）当时，的单增区间为，单减区间为. 7分（2）证明： 由题，则： 9分注意到，故欲证，只须证明：. 10分因为，故即证： 11分令， 12分则： 故在上单调递增. 所以： 13分即：，即：所以：. 14分