广东省深圳市四校2019-2020学年高二数学下学期期中联考试题（含解析）.doc

1、广东省深圳市四校2019-2020学年高二数学下学期期中联考试题（含解析）试卷分值：150分考试时间：120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号、座位号等信息准确填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法和指数函数的值域

2、，化简集合M，N，再利用并集的概念求解.【详解】因为所以，所以，故选：A.【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，指数函数的值域，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.若复数满足，则复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根据复数模及代数形式的运算法则，求出复数，即可得出结论.【详解】由于，则，所以复数的的虚部是-1，故选：B【点睛】本题考查了复数的代数形式的运算及复数的概念，属于基础题.3.已知单位向量满足，若，则实数的值为（ ）A. B. -2C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】由垂直得数量积为0，列方程求解即可【详解】因为，所以，即

3、，解得，故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的运算，考查垂直关系的表示，是基础题4.已知，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.【详解】由对数函数的图像与性质可得，所以，故选：B.【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质应用，由中间值法比较大小，属于基础题.5.下列命题中，真命题是（ ）A. ；B. 命题“”的否定是“”；C. “”是“”的充分不必要条件；D. 函数在区间内有且仅有两个零点.【答案】C【解析】【分析】由特值判断A,C;全称命题的否定判断B;利用导数判断函数单调性判断D【详解】对A,当故错误

4、；对B, 命题“”的否定是“”；故错误对C, 则；反之当 ，满足，但，故“”是“”的充分不必要条件；正确；对D, ,对 ,单调递增,在有一个零点, 故无零点,故函数在区间内有且仅有一个零点故选：C【点睛】此题注重对基础知识的考查，特称命题与全称命题的真假及否定，考查函数零点，是学生易错点，属中档题6.已知正项等比数列an，若向量，则（ ）A. 12B. C. 5D. 18【答案】D【解析】【分析】本题先根据平行向量的坐标运算可得，再根据等比中项的知识，可计算出，在求和时根据对数的运算法则及等比中项的性质可得到正确选项.【详解】由题意，向量，则，即，根据等比中项的知识，可得，故，故选：D.【点睛

5、】本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题.考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力.本题属中档题.7.若变量满足约束条件，则的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果【详解】由题意作出其平面区域，令，化为，相当于直线的纵截距，由图可知，解得，则的最大值是故选：C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找

6、到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10%4.98%3.82%1.10%净利润占比95.80%3.82%0.86%则下列判断中不正确的是（ ）A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答

7、案】B【解析】【分析】根据表格提供数据，逐项分析，即可得出结论.【详解】选项A，该公司2018年度冰箱类电器利润率占比为负值，因此冰箱类销售亏损，所以A项正确；选项B，该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，所以B项错误；选项C，该公司2018年度空调类净利润占比比其它类占比大多，因此2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，所以C项正确；选项D，剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度总净利润变大，而空调类电器销售净利润不变，因此利润占比降低，所以选项D正确.故选：B.【点睛】本题考查统计图表与实际问题，考查数据分析能力,属于基础题9.中，点D

8、在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（ ）A. B. C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】根据三点共线可得x，y的关系，再利用基本不等式解出最小值即可【详解】，且三点共线，所以且，则，当且仅当时，即取等号，故有最小值，故选：B.【点睛】本题考查了向量共线定理和基本不等式的性质，属于基础题10.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，点为过且斜率为的直线与双曲线的一个交点，且，则的离心率为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于直线的斜率为，所以此直线的倾斜角为，即，再由，得，从而得为直角三角形，可得到三边的关系，再结双曲线的定义可得的关系，从而可求出离心率.【详

9、解】由题意，直线过左焦点且倾斜角为，即.，根据双曲线定义有，离心率.故选：B【点睛】此题考查的是由直线与双曲线的位置关系确定双曲线的离心率,属于中档题.11.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著九章算术中.九章算术商功：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程.已知堑堵的内切球（与各面均相切）直径为1，则鳖臑的体积最

10、小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知可得a1，且截面的内切圆与堑堵内切球最大的圆全等，设内切圆半径为r，则2r1由直角三角形内切圆半径公式结合基本不等式可得bc的最小值，则鳖臑的体积最小值可求【详解】设内切圆半径为r，依题意内切球直径2r=1，则，当且仅当b=c时取等号.或鳖臑的体积为当且仅当b=c时，鳖臑的体积最小为，故选：A【点睛】本题考查多面体体积的求法，训练了利用基本不等式求最值，考查空间想象能力与思维能力，是中档题12.函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意构造函

11、数函数g（x）x2f（x），求导可知函数是区间（0，+）上的增函数，把原不等式转化为，求得x的范围【详解】由题意，设函数，则，因为是定义在区间上的可导函数，且满足，所以，所以函数在上为增函数，又由，即，即，所以，解得，即不等式的解集为.故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了函数构造法，是中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.13.的二项展开式中的常数项为_.(用数字作答)【答案】160【解析】【分析】先求出，再令求出即得解.【详解】由题得，令.所以二项展开式的常数项为.故答案为：160.【点睛】本题主要考查二项展开式的指定项的求

12、法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14.已知角终边与单位圆交于点()，则=_.【答案】【解析】【分析】由角的终边与单位圆交于点()，利用三角函数的定义求得，然后利用二倍角的正弦公式求得，然后由诱导公式由求解.【详解】因为角的终边与单位圆交于点()，所以，所以，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的定义，诱导公式以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.A、B、C、D四位同学站成一排照相，则A、B中至少有一人站在两端的概率为_.【答案】【解析】【分析】先求得四名同学站成一排的排法种数再求得A、B至少有一人站在两端的排法种数，由此能求出A、B两位同学至少有一人站在两端

13、的概率【详解】A、B、C、D四位同学站成一排照相，基本事件总数，A、B中至少有一人站在两端包含的基本事件个数20，故A、B两人中至少有一人站在两端的概率.故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查分步计数原理的基础知识，考查运算求解能力，是基础题16.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为_；若点Q为抛物线E：y2=4x上的动点，Q在直线x

14、=-1上的射影为H，则的最小值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）利用直译法直接求出P点的轨迹（2）先利用阿氏圆的定义将转化为P点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得的最小值【详解】设P（x，y），由阿氏圆的定义可得即化简得则设则由抛物线的定义可得当且仅当四点共线时取等号，的最小值为故答案为： 【点睛】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力难度较大三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，.（1）求的最小正周期；（2）在中，内角，所对的边分别为，且满

15、足，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用向量的坐标运算和三角恒等变换，即可化简，进而可求出的最小正周期(2)利用，求出的范围，然后利用余弦定理和基本不等式即可求解.【详解】（1）向量，则.T=（2），在DABC中，由余弦定理可得：，即.当且仅当时等号成立，所以，故DABC面积的最大值为.【点睛】本题考查三角恒等变换的化简、余弦定理以及基本不等式的运用，属于中档题.18.已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为Tn，求T2020.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算，利用公式计算验证得到答案.（

16、2），利用裂项相消法计算得到答案.【详解】（1）因为数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以，当时，；当时，当时，也符合上式.所以数列的通项公式.（2），所以数列的前项和，故.【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.如图，在四面体中，.（）证明：；（）若，四面体的体积为2，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析.(2).【解析】【详解】（1）因为，所以RtRt可得设中点为，连结，则，所以平面，于是 （2）在Rt中，因为，所以面积为设到平面距离为，因为四面体的体积，所以在平面内过作，垂足为，因为，所以由点到平面距离定义知平面因为，

17、所以因为，所以，所以，即二面角余弦值为20.2020年春节期间，随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散，各省均启动重大突发公共卫生事件一级响应，采取了一系列有效的防控措施.如测量体温、有效隔离等.（1）现从深圳市某社区的体温登记表中随机采集100个样本.据分析，人群体温近似服从正态分布.若表示所采集100个样本的数值在之外的的个数，求及X的数学期望.（2）疫情期间，武汉大学中南医院重症监护室（ICU）主任彭志勇团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度，现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA美国医学会杂志研究论文中获得相关数

18、据.请将下列22列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”？附：若，则，.参考公式与临界值表：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）；（2）填表见解析；能在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”【解析】【分析】(1)利用正态分布以及二项分布的概率公式和数学期望公式即可求解.(2)利用独立性检验的公式直接求解即可.【详解】（1）由已知体温落在之内的概率为，落在之外的概率为.（2）填表如下：.无并发症并发症合计非重症6438102重症1026

19、36合计7464138.而P(K210.828)=0.001，故由独立性检验的意义可知：能在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”.【点睛】本题考查正态分布、二项分布以及独立性检验，属于基础题.21.已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，直线AP、BP、BQ的斜率分别记为.（1）求的值；（2）若，求证：，并判断直线PQ是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）证明见解析；直线PQ是过定点，该定点为【解析】【分析】（1）设，根据，然后由点在椭圆上，由求解.（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，根据，结合（1），得到，将

20、韦达定理代入得到k，b的关系，再代入直线方程求解即可.【详解】（1）设，则，又，则，代入上式，得.（2），又由（1）知，即设直线的方程为：，设，联立，得：，由D0得： ，由韦达定理：，.，则，即：，所以：，解得：或，.当时，直线，则直线过B（2，0），不合题意，当时，直线，则直线过定点，直线PQ是过定点，该定点为【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，直线的斜率关系以及直线过定点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.已知函数，其中.（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）若函数在定义域上有两个极值点，且.求实数的取值范围；求证：.【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【

21、分析】（1）由函数导数求得切线斜率，利用两直线垂直斜率乘积-1列方程求解即可；（2）函数在定义域上有两个极值点等价于在上有两个不相等的根.解不等式组即得解；先化简得到，再构造，其中.再利用导数证明，即得证.【详解】（1）依题意，故，所以，据题意可知，解得.所以实数的值为2.（2）因为函数在定义域上有两个极值点，且，所以在上有两个根，且，即在上有两个不相等的根.所以解得.当时，若或，函数在和上单调递增；若，函数在上单调递减，故函数在上有两个极值点，且，.所以，实数的取值范围是.由可知，是方程的两个不等的实根，所以其中.故，令，其中.故，令，在上单调递增.由于，所以存在常数，使得，即，且当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以当时，又，所以，即，故得证.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.