广东省深圳市宝安区2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）新人教A版.doc

1、2012-2013学年广东省深圳市宝安区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）不等式xx2的解集是（）A（0，1）B（，0）（1，+）C1，+）D0，1考点：一元二次不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：化简表达式可得x（x1）0，由二次方程和二次表达式的关系可得答案解答：解：原不等式xx2可化为：x2x0，分解因式可得x（x1）0，解得x0或x1，故选B点评：本题考查一元二次表达式的解法，求得对应一元二次方程的根是解决问题的关键，属基础题2（5分）sin15cos15=（）A1B1CD

2、2考点：二倍角的正弦专题：计算题分析：直接利用二倍角公式化简表达式，求出值即可解答：解：因为sin15cos15=sin30=故选C点评：本题是基础题，考查二倍角公式的应用，考查计算能力3（5分）（2011广东模拟）下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M，M，=l，则Ml（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内A1B2C3D4考点：平面的基本性质及推论专题：阅读型分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，两条异面直线不能确定一个平面，若M，M，=l，则Ml，空间中，相交于同一点的三直线

3、不一定在同一平面内，得到结果解答：解：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若M，M，=l，则Ml，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内，故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选A点评：本题考查平面的基本性质及推论，考查两个平面相交只有一条交线，考查直线确定平面的条件，本题是一个基础题4（5分）已知函数，则使得f（x）=1成立的所有x的值为 （）A2B0，2C0，2D0，2考点：函数的零点专题：函数的性质及应用分析：利用分段函数在不同区间上的解析式不同即可求出x的所有值解答：解：当

4、x0时，由ex2=1，得x2=0，解得x=2；当x0时，由|x+1|=1，得x+1=1，解得x=0或2综上可知：x=2或0或2故选D点评：正确理解分段函数的意义是解题的关键5（5分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2ac=b2，则角B的大小为（）ABCD考点：余弦定理专题：计算题；解三角形分析：由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，把已知的等式变形后代入即可求出cosB的值，根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数解答：解：由已知可得b2=a2+c2ac，得到a2+c2b2=ac，所以根据余弦定理得：cosB=，B（0，），则B=故选D

5、点评：此题考查了余弦定理及特殊角的三角函数值做题时注意整体代入思想的运用，牢记特殊角的三角函数值6（5分）等差数列an中，记Sn=a1+a2+an，若S9=72，则a2+a4+a9=（）A14B12C24D16考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：由条件可得=9a5，故有 a5=8，故 a2+a4+a9=3a1+12d=3a5，代入可得答案解答：解：等差数列an前n项和为Sn，设公差为d，S9=72=9a5，a5=8故 a2+a4+a9=3a1+12d=3a5=24，故选C点评：本题考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，属基础题7（5分）若实数a，b

6、满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A6B2C3D4考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：根据a+b=2，利用基本不等式求得3a+3b 的最小值解答：解：由于实数a，b满足a+b=2，则3a+3b =2 =2=6，当且仅当a=b=1时，等号成立，故选A点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式使用条件和等号成立条件，属于基础题8（5分）不同的直线m和n，不同的平面，下列条件中哪个是的充分不必要条件（）A=n，=m，nmB，Cnm，n，mDn，m，nm考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：先根据线面平行、面面平

7、行的判定与性质，在A、B、C、D各项中找出一个能使“”成立的一个条件，说明是充分条件，然后再在结果中找出反之不能成立的项，即可得出答案解答：解：对于A：由=n，=m，nm，不可以得出，故不是充分条件； 对于B：由，不一定能得出，故不是充分条件； 对于C：由nm，n，m，可以得出，反之不一定成立；故是充分不必要条件； 对于D：由n，m，nm，有可能与相交，不能得出，故不是充分条件故选C点评：本题考查了立体几何中线面平行、面面平行的判定与性质，考查了面面平行与线线平行之间的转化关系属于基本题熟练掌握空间的线面、面面垂直的有关定理是解决本题的关键9（5分）圆C与圆（x+2）2+（y1）2=1关于直线

8、y=x+2对称，则圆C的方程是（）A（x+1）2+y2=1B（x1）2+y2=1C（x+1）2+y2=2D（x+3）2+y2=1考点：关于点、直线对称的圆的方程专题：直线与圆分析：设出对称圆的圆心（a，b），由以及 ，求得a、b的值，即可求得圆C的方程解答：解：设圆（x+2）2+（y1）2=1的圆心C（2，1）关于直线y=x+2对称点为C（a，b），由以及 ，求得 a=1，b=0再由这两个圆的半径相等，得圆C的方程是 （x+1）2+y2=1，故选A点评：本题主要考查求一个圆关于一条直线的对称的圆的方程的方法，关键是求出对称圆的圆心坐标，属于中档题10（5分）若实数x，y满足x2+y2+xy=1

9、，则x+y的最大值是 （）ABCD考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：题干错误：x2+y2+xy=1，应该是：x2+y2xy=1，请给修改，谢谢 根据已知条件可得 （x+y）2=1+xy再由 xy，可得 （x+y）2，由此可得x+y的最大值解答：解：实数x，y满足x2+y2 xy=1，即 （x+y）2=1+xy再由 xy，可得（x+y）2=1+xy1+，解得（x+y）2，x+y，故 x+y的最大值为=，故选A点评：本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.11（5分）已知一组命题：p：34，q：34，利用逻辑连接词

10、“或”构造的新命题是真命题还是假命题真（填“真”或者“假”）考点：命题的真假判断与应用专题：阅读型分析：利用复合命题的判定规律，P、q至少有一个是真命题，则p或q为真命题，来判定即可解答：解：P假，q真，Pq为真命题故答案是真点评：本题考查复合命题的真假判定规律12（5分）已知数列an中a1=1且（nN），an=考点：数列递推式专题：计算题分析：本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键解答：解：根据题意，an+1an=anan+1，两边同除以anan+1，得，于是有：，上述n1个等式累加，可得，又a1=1，得，所以；故答案为点评：解答本题用到的累加法是求数

11、列通项公式以及数列前n项和的重要方法13（5分）若关于x的不等式mx2mx+m10的解集为，则实数m的取值范围是m0考点：一元二次不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：因为二次项系数含有字母m，所以分m=0和m0两种情况讨论，当m=0时明显看出对于任意实数x不等式不成立，当m0时，借助于不等式对应的二次函数的图象的开口方向和与x轴有无交点列式求解解答：解：当m=0时，原不等式的解集显然是空集；当m0时，要使关于x的不等式mx2mx+m10的解集为，则，解得m0所以，使关于x的不等式mx2mx+m10的解集为的实数m的取值范围是m0故答案为m0点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类

12、讨论的数学思想方法，训练了“三个二次”间的关系，是基础题，也是易错题14（5分）投资生产A产品时，每生产100t需要资金200万元，需场地200m2，可以获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100m需要资金300万元，需场地100m2，可以获利润200万元现单位可以使用资金1400万元，场地900m2，请你用你所掌握的数学知识进行投资组合，使得单位获得最大利润，可能获得的最大利润为1475万元考点：函数模型的选择与应用专题：综合题；函数的性质及应用分析：设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为S百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域

13、；要求应作怎样的组合投资，可使获利最大，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解解答：解：设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为S百万元，则约束条件为：，目标函数为S=3x+2y，作出可行域，使目标函数为S=3x+2y取最大值的（x，y）是直线2x+3y=14与2x+y=9的交点（3.25，2.5），此时S=33.25+22.5=14.75百万元=1475万元故答案为：1475点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行

14、域分析目标函数Z与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤15（12分）已知椭圆C的方程为（1）求k的取值范围； （2）若椭圆C的离心率，求k的值考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据题意，方程表示椭圆，则 x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案（2）先根据题意利用k表示出a，b，进而根据离心率列出关于k的方程，则k的值可得解答：解：（1）方程表示椭圆，则 ，解得 k（1，5）（5，9）（2）当9kk1时，依题意可知a=，b=c=k=2；当9kk1时，

15、依题意可知b=，a=c=k=8；k的值为2或8点评：本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质，注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同，考查运算能力，属基础题16（12分）如图，BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标为 （，0），点D在平面yOz上，且BDC=90，DCB=30（1）求向量的坐标（2）求向量的夹角的大小考点：空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量运算的坐标表示专题：空间向量及应用分析：（1）由BDC=90，DCB=30，在平面yOz上，过点D作y轴的垂线，垂足为E，得DO=OB=OC=1，可得D的坐标，从而可得的坐标；（2）求出的坐标，利用向量的夹角公式，即可求的夹角的

16、大小解答：解：（1）由BDC=90，DCB=30，在平面yOz上，过点D作y轴的垂线，垂足为E，得DO=OB=OC=1，所以，即的坐标为（6分）（2），B（0，1，0），C（0，1，0），（12分）点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的夹角公式，考查学生的计算能力，属于基础题17（14分）（2013香洲区模拟）在锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C，所对的边，且满足（）求角B的大小；（）若a+c=5，且ac，b=，求的值考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理专题：计算题分析：（）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0，可得出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函

17、数值即可求出B的度数；（）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c，求出a与c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，然后将所求的式子利用平面向量的数量积运算法则化简后，将b，c及cosA的值代入即可求出值解答：解：（）a2bsinA=0，sinA2sinBsinA=0，（2分）sinA0，sinB=，（3分）又B为锐角，则B=；（5分）（）由（）可知B=，又b=，根据余弦定理，得b2=7=a2+c22accos，（7分）整理得：（a+c）23ac=7，a+c=5，

18、ac=6，又ac，可得a=3，c=2，（9分）cosA=，（11分）则=|cosA=cbcosA=2=1（13分）点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，完全平方公式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及法则是解本题的关键18（14分）已知椭圆C1：=1（ab0）和圆C2：x2+y2=r2（r0）都过点P（1，0），且椭圆C1离心率为，过点P作斜率为k1，k2的直线分别交椭圆C1、圆C2于点A、B、C、D（如图），k1=2k2（1）求椭圆C1和圆C2的方程；（2）求证：直线BC恒过定点考点：直线与圆锥曲线的关系；恒过定点的直线专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1

19、）直接把定点代入圆的方程求圆的半径，利用椭圆过定点得到a的值，代入离心率后求得c的值，结合b2=a2c2求得b的值，则圆与椭圆的方程可求；（2）设出直线AB和CD的方程，分别和圆与椭圆联立后求出A，B，C，D的坐标，求出BC的斜率（用k2）表示，由点斜式写出直线BC的方程后可得直线BC恒过定点解答：（1）解：由圆C2：x2+y2=r2（r0）过点P（1，0），得到r2=1，所以圆C2的方程为x2+y2=1由椭圆C1离心率为=，由椭圆C1：=1（ab0）过点P（1，0），得，所以a=1，代入，得c=，所以所以椭圆C1的方程为x2+2y2=1；（2）证明：由题意可设直线AB的方程为y=k1（x+1

20、），直线CD的方程为y=k2（x+1）由由同理可得：，所以，因为k1=2k2，所以，所以直线BC的方程为即，恒过定点（1，0）点评：本题考查了圆与椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题，往往需要涉及繁杂的计算，这就需要学生有较强的运算能力，属难题19（14分）（2007上海模拟）设数列an是首项为0的递增数列，（nN），xan，an+1满足：对于任意的b0，1），fn（x）=b总有两个不同的根（1）试写出y=f1（x），并求出a2；（2）求an+1an，并求出an的通项公式；（3）设Sn=a1a2+a3a4+（1）n1an，求Sn考点：数列与三角函数的综合专题：计

21、算题；综合题分析：（1）由题意可得当n=1时，f1（x）=|sin（xa1）|=|sinx|，结合对任意的b0，1），f1（x）=b总有两个不同的根可得a2=，代入可求f1（x）a2=（1）类比（1）的方法可分别求f2（x），f3（x），及a2，a3，a4归纳可得an+1an=n，从而利用叠加法可求（3）当n=2k，kZ（4），S2k=a1a2+a3a4+a2k1a2k，n=2k+1，S2k+1=S2k+a2k+1两种情况讨论求解解答：解：（1）a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（xa1）|=|sinx|，x0，a2，（2分）又对任意的b0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，a2=

22、f1（x）=sinx，x0，a2=（4分）（1）由（1），（2）对任意的b0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，a3=3（5分） 对任意的b0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，a4=6（6分）由此可得an+1an=n，（8分） 利用叠加可求得 （10分）（3）当n=2k，kZ（4），S2k=a1a2+a3a4+a2k1a2k（5）=（a2a1）+（a4a3）+（a2ka2k+1）=+3+5+（2k1）=（13分）当n=2k+1，kZ，（16分）点评：本题主要数列与三角函数是综合知识的应用，及由数列的递推公式求解数列的通项公式，叠加法的应用及数列求和公式的应用20（14分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，求的最小值考点：平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系专题：平面向量及应用分析：设PA=PB=x（x0），APO=，则APB=2，PO=，sin=，计算 =，再利用基本不等式求得它的最小值解答：解：如图所示：设PA=PB=x（x0），APO=，则APB=2，PO=，sin=，=|cos2=x2（12sin2）=（x2+1）3+23，当且仅当x2+1=，即 x=时，等号成立，故 的最小值为3+2，此时，x=点评：本题主要考查两个向量的数量的定义和两个向量数量积公式的应用，基本不等式的应用，直线和圆的位置关系，属于中档题