2022七年级数学下册 第八章 二元一次方程组8.docx

1、第课时掌握用加减法解二元一次方程组.使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.体验学习数学的乐趣,在探索过程中品尝成功的喜悦,树立学好数学的信心.【重点】用加减法解二元一次方程组.【难点】学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等,且不成整数倍的二元一次方程组.【教师准备】教材例题板书展示.【学生准备】回顾总结代入法解二元一次方程组的过程.导入一:王阿姨在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元,李阿姨以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元,梨每千克的售价是多少?比一比看谁求得快.设计意图学生可能会有多种办法解决此问题,各种方法中比较简单的是:抵消掉相同部

2、分,王阿姨比李阿姨多买了1千克梨,多花了2元,故梨每千克的售价为2元.问题解决过程中蕴含了加减消元思想.导入二:解方程组:5x- 6y=1,2x- 6y=10.设计意图学生在解上述方程组的过程中,首先会想到先前学习的“代入法”,领悟能力比较强的同学可能用“6y”整体代入的方式比较简单地解方程组,但这仍然是“代入法”的范畴.在学生做完这个习题后,老师可根据学生的解题情况,提出一种新的解方程组的思路.过渡语除了代入法之外,还有没有别的解方程组的方法呢?接下来我们就学习一种新的解方程组的方法加减消元法.思路一一、加减消元法(1)提出问题:不用代入法,怎样解下面的方程组?x+y=10,2x+y=16.

3、(2)分析问题:在这个方程组中,两个方程中y的系数都是1,可以依据等式的性质,通过- 消去未知数y,得x=6.随后把x=6代入方程或,进而求出方程组的解.(3)问题延伸:- 也能消去未知数y,求得x吗?提示:仍然能求出x,但比前面的做法略麻烦.- 得- x=- 6.所以x=6.把x=6代入,得y=4.所以原方程组的解为x=6,y=4.(4)方法思考:联系上面的解法想一想怎样解方程组3x+10y=2.8,15x- 10y=8.解:+得18x=10.8,解得x=35,把x=35代入,得y=110,所以原方程组的解为x=35,y=110.(5)方法总结:从上面两个方程组的解法可以看出:当二元一次方程

4、组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法,简称加减法.二、例题讲解(教材P95例3)用加减法解方程组3x+4y=16,5x- 6y=33.解析这两个方程中没有同一个未知数的系数互为相反数或相等,直接加减这两个方程不能消元.我们对方程变形,使得这两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等.本题的相同未知数系数没有成整数倍数的关系,这就需要采取方程两边同时乘以一个数的办法,转化为同一未知数系数互为相反数或相等的方程组.解:3,得9x+12y=48.2,得10x- 12y=66.+,得19x=

5、114,x=6.把x=6代入,得36+4y=16,4y=- 2,y=- 12.所以这个方程组的解是x=6,y=- 12.追问(1):在上面的解方程组的过程中,把x=6代入可以解得y吗?提示:可以.解法如下:把x=6代入,得56- 6y=33,解得y=- 12.所以这个方程组的解是x=6,y=- 12.追问(2):如果用加减法消去x应如何解?解得的结果一样吗?提示:一样.解法如下:5,得15x+20y=80.3,得15x- 18y=99.- ,得38y=- 19,即y=- 12.把y=- 12代入,得3x- 2=16,即x=6,所以原方程组的解是x=6,y=- 12.可见,所解得的结果是一样的.

6、知识拓展1.当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相等或互为相反数时,用加减消元法来解比较简便.2.若两个方程中同一个未知数的系数成整数倍数关系,则可利用等式的性质将其转化,选择加减消元法求解.3.若两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值都不相等,则应选一组系数(一般选绝对值的最小公倍数较小的一组系数),求出其绝对值的最小公倍数,然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等,再用加减消元法求解.思路二解方程组2x+3y=- 1,2x- 5y=7.1.代入法解方程组.设计意图学生已经学习了这种解法,交给学生自己完成,帮助学生复习旧知识,领悟代入法解方程组的实质,提高解题的熟练程度.展示与

7、评价:解法1:由得x=- 1- 3y2,把x=- 1- 3y2代入方程,消去x解法2:把2x看作一个整体,由得2x=- 1- 3y,把2x=- 1- 3y代入方程,消去2x解法2整体代入更简便,准确率更高.2.加减法解方程组.过渡语有没有更简洁的解法呢?(1)初步领悟.问题1观察上述方程组,未知数x的系数有什么特点?(相等.)问题2除了代入消元,你还有别的办法消去x吗?(两个方程的两边分别对应相减,即可消去x,得到一个一元一次方程.)设计意图使学生进一步巩固用“代入法”解二元一次方程组,并在体会“代入法”存在不足的同时,感受用“加减法”解二元一次方程组的优越性,并掌握“加减法”.解法3:- 得

8、8y=- 8,所以y=- 1,把y=- 1代入或,得x=1.所以原方程组的解为x=1,y=- 1.(2)加法解方程组.解方程组- 2x+3y=- 1,2x- 5y=7.问题1观察上述方程组,未知数x的系数有什么特点?(互为相反数.)问题2除了代入消元,你还有别的办法消去x吗?(两个方程的两边分别对应相加,即可消去x,得到一个一元一次方程.)(3)减法解方程组.解方程组4x+3y=1,2x- 5y=7.问题1这两个方程直接相加减能消去未知数吗?为什么?问题2怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢?处理方式启发学生仔细观察方程组的结构特点,发现x的系数成整数倍数关系.因此:2,得4x- 10y

9、=14.由- 即可消去x,从而使问题得解.从上面的解答过程来看,对于某些二元一次方程组,可通过两个方程两边分别相加或相减消去其中一个未知数,得到一个一元一次方程,从而求出它的解.这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.1.当二元一次方程组的两个方程中(包括转化后)同一未知数的系数互为相反数或相等时,把两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法.2.用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等,且不成整数倍数关系的二元一次方程组时,把一个(或两个)方程的两边同时乘以适当的数,使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等,从而求解

10、.1.二元一次方程组2x+y=8,2x- y=0的解是()A.x=2y=- 4B.x=2y=4C.x=- 2y=4D.x=- 2y=- 4解析:先将两个方程相加(减)消去一个未知数转化为一元一次方程,求出这个一元一次方程的解,再将这个解代入方程组中的一个方程求出另一个未知数的值.也可以根据方程组解的定义去检验.经解或检验知选项B正确.故选B.2.(2014襄阳中考)若方程mx+ny=6的两个解是x=1,y=1和x=2,y=- 1.则m,n的值为()A.4,2B.2,4C.- 4,- 2D.- 2,- 4解析:将x=1,y=1,x=2,y=- 1分别代入mx+ny=6中,得m+n=6,2m- n

11、=6.+得:3m=12,即m=4,将m=4代入得:n=2.故选A.3.解方程组:x- y=4,3x+y=16.解:+,得x=5,- 3,得y=1.原方程组的解为x=5,y=1.第3课时1.加减消元法2.例题讲解例题一、教材作业【必做题】教材第98页习题8.2第3题(1)和(2).【选做题】教材第98页习题8.2第3题(3)和(4).二、课后作业【基础巩固】1.方程组x+y=5,2x- y=4的解是()A.x=3y=2B.x=3y=- 2C.x=- 3y=- 2D.x=- 3y=22.方程组:x+y=5,2x+y=10.由- ,得正确的方程是()A.3x=10B.x=5C.3x=- 5D.x=-

12、 53.已知方程组2x+y=4,x+2y=5,则x+y的值为()A.- 1B.0C.2D.34.(2014泉州中考)方程组x- y=0,2x+y=6的解是.5.(2015东营中考)解方程组x+y=6,2x- y=9.【能力提升】6.二元一次方程组3x- 2y=7,x+2y=5的解是()A.x=3y=2B.x=1y=2C.x=4y=2D.x=3y=17.用加减法解方程组2x- 3y=5,3x- 2y=7.下列解法不正确的是()A.3- 2,消去xB.2- 3,消去yC.(- 3)+2,消去xD.2- (- 3),消去y8.已知二元一次方程组m- 2n=4,2m- n=3.则m+n的值是()A.1

13、B.0C.- 2D.- 19.(2014杭州中考)设实数x,y满足方程组13x- y=4,13x+y=2.则x+y=.10.用加减法解方程组.(1)6s=27- 5t,3s=18- 4t;(2)x3+y4=2,3x- 4y=- 7.【拓展探究】11.(2014贺州中考)已知关于x,y的方程组mx- 12ny=12,mx+ny=5的解为x=2,y=3.求m,n的值.【答案与解析】1.A(解析:本题y的系数的绝对值相等,符号相反,可直接让第一个方程与第二个方程相加,得3x=9,x=3.把x=3代入第一个方程,得y=2.故选A.)2.B(解析:- 的过程其实是合并同类项的过程,依据合并同类项法则解答

14、即可.由- ,得x=5.故选B.)3.D(解析:两方程相加得3x+3y=9,x+y=3.故选D.)4.x=2,y=2(解析:x- y=0,2x+y=6.+得:3x=6,即x=2,将x=2代入得:y=2,则方程组的解为x=2,y=2.故填x=2,y=2.)5.解:x+y=6,2x- y=9.+得3x=15,x=5.把x=5代人,得5+y=6,y=1.方程组的解为x=5,y=1.6.D(解析:在本题中,y的系数正好互为相反数,所以用加减消元法比较简单.3x- 2y=7,x+2y=5.+,得4x=12,所以x=3.将x=3代入,得3+2y=5,所以y=1.因此原方程组的解为x=3,y=1.故选D.)

15、7.D(解析:用加减法解二元一次方程组时,必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数.如果系数相等,那么相减消元;如果系数互为相反数,那么相加消元.A.3- 2,可消去x,故不合题意;B.2- 3,可消去y,故不合题意;C.(- 3)+2,可消去x,故不合题意;D.2- (- 3),得13x- 12y=31,不能消去y,符合题意.故选D.)8.D(解析:此题求的是m+n的值,根据方程组可以解出m,n的值,进一步求得m+n的值或两个方程整体相减求得m+n的值.两个方程相减,得- m- n=1,m+n=- 1.故选D.)9.8(解析:13x- y=4,13x+y=2,+得:23x=6,即x=9,-

16、得:- 2y=2,即y=- 1,方程组的解为x=9,y=- 1.则x+y=9- 1=8.故填8.)10.解:(1)6s=27- 5t,3s=18- 4t.- 2得3t=9,t=3.把t=3代入得3s=18- 43,解得s=2.所以方程组的解为s=2,t=3.(2)x3+y4=2,3x- 4y=- 7.原方程组可变形为4x+3y=24,3x- 4y=- 7,3- 4得:25y=100,y=4.把y=4代入得:3x- 16=- 7,解得x=3.所以方程组的解为x=3,y=4.11.解:将x=2,y=3代入方程组得2m- 32n=12,2m+3n=5.- 得92n=412,即n=1,将n=1代入得m

17、=1.则m=1,n=1.本课时是代入法解方程组之后学习的另一种重要的解方程组的方法.学生对方程组的变形、未知数的代换等有了一定的经验,本课时在学生探索的基础上,给出了加减法的概念,并对这种解方程组的方法进行了细致的总结和指导.对于两种不同的解方程组的方法的各自特点没有进行比较,不利于学生从总体上理解解方程组的消元思想.对两种解方程组的基本方法的特点进行比较,增加例题的数量,帮助学生灵活选用适当的方法解方程组.解方程组3x+2y=20,4x- 5y=19.解析方程组中未知数的系数既不为1,也没有整数倍数关系,若用代入法会很繁琐,应考虑用加减法,并选择系数较简单的未知数消元,且尽量采用加法而不用减法消元.解:5+2得:15x+10y+8x- 10y=100+38,即23x=138,x=6.将x=6代入得:36+2y=20,y=1.原方程组的解为x=6,y=1.解方程组1997x- 1999y=1995,1996x- 1998y=1994.解析方程组中未知数的系数都很大,不宜直接用常规的代入法或加减法.但它有一个特点:未知数的系数差都是1,因此针对这种特点,可采用巧妙的方法求解.解:由- 得:x- y=1.1996- 得:y=1,1999- 得:x=2,原方程组的解为x=2,y=1.