重庆大学城第一中学校高中数学人教A版必修五课件：第二章2-2-2等差数列（2） .ppt

1、2.2等差数列(二)第二章数列1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题学习目标导学:思考完成问题1学做思一 等差数列通项公式的推广问题1.已知等差数列an的首项a1和公差d能表示出通项ana1(n1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?设等差数列的首项为a1，则ama1(m1)d，变形得a1am(m1)d，则ana1(n1)dam(m1)d(n1)dam(nm)d.学做思二 等差数列的性质利用1100299.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和即a1ana2an1a3an2.导学:完成问题2问题2.还记得

2、高斯怎么计算123100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？导思:在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amap.特别地，若mn2p，则anam2ap.anaq学做思三 由等差数列衍生的新数列(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)dd2d.anan2是公差为2d的等差数列导学:独立思考完成问题3问题3.若an是公差为d的等差数列，那么anan2是等差数列吗？若是，公差是多少？导思:若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为

3、常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)导学:独立思考完成例1,代表小组展示例1在等差数列an中，已知a25，a817，求数列的公差及通项公式类型一 等差数列推广通项公式的应用因为a8a2(82)d，所以1756d，解得d2.又因为ana2(n2)d，所以an5(n2)22n1.导思:灵活利用等差数列的推广通项公式，可以减少运算跟踪训练1数列an的首项为3，bn为等差数列，且bnan 1an(nN*)，若b32，b1012，则a8等于A.0 B.3 C.8 D.11类型二 等差数列与一次函数的关系例2已知数列an的通项公式anpnq，其中p，q为常数，那么这个数列一定

4、是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？取数列an中任意相邻两项an和an1(n1)，求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p.它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列.由于anpnqqp(n1)p，所以首项a1pq，公差dp.导思本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征，这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华.跟踪训练2某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略

5、，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则anan120(n2，nN*)，每年获利构成等差数列an，且首项a1200，公差d20.所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0，则该公司经销这一产品将亏损，由an20n2200，解得n11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.例3已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式.类型三 等差数列性质的应用方法一 因为a1a72a4，a1a4a73a415，所以a45.又因为a2a4a645，所以a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d

6、)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d132n.导思1.在例3中，不难验证a1a4a7a2a4a6，那么，在等差数列an中，若mnpqrs，m，n，p，q，r，sN*，是否有amanapaqaras?设公差为d，则ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，ara1(r1)d，asa1(s1)d，amanap3a1(mnp3)d，aqaras3a1(qrs3)d，mnpqrs，amanapaqaras.2.在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.a3a810，a3a3a8a820.33885557，

7、a3a3a8a8a5a5a5a7，即3a5a72(a3a8)20.20导思解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列an的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.跟踪训练3在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值.方法一 解:(a2a5a8)(a1a4a7)3d，(a3a6a9)(a2a5a8)3d，a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差数列.a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7)2333927.跟踪训练3在等差数列an中，已知a1a4a739，a2

8、a5a833，求a3a6a9的值.方法二 a1a4a7a1(a13d)(a16d)3a19d39，a13d13，a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d)3a112d33.a14d11，a3a6a9(a12d)(a15d)(a18d)3a115d31915(2)27.当堂训练1.在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于A.3 B.6 C.4 D.3123由等差数列的性质得a8a3(83)d5d，1232.在等差数列an中，已知a42，a814，则a15等于A.32 B.32C.35 D.35由a8a4(84)d4d，得d3，所以a15a8(158)d147335.1233.等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于A.3 B.3由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a215123.导思1.等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.2.在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.本课结束