《全国百强校》江苏省扬州中学2015届高三第四次模拟考试（5月）数学试题 WORD版含答案.doc

1、2015届高三第四次模拟考试试卷答案数学 (满分160分，考试时间120分钟)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1. 已知集合Mx|x1，Nx|lg(2x1)0，则MN 【答案】(0,1) 2. 复数z为纯虚数，则实数a的值为 【答案】1 3. 某学校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 【答案】84. 执行如图所示流程图，得到的结果是 【

2、答案】5. 已知双曲线(a0,b0)的一条渐近线方程为yx，那么该双曲线的离心率为 【答案】6. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为 【答案】7. 函数f (x)a（x0），则“f (1)1”是“函数f (x)为奇函数”的 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）【答案】充要8. 若一圆锥的底面半径为3，体积是12，则该圆锥的侧面积等于 【答案】159. 已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是_【答案】4 解：x2y8x(2y)82，整理得24320，即0又x2y0，x2y4 10. 函数ysin(si

3、ncos) (a)的最大值为 【答案】+11. 已知ABC是等边三角形，有一点D满足，且|，那么 【答案】312. 已知函数f (x)，若x1,x2R，x1x2，使得f (x1)f (x2)成立，则实数a的取值范围是 【答案】(,4)13. 已知函数f (x)满足f (x)f ()，当x时，f (x)lnx，若在区间,3内，函数g(x)f (x)ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 【答案】,14. 各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有 项【答案】7解：a2a3an(n1)(a1n)(n1)a1n(n1)2n(n1)233为了使

4、得n尽量大，故20，33(n1)(3n1)132，当n6时，519132；当n7时，622132，故nmax7【注】不易猜测：3，1，1，3，5，7，9二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分14分）已知函数f (x)sin(x) (0，0)，其图像经过点M，且与x轴两个相邻的交点的距离为（1）求f (x)的解析式；（2）在ABC中，a13，f (A)，f (B)，求ABC的面积解：（1）依题意知，T2，1，f (x)sin(x) 2分f ()sin()，且0 即 5分f (x)sincosx 6分注意：不写的范围，直接得的值扣1分，f

5、(x)的解析式不化简不扣分（2）f (A)cosA，f (B)cosB， A,B(0,) sinA，sinB 8分sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB 10分在ABC中 b15. 12分SABCabsinC131584 14分注意：其他解法参照给分16. （本小题满分14分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是BC的中点（1）求证：A1C平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BMB1D，求证：平面AB1D平面ABM证明：(1)记A1BAB1O，连接OD.四边形AA1B1B为矩形，O是A1B的中点，又D是BC的中点，A1COD. 2分又A1C平面AB1D，OD平面AB

6、1D，A1C平面AB1D. 6分注意：条件“A1C平面AB1D，OD平面AB1D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！(2)ABC是正三角形，D是BC的中点， ADBC. 8分平面ABC平面BB1C1C，平面ABC平面BB1C1CBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C. 【或利用CC1平面ABC证明AD平面BB1C1C.】 10分BM平面BB1C1C，ADBM. 12分又BMB1D，ADB1DD，AD,B1D平面AB1D，BM平面AB1D.又BM平面ABM，平面AB1D平面ABM 14分17. （本小题满分15分）如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB

7、内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2（），其中半径较大的花坛P内切于该扇形，半径较小的花坛Q与P外切，且与OA、OB相切（1）求半径较大的花坛P的半径（用表示）；（2）求半径较小的花坛Q的半径的最大值解：(1)设P切OA于M，连PM，Q切OA于N，连QN，记P、Q的半径分别为rP、rQP与O内切，|OP|80rP，rP80， 4分rP (0) 6分(2)|PQ|rPrQ|OP|OQ|rPrQrQ (0) 10分法一：令t1sin(1,2)，rQ8080令m（,1)，rQ80(2m23m1) m时，有最大值10 14分注意：换元不写范围扣1分法二：sin(1sin) rQ10此时sin 14

8、分注意：不指出取等号的条件扣1分法三：令tsin(0,1)，rQ，rQ令rQ0得：t，【列表略】故t时，Q的半径的最大值为1014分注意：不列表扣1分答：Q的半径的最大值为10 15分注意：应用题不写答扣1分18. （本小题满分15分）已知椭圆C：的离心率为，短轴长为4，F1、F2为椭圆左、右焦点，点B为下顶点（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P(x0, y0)是椭圆C上第一象限的点 若M为线段BF1上一点，且满足， 求直线OP的斜率； 设点O到直线PF1、PF2的距离分别为d1、d2， 求证：为定值，并求出该定值 解：（1）由题意知，2b4，b2，又e，且a2b2c2，解得：a，c1，椭圆C

9、的标准方程为1； 4分（2）由（1）知：B(0,2)，F1(1,0)，BF1：y2x2 5分设M(t,2t2)，由得： 7分代入椭圆方程得：6(t1)21，36t260t250，(6t5)20， t ，M(，) 9分OM的斜率为，即直线OP的斜率为； 10分【或】设直线OP的方程为，由，得 6分由得， 8分由得解得： 10分由题意，PF1：y(x1)，即y0x(x01)yy00 11分d1，同理可得：d2 PF1PF22a2 15分【或】SOPF1PF1d1OF1y0，PF1d1y0，PF1同理在OPF2中，有PF2PF1PF22a2 15分19. （本小题满分16分）已知a为实数，函数f (

10、x)alnxx24x（1）是否存在实数a，使得f (x)在x1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f (x)在上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g(x)2alnxx25x，若存在x0，使得f (x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围解：（1）函数f (x)定义域为(0,)，f (x)2x4假设存在实数a，使f (x)在x1处取极值，则f (1)0，a2， 2分此时，f (x)，当0x1时，f (x)0，f (x)递增；当x1时，f (x)0，f (x)递增x1不是f (x)的极值点故不存在实数a，使得f (x)在x1处取极值 4分（2）f (x)，当a2时，f (x)0，f (

11、x)在(0,)上递增，成立； 6分当a2时，令f (x)0，则x1或x1，f (x)在(1,)上递增，f (x)在上存在单调递增区间，13，解得：6a2综上，a6 10分（3）法一：记F(x)xlnx(x0)，F(x)(x0)，当0x1时，F (x)0，F(x)递减；当x1时，F (x)0，F(x)递增F(x)F(1)10由f (x0)g(x0) 得：(x0lnx0)a2x0 12分a，记G(x)，x,e G(x)x,e，22lnx2(1lnx)0，x2lnx20x(,1)时，G(x)0，G(x)递减；x(1,e)时，G(x)0，G(x)递增G(x)minG(1)1 aG(x)min1故实数a

12、的取值范围为20. （本小题满分16分）已知两个无穷数列分别满足，且（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式；（2）若数列满足：存在唯一的正整数，使得，称数列为“梦数列”；设数列的前项和分别为， 若数列为“梦5数列”，求； 若为“梦数列”，为“梦数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求出的值及对应的；若不存在，请说明理由解：（1）数列都为递增数列，； 4分（2）数列满足：存在唯一的正整数，使得，且，数列必为，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，故Sn； 8分 即， 9分而数列为“梦数列”且，数列中有且只有两个负项假设存在正整数，使得，显然，且为奇数，而中各项均为奇数，必为偶数 10分首先证明：若，数列中，而数列中，必然为正，否则，显然矛盾；（），设，易得而，为增数列，且进而为增数列，而，即 14分当时，构造：为，为此时， 当时，无解所以，对应的， 16分