《全国省级联考》江苏省如东高级中学、前黄高级中学、栟茶高级中学、马塘中学四校2017届高三12月联考数学试题解析（解析版）WORD版含解斩.doc

1、一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.全集，集合，则_【答案】【解析】试题分析：由补集定义得考点：集合的补集【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2.设复数（，是虚数单位），若，则的值为_【答案】考点：复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于

2、基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.函数定义域为_【答案】【解析】试题分析：由题意得，因此定义域为考点：函数定义域4.棱长均为的正四棱锥的体积为_【答案】【解析】试题分析：正四棱锥的高为，底面为正方形，面积为1，所以体积为考点：正四棱锥的体积【方法点睛】(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法.(2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面

3、，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.5.已知实数，满足不等式组则的最大值为_【答案】考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 16.若“，”是假命题，则实数的取值范围是_【答案】考点：命题的否定【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两

4、步操作：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个xx0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题.7.将函数的图象至少向右平移_个单位，所得图象恰关于坐标原点对称【答案】【解析】试题分析：将函数的图象向右平移个单位得，根据图象恰关于坐标原点对称得，因此当时，取最小值考点：三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换

5、，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数yAsin(x)，xR是奇函数k(kZ)；函数yAsin(x)，xR是偶函数k(kZ)；函数yAcos(x)，xR是奇函数k(kZ)；函数yAcos(x)，xR是偶函数k(kZ).8.已知等差数列的首项为若为等比数列，则_【答案】【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题意得，即，因此考点：等差数列公差9.在平面直角坐标系，设双曲线（，）的焦距为（）当，任意变化时，的最大值是_【答案】考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆

6、、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 110.已知，则的值为_【答案】【解析】试题分析：考点：弦化切【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异。一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的。(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围

7、，确定角。11.已知函数定义域为，其中，值域，则满足条件的数组为_【答案】考点：函数性质【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系 111112.在平面直角坐标系中，已知圆：，直线与圆相交于，两点，且，则的取值范围为_【答案】【解析】试题分析：设中点为，则,又直线与圆相交于，两点，所以，而，所以，即的取值范围为考

8、点：直线与圆位置关系【思路点睛】（1）向量加法与弦中点，向量减法与弦长的关系，是本题综合向量与圆中弦长的切入点；（2）涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；（3）直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断13.已知函数，平行四边形四个顶点都在函数图像上，且，则平行四边形的面积为_【答案】考点：函数性质，向量数量积【思路点睛】（1）函数对称中心与平行四边形对称中心的重合，是本题解决的关键点；（2）计算已知顶点坐标的三角形面积，可先利用向量数量积求角，再利用角的正弦与两边乘积的一半等于面积求；也可先求直线方

9、程，利用点到直线距离等于高，两点间距离等于底边长，再代入底与高乘积的一半等于面积求14.已知数列各项为正整数，满足若，则所有可能取值的集合为_【答案】考点：新定义二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在三角形中，角，所对的边分别是，已知，（1）若，求的值；（2）若，求的值【答案】（）（）【解析】试题分析：（）已知两边一角求第三边，一般利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入条件即得，（）同（）可先利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入，可得，再利用余弦定理求，也可先利用正弦定理，将边的条件转化为角的关系，再根据正弦定理求的值

10、试题解析：（1）由余弦定理，3分将，代入，解得：6分（2）由正弦定理，化简得：，则，8分因为，所以，所以或（舍去），则10分由正弦定理可得，将，代入解得14分考点：正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：111第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.16.（本小题满分14分）如图，在四面体中，点，分别为棱，上的点，点为棱的中点，且平面平面求证：（1）；

11、（2）平面平面【答案】（）详见解析（）详见解析试题解析：（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，4分又为的中点，故为的中点，同理可得，为的中点，所以7分（2）因为，由（1）知，为的中点，所以，又，即，由（1）知，所以，又，平面，所以平面，12分又平面，故平面平面14分考点：面面平行性质定理，面面垂直判定定理，线面垂直判定定理【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17.（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是

12、凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形是矩形，弧是半圆，凹槽的横截面的周长为若凹槽的强度等于横截面的面积与边的乘积，设，（1）写出关于函数表达式，并指出的取值范围；（2）求当取何值时，凹槽的强度最大【答案】（）（）（）由凹槽的强度定义得，利用导数求其最值：先求导数，再求导函数在定义区间上的零点，列表分析导函数符号变化规律，确定最值试题解析：（）易知半圆的半径为，故半圆的弧长为所以，得2分依题意知：得所以，（）6分（）依题意，设凹槽的强度为，横截面的面积为，则有，9分因为，所以，当时，当时，所以当，凹槽的强度最大13分答：所以当，凹槽的强度最大14分考点：利用导数求函数最值【方法点睛】利用导

13、数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f(x)0或f(x)0求单调区间；第二步：解f(x)0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，点，分别为椭圆的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，交于点，其中点在第一象限，设直线的斜率为（1）当时，证明直线平分线段；（2）已知点，则：若，求；求四边形面积的最大值【答案】（）详见解析（）或形面积之和,因此，再根据设，从而，也可利用点到直线距离公式及基本不等式求最值试题解析：（1），由得中点为，满足，即直线过中点，也

14、即平分线段（2）点 椭圆的方程为设，则，的直线方程为：设点到直线的距离为，则6分，即由，解得；由，解得8分，即 或10分点到直线的距离点到直线的距离12分14分当且仅当时取等号所以四边形面积的最大值为16分考点：直线与椭圆位置关系【思路点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.19.（本小题满分16分）已知数列满足，且对任意，都

15、有（1）求，；（2）设（）求数列的通项公式；设数列的前项和，是否存在正整数，且，使得，成等比数列？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由【答案】（），（），式因为，所以先根据裂项相消法求和：，再根据，成等比数列，得，取倒数分离得，再由为大于1的正整数得，代入解得试题解析：（1）由题意，令，则，解得2分令，则，解得4分（2）以代替，得5分则，即所以数列是以为公差的等差数列，8分因为所以11分则，因为，成等比数列，即所以，解得14分又，且，则所以存在正整数，使得，成等比数列16分考点：等差数列定义，裂项相消法求和【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中

16、间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.20.（本小题满分16分）已知（）（1）当时，求的单调区间；（2）函数有两个零点，且求的取值范围；实数满足，求的最大值【答案】（）单调增区间为，单调减区间为（）2【解析】试题分析：（）先确定函数定义域，再求导数，求出定义区间上的零点，最后列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间（）先根据题意函数不单调：因为，转化为关于一元函数，即利用导数求此函数最小值，由二次求导可得，根据洛必达法则可得，所以，即的最大值为2.试题解析：

17、（1）当时，的单调增区间为，单调减区间为2分（2）（）当时，在上至多只有一个零点，与条件矛盾（舍）当时，令，得列表 极小值 有两个不同的零点 即6分当时，在上单调递减且图像是不间断的此时，在上有且只有一个零点， 令，则设，在上单调递增， 又在上单调递增且图像是不间断的在上有且只有一个零点综上，9分有条件知将两式分别相加，相减得，设由题意得对于任意成立整理即得在成立令，当时，12分在上单调递增，则，满足条件当时，令，（舍）当时，在上单调递减与条件矛盾综上，16分111考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究函数零点，利用导数求参数取值范围【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(

18、1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 1附加题21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21.A1选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知凸四边形的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心在上，且与四边形的其余三边相切点在边上，且求证：，四点共圆【答案】详见解析试题解析：因为，所以，因为四边形的顶点在一个圆周上，所以，从而，所以，四点共圆考点：四点共圆21.B

19、1选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换下得到点，求【答案】【解析】试题分析： 先根据对应关系求向量：即由，解得，再根据逆矩阵公式得，最后根据矩阵运算得试题解析：依题意，即解得4分由逆矩阵公式知，矩阵的逆矩阵，8分所以10分考点：逆矩阵21.C1选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知极坐标系中的曲线与曲线交于，两点，求线段的长【答案】试题解析：曲线化为；4分同样可化为，8分联立方程组，解得，所以所以（），解得（负值已舍）10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程21.D1选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知，求证：【答案】详见解析

20、试题解析：因为，且，（当且仅当时“”成立）所以， 4分又，（当且仅当时“”成立）8分由得（当且仅当时“”成立）10分考点：基本不等式【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中中，已知定点，分别是轴、轴上的点，点在直线上，满足：，（1）求动点的轨迹方程；（2）设为点轨迹的一个焦点，、为轨迹在第一象限内的任意两点，直线，的斜率分别为，且满足，求证：直线过定点【答案】（）（）详见解析示直线方程：设，则直线：，即，再由得，所以直线过定点试题解析：（1）设点坐标，点坐标，点坐标由，得消去

21、，得所以点轨迹方程为3分（2）设，两点的坐标分别为，则， 相减：所以5分，由得111所以，得直线：，即7分令，得所以直线过定点10分考点：直接法求轨迹方程，直线过定点【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.23.（本小题满分10分）已知函数，设为的导数，（1）求，；（2）求的表达式，并证明你的结论【答案】（）（）试题解析：（1），其中，3分（2）猜想，当时，成立假设时，猜想成立即5分当时，当时，猜想成立由对成立10分考点：复合函数求导，数学归纳法证明