山东省枣庄市薛城区2016-2017学年高二下学期期中数学试卷（理科） WORD版含解析.doc

1、2016-2017学年山东省枣庄市薛城区高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1若复数（i为虚数单位），则|z|=（）ABCD2用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根3计算定积分（1+）dx=（）Ae1BeCe+1D1+4函数的最大值为（）Ae1BeCe2D5已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（

2、x）=2xf（1）+lnx，则f（1）=（）AeB1C1De6用数学归纳法证明 1+n（nN*，n1）时，第一步应验证不等式（）ABCD7方程x36x2+9x10=0的实根个数是（）A3B2C1D08已知函数f（x）=，则（）ABCD9函数y=（x+2）ln|x|的图象大致为（）ABCD10直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切时，a=（）A1B1C2D211设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）12已知函数f（

3、x）=（2x+1）er+1+mx，若有且仅有两个整数使得f（x）0则实数m的取值范围是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13已知函数f（x）=sinx，则f（）= 14求由曲线y=x3及直线y=2x所围成的图形面积 15已知f（x）=x32x，过点（1，m）（m2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围为 16若O为ABC内部任意一点，边AO并延长交对边于A，则=，同理边BO，CO并延长，分别交对边于B，C，这样可以推出+= ；类似的，若O为四面体ABCD内部任意一点，连AO，BO，CO，DO并延长，分别交相对面于A，B，C，D，则+= 三、解答题：本大题

4、共6小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17已知z是复数，z+2i与均为实数（1）求复数z；（2）复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围18已知函数f（x）=+lnx，其中aR，且曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线y=x（）求a的值；（）求函数f（x）的单调区间与极值19（）求证：当a2时， +2；（）证明：2，5不可能是同一个等差数列中的三项20观察下列等式：1=1 第一个式子2+3+4=9 第二个式子3+4+5+6+7=25 第三个式子4+5+6+7+8+9+10=49 第四个式子照此规律下去：（）写出第五个等式；（）你能做出什么

5、一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想21某厂家拟在“五一”节举行大型促销活动，经测算某产品销售价格x（单位：元/件）与每日销售量y（单位：万件）满足关系式y=+2（x5）2，其中2x5，a为常数，已知销售价格为3元时，每日销售量10万件（1）求a的值；（2）若该商品的成本为2元/件，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大22已知函数f（x）=（2a）lnx+2ax（）当a=2时，求函数f（x）的极值；（）当a0时，讨论f（x）的单调性；（）若对任意的a（3，2），x1，x21，3恒有（m+ln3）a2ln3|f（x1）f（x2）|成立，求实数m的取值范围2016-2017学

6、年山东省枣庄市薛城区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1若复数（i为虚数单位），则|z|=（）ABCD【考点】A8：复数求模【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算【解答】解： =，故选：D2用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】R9：反证法与放缩法【分析

7、】直接利用命题的否定写出假设即可【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根故选：A3计算定积分（1+）dx=（）Ae1BeCe+1D1+【考点】68：微积分基本定理【分析】利用微积分基本定理即可得出【解答】解：（x+lnx）=1+，定积分（1+）dx=（e+lne）（1+ln1）=e故选：B4函数的最大值为（）Ae1BeCe2D【考点】6C：函数在某点取得极值的条件【分析】先找出导数值等于0的点，再确定在此点的左侧及右侧导数值的符号，确定此点是函数的极大值点还是极小

8、值点，从而求出极值【解答】解：令，当xe时，y0；当xe时，y0，在定义域内只有一个极值，所以，故答案选 A5已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（1）+lnx，则f（1）=（）AeB1C1De【考点】65：导数的乘法与除法法则；64：导数的加法与减法法则【分析】已知函数f（x）的导函数为f（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（1）+ln x，（x0）f（x）=2f（1）+，把x=1代入f（x）可得f（1）=2f（1）+1，解得f（1）=1，故选B；6用数学归纳法证明 1+n（

9、nN*，n1）时，第一步应验证不等式（）ABCD【考点】RG：数学归纳法【分析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可【解答】解：用数学归纳法证明（nN+，n1）时，第一步应验证不等式为：；故选B7方程x36x2+9x10=0的实根个数是（）A3B2C1D0【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】令f（x）=x36x2+9x10，将方程x36x2+9x10=0的实根转化为函数图象与x轴的交点【解答】解：令f（x）=x36x2+9x10，则f（x）=3x212x+9=3（x1）（x3），f（1）=6，f（3）=10，则f（x）=x36x2+9x10的简图如下：故选C8已知函数f（x

10、）=，则（）ABCD【考点】67：定积分【分析】先根据条件可化为（x+1）2dx+dx，再根据定积分以及定积分的几何意义，求出即可【解答】解： （x+1）2dx+dx，（x+1）2dx=（x+1）3|=，dx表示以原点为圆心以1为为半径的圆的面积的四分之一，故dx=，（x+1）2dx+dx=，故选：B9函数y=（x+2）ln|x|的图象大致为（）ABCD【考点】3O：函数的图象【分析】根据函数的零点，单调性及极限思想结合选项使用排除法得出答案【解答】解：令y=（x+2）ln|x|=0得x=2或x=1或x=1，该函数由三个零点，排除B；当x2时，x+20，|x|2，ln|x|ln20，当x2时，

11、y=（x+2）ln|x|0，排除C，D故选A10直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切时，a=（）A1B1C2D2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程，又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程三个方程联立即可求出a的值【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，且y0=ln（x0+a），又切线方程y=x+1的斜率为1，即=1，x0+a=1，y0=0，x0=1，a=2故选D11设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）=0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（

12、0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系【分析】由已知当x0时总有xf（x）f（x）0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（，0）（0，+）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）0等价于xg（x）0，数形结合解不等式组即可【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g（x）=，当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）恒小于0，当x0时，函数g（x）=为减函数，又g（x）=g（x），函数g（x）为定义

13、域上的偶函数又g（1）=0，函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）0xg（x）0或，0x1或x1故选：A12已知函数f（x）=（2x+1）er+1+mx，若有且仅有两个整数使得f（x）0则实数m的取值范围是（）ABCD【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】问题转化为mx（2x+1）ex+1，设g（x）=mx，h（x）=（2x+1）ex+1，根据函数的单调性结合函数图象得到关于m的不等式组，解出即可【解答】解：依题意由f（x）0，得（2x+1）ex+1+mx0，即mx（2x+1）ex+1设g（x）=mx，h（x）=（2x+1）ex+1，

14、则h（x）=2ex+1+（2x+1）ex+1=（2x+3）ex+1由h（x）0得（2x+3）0，即；由h（x）0得（2x+3）0，即所以当时，函数h（x）取得极大值在同一直角坐标系中作出y=h（x），y=g（x）的大致图象如图所示，当m0时，满足g（x）h（x）的整数解超过两个，不满足条件当m0时，要使g（x）h（x）的整数解只有两个，则需要满足，即，解得，所以故选B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13已知函数f（x）=sinx，则f（）=【考点】63：导数的运算【分析】根据导数的运算法则计算即可【解答】解：f（x）=sinx，则f（x）=cosx，则f（）=cos=，故答

15、案为：14求由曲线y=x3及直线y=2x所围成的图形面积2【考点】6G：定积分在求面积中的应用【分析】先求出曲线y=x3与y=2x的交点坐标，得到积分的上下限，然后利用定积分求出第一象限所围成的图形的面积，根据图象的对称性可求出第三象限的面积，从而求出所求【解答】解：曲线y=x3与y=2x的交点坐标为（0，0），（，2），（，2）曲线y=x3与直线y=2x在第一象限所围成的图形的面积是S=（）=1根据y=x3与y=2x都是奇函数，关于原点对称，在第三象限的面积与第一象限的面积相等曲线y=x3与y=2x所围成的图形的面积为2故答案为：215已知f（x）=x32x，过点（1，m）（m2）可作曲线y

16、=f（x）的三条切线，则m的取值范围为（2，1）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设切点为（），利用导数的几何意义，求得切线的斜率k=f（x0），利用点斜式写出切线方程，将点（1，m）代入切线方程，可得关于x0的方程有三个不同的解，利用参变量分离可得2，令g（x）=2x33x2，利用导数求出g（x）的单调性和极值，则根据y=g（x）与y=2m有三个不同的交点，即可得到m的取值范围【解答】解：设切点为（），由f（x）=x32x，得f（x）=3x22，则切线方程为把（1，m）代入，可得m=过点A（1，m）（m2）可作曲线y=f（x）的三条切线，方程m=有三个不同的根，令g（x）=

17、2x33x2，g（x）=6x26x=0，解得x=0或x=1，当x0时，g（x）0，当0x1时，g（x）0，当x1时，g（x）0，g（x）在（，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，当x=0时，g（x）取得极大值g（0）=0，当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=1，关于x0的方程m=有三个不同的根，等价于y=g（x）与y=2m的图象有三个不同的交点，12m0，2m1，实数m的取值范围为（2，1）故答案为：（2，1）16若O为ABC内部任意一点，边AO并延长交对边于A，则=，同理边BO，CO并延长，分别交对边于B，C，这样可以推出+=2；类似的，若O为四面体ABCD内

18、部任意一点，连AO，BO，CO，DO并延长，分别交相对面于A，B，C，D，则+=3【考点】F3：类比推理【分析】（1）根据=，推得，然后求和即可；（2）根据所给的定理，把面积类比成体积，求出+的值即可【解答】解：（1）根据=推得，所以+=2（2）根据所给的定理，把面积类比成体积，可得+=3故答案为：2，3三、解答题：本大题共6小题，共70分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17已知z是复数，z+2i与均为实数（1）求复数z；（2）复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算【分析】（1）设z=x+y

19、i（x，yR），然后代入z+2i结合已知求出y的值，再代入，利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知可求出x的值，则复数z可求；（2）把z=42y代入（z+ai）2化简结合已知条件列出不等式组，求解即可得答案【解答】解：（1）设z=x+yi（x，yR），则z+2i=x+（y+2）i为实数，y=2=为实数，解得x=4则z=42y；（2）（z+ai）2=（42y+ai）2=（12+4aa2）+8（a2）i在第一象限，解得2a618已知函数f（x）=+lnx，其中aR，且曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线y=x（）求a的值；（）求函数f（x）的单调区间与极值【考点】6H：利用导数研究

20、曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值【分析】（）由曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线y=x可得f（1）=2，可求出a的值；（）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值【解答】解：（）f（x）=+lnx，f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线y=xf（1）=a1=2，解得：a=（）由（）知：f（x）=+lnx，f（x）=（x0），令f（x）=0，解得x=5，或x=1（舍），当x（0，5）时，f（x）0，当x（5，+）时，f（x）0，故函数f（x）的单调

21、递增区间为（5，+）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值ln519（）求证：当a2时， +2；（）证明：2，5不可能是同一个等差数列中的三项【考点】R9：反证法与放缩法【分析】（）利用综合法证明即可；（）利用反证法证明，假设是同一个等差数列中的三项，分别设为am，an，ap，推出为无理数，又为有理数，矛盾，即可证明不可能是等差数列中的三项【解答】解：（）（ +）2=2a+2，0，0且a+2a2，+2（）假设是同一个等差数列中的三项，分别设为am，an，ap，则为无理数，又为有理数，矛盾所以，假设不成立，即不可能是同一个等差数列中的三项20观察下列等式：1=1 第一个式子2+3+

22、4=9 第二个式子3+4+5+6+7=25 第三个式子4+5+6+7+8+9+10=49 第四个式子照此规律下去：（）写出第五个等式；（）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理【分析】（）利用条件直接写出第5个等式（）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可【解答】解：（）第5个等式 5+6+7+13=92； （）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2，）再用数学归纳法加以证明如下：（1）当n=1时显然成立；）（2）假设n=k（k1，kN+）时也成立

23、，即有k+（k+1）+（k+2）+（3k2）=（2k1）2，那么当n=k+1时左边=（k+1）+（k+2）+（3k2）+（3k1）+（3k）+（3k+1），=（k+1）+（k+2）+（3k2）+（2k1）+（3k）+（3k+1），=（2k1）2+（2k1）+3k+3k+1，=4k24k+1+8k，=2（k+1）12，而右边=2（k+1）12这就是说n=k+1时等式也成立根据（1）（2）知，等式对任何nN+都成立21某厂家拟在“五一”节举行大型促销活动，经测算某产品销售价格x（单位：元/件）与每日销售量y（单位：万件）满足关系式y=+2（x5）2，其中2x5，a为常数，已知销售价格为3元时，每日

24、销售量10万件（1）求a的值；（2）若该商品的成本为2元/件，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】（1）由f（3）=10代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（2）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值【解答】解：（1）因为x=3时，y=10，所以a+8=10，故a=2；（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y=+2（x2）2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f（x）=

25、（x2）+2（x5）2=2+2（x2）（x5）2，从而，f（x）=6（x5）（x3），于是，当x变化时，f（x）、f（x）的变化情况如下表： x（2，3）3（3，5） f（x）+0 f（x） 单调递增极大值10 单调递减由上表可得，x=3是函数f（x）在区间（2，5）内的极大值点，也是最大值点所以，当x=3时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于10，答：当销售价格为3元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大22已知函数f（x）=（2a）lnx+2ax（）当a=2时，求函数f（x）的极值；（）当a0时，讨论f（x）的单调性；（）若对任意的a（3，2），x1，x21，3恒有（m+ln3）a

26、2ln3|f（x1）f（x2）|成立，求实数m的取值范围【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间；（）分别求出函数f（x）的最大值和最小值，从而得到|f（x1）f（x2）|f（1）f（3），根据（m+ln3）a2ln34a+（a2）ln3，求出m的范围即可【解答】解：（）函数f（x）的定义域是（0，+），f（x）=+4，令f（x）=0，解得：x=，x=（舍），故f（x）在（0，）递减，在（，+）递增，故f（x）的极

27、小值是f（）=4，无极大值；（）由题意得函数f（x）的定义域是（0，+），f（x）=+2a=，当a2时，令f（x）0，得：0x或x，令f（x）0，得x，当2a0时，得，令f（x）0，得0x或x，令f（x）0，得x，当a=2时，f（x）=0，综上所述，当a2时，f（x）的递减区间为（0，）和（，+）单调区间为（，），当a=2时，f（x）在（0，+）单调递减，当2a0时，f（x）的递减区间为（0，）和（，+），递增区间为：（，）（）由（）得，当x（3，2时，f（x）在区间1，3上单调递减，当x=1时，f（x）取得最大值，当x=3时，f（x）取得最小值，|f（x1）f（x2）|f（1）f（3）=（12a）（2a）ln3+6a=4a+（a2）ln3，|f（x1）f（x2）|（m+ln3）a2ln3恒成立，（m+ln3）a2ln34a+（a2）ln3，整理得ma4a，a0，m4恒成立，3a2，4，m2017年6月23日