高中数学课件：算法案例（2） 必修三.ppt

1、温故知新分别用辗转相除法与更相减损术求1037与425的最大公约数。怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？新课引入算法1：因为()=所以(5)=55555=3125625125255=3906思考：在这种算法中共进行了多少次乘方运算与加法运算？一共做了4+3+2+1=10次乘法运算，5次加法运算。计算多项式()=当x=5的值的算法：算法2：(5)=55555=5(5555)=5(5(555 )=5(5(5(5+5+)+)+)+=5(5(5(5(5+)+)+)+)+思考：在这种算法中共进行了多少次乘方运算与加法运算？一共做了4次乘法运算，5次加法运算。诱思探究1以

2、上两种算法，相对计算机来说哪一种运算效率更高？第二种算法与第一种算法相比，乘法的运算次数减少了，能够提高运算效率。对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种算法，计算机能更快得到结果，效率更高。用第二种算法，我们可以从最里层的括号开始逐步向外层括号计算，最终得到结果，这就是我国南宋数学家秦九韶提出的秦九韶算法。秦九韶（秦九韶（12081208年年12611261年）年）南宋官员、数学家，与李冶、杨南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、辉、朱世杰并朱世杰并称宋元数学四大家称宋元数学四大家。主要成就主要成就:1247:1247年完成了数学名年完成了数学名著著数学九章

3、数学九章，其中的，其中的大衍求大衍求一术一术、三斜求积术三斜求积术和和秦九韶算法秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。秦是具有世界意义的重要贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。直到今天，这种算法仍枝奇葩。直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法是多项式求值比较先进的算法。美国著名科学史家萨顿说过，秦美国著名科学史家萨顿说过，秦九韶是九韶是“他那个民族，他那个时他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一大的数学家之一”。所以我们的。所以我们的先贤孜孜不倦的治学与研究精神，先贤孜孜不倦的治学与研究精神，是我们学

4、习的楷模！是我们学习的楷模！设是一个n 次的多项式对该多项式按下面的方式进行改写：案例2 秦九韶算法。要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即最后的一项是什么？这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。已知一个五次多项式为用秦九韶算法求这个多项式当x=5的值。解：将多项式变形：按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x=5时的值：所以，当x=5时，多项式的值等于17255.2例题剖析把求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值，即把求的值转化为求递推公式：诱思探究2在求多项式的值上，用秦九韶算

5、法是怎样的一个转化？通过这种转化，把运算的次数由至多次乘法运算和n次加法运算，减少为至多n次乘法运算和n 次加法运算，大大提高了运算效率。用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？你能设计出它的运算程序吗？第一步，输入多项式的次数n，最高次项的系数an和x的值.第二步，令v=an，i=n-1.第三步，输入i次项的系数ai.第四步，v=vx+ai，i=i-1.第五步，判断“i0”是否成立.若是，则返回第三步，否则输出多项式的值v.用循环结构构造算法，其算法步骤为：诱思探究2开始输入n,an,x的值v=ani=n-1i0？输出v输入aiv=vx+aii=i-1结束NYINPUT “n=”；nINPUT “an=”；aINPUT “x=”；xv=ai=n-1WHILE i=0 PRINT “i=”；i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1WENDPRINT vEND程序程序框图已知多项式f(x)=x5+5x4+10 x3+10 x2+5x+1，用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。课堂练习解：原多项式改写成为：课堂小结本节课学习的主要内容：1.了解秦九韶算法求多项式的值的算法；2.能用秦九韶算法求多项式的值课外作业1.课本第48页A组22.预习课本4044内容