《创新设计》2015-2016学年高中数学（苏教版选修1-2）习题：第2章 推理与证明 章末检测2.doc

1、章末检测一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1在ABC中，E、F分别为AB，AC的中点，则有EFBC，这个问题的大前提为_答案三角形的中位线平行于第三边解析这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为ABC的中位线；结论：EFBC.2对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22133213542135723353379114313151719根据上述分解规律，若m213511，n3的分解中最小的正整数是21，则mn_.答案11解析m213511636，m6.2335,337911，4313151719，532123252729，n3的分

2、解中最小的数是21，n353，n5，mn6511.3用反证法证明命题“是无理数”时，其反证假设是_答案是有理数解析应对结论进行否定，则不是无理数，即是有理数4已知f(x1)，f(1)1(xN*)，猜想f(x)的表达式为_答案解析当x1时，f(2)，当x2时，f(3)；当x3时，f(4)，故可猜想f(x).5对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与bc及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的个数为_答案1解析若(ab)2(bc)2(ca)20，则abc，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故正确ab与bc及ac中最多只能

3、有一个成立，故不正确由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故不正确6我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体下列几何体中，一定属于相似体的有_个两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱锥答案2解析类比相似形中的对应边成比例知，属于相似体7数列an满足a1，an11，则a2015等于_答案1解析a1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nN*，kN*)a2015a23671a21.8若数列an中，a11，a235，a37911，a4

4、13151719，则a8_.答案512解析由a1，a2，a3，a4的形式可归纳：1234728，a8的首项应为第29个正奇数，即229157.a85759616365676971512.9在数列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差数列(Sn表示数列an的前n项和)，则S2，S3，S4分别为_，猜想Sn_.答案，(nN*)解析由Sn，Sn1,2S1成等差数列，得2Sn1Sn2S1，因为S1a11，所以2Sn1Sn2.令n1，则2S2S12123S2，同理，分别令n2，n3，可求得S3，S4.由S11，S2，S3，S4，猜想Sn.10黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，

5、则第n个图案中有白色地面砖的块数是_答案4n2解观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”故第n个图案中有白色地面砖的块数是4n2.11观察下列等式：(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135按此规律，第n个等式可为_答案(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)12f(n)1(nN*)，经计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，推测当n2时，有_答案f(2n)(n2)解析观测f(n)中n的规律为2k(k1,2，)不等式右

6、侧分别为，k1,2，f(2n)(n2)13已知2，3，4，若6(a，b均为实数)，推测a_，b_.答案635解析由前面三个等式，推测被开方数的整数与分数的关系，发现规律由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是分子的平方减1，由此推测中，a6，b62135，即a6，b35.14在平面几何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图所示)，面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到的类比的结论是_答案解析CE平分ACB，而面CDE平分二面角ACDB.可类比成，故结论为.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15(14分)已知a、b、

7、c是互不相等的非零实数求证三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根证明反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.相加有a22abb2b22bcc2c22aca20，(ab)2(bc)2(ca)20.由题意a、b、c互不相等，式不能成立假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根16(14分)设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1q

8、q2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列(2)解当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾17(14分)请你把不等式“若a1，a2是正实数，则有a1a2”推广到一般情形，并证明你的结论解推广的结论：若a1，a2，an都是正实数，则有a1a2an.证明：a1，a2，an都是正实数，a22a1；a32a2；an2an1；a12an，a1a2an.18(16分)已知a，b，c为正数，且f(n)lg，求证：2f(n)f(2n)证明要证2f(n

9、)f(2n)只需证2即证(anbncn)23(a2nb2nc2n)即2anbn2cnbn2ancn2(a2nb2nc2n)a2nb2n2anbn，a2nc2n2ancn，b2nc2n2bncn2anbn2cnbn2ancn2(a2nb2nc2n)原不等式成立19(16分)正实数数列an中，a11，a25，且a成等差数列证明数列an中有无穷多项为无理数证明由已知有：a124(n1)，从而an，取n1242k1，则an(kN*)用反证法证明这些an都是无理数假设an为有理数，则an必为正整数，且an24k，故an24k1，an24k1，与(an24k)(an24k)1矛盾，所以an(kN*)都是无理数，即数列an中有无穷多项为无理数20(16分)设a，b，c为一个三角形的三条边，s(abc)，且s22ab，试证：s2a.证明要证s2a，由于s22ab，所以只需证s，即证bs.因为s(abc)，所以只需证2babc，即证bac.由于a，b，c为一个三角形的三条边，所以上式成立，于是原命题成立