高中新教材数学人教A版（2019）课件 选择性必修第一册 第二章 2-1-1　倾斜角与斜率.ppt

1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.4.掌握倾斜角与斜率的对应关系.5.体会数学抽象和直观想象的过程,加强逻辑推理与数学运算能力的培养.自主预习 新知导学一、直线的倾斜角【问题思考】1.在平面直角坐标系中,经过一点P(2,2)可以作多少条直线?这些直线区别在哪里呢?提示:经过点P(2,2)可以作无数条直线l1,l2,l3,如下图所示.区别是它们的方向不同.2.如何表示这些直线的方向呢

2、?提示:这些直线相对于x轴的倾斜程度不同,也就是它们与x轴所成的角不同.因此,我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.3.填表:4.做一做:如图所示,直线l的倾斜角为()A.45B.135C.0D.不存在解析:由题图可知,直线l的倾斜角为45+90=135.答案:B二、直线的斜率【问题思考】1.我们知道,两点确定一条直线,进而它的倾斜角也就确定了,那么任给直线l上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1x2),直线l的倾斜角与P1,P2两点的坐标有什么样的内在联系呢?请用向量法探究下列问题:(1)已知直线l经过点O(0,0),P(1,1),则倾斜角与点O,P的坐标有什么关系?(2

3、)类似地,如果直线l经过点P1(1,0),P2(-1,2),那么倾斜角与点P1,P2的坐标有什么关系?(3)一般地,如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,那么倾斜角与点P1,P2的坐标有怎样的关系?2.填空:(2)我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan.(4)在平面直角坐标系中,倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度,它们的对应关系如下表:3.做一做:(1)已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于()(2)已知直线l的倾斜角=60,则其斜率k=.【思考辨析】判断下列

4、说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应.()(2)若直线的倾斜角存在,则必有斜率与之对应.()(3)若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等.()(4)直线的斜率随倾斜角的增大而增大.()合作探究 释疑解惑探究一探究二探究三易错辨析探究一求直线的倾斜角【例1】(1)设直线l过原点,其倾斜角为,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45得到直线l1,则直线l1的倾斜角为()A.+45B.-135C.135-D.当0135时,倾斜角为+45,当135180时,倾斜角为-135(2)已知直线l1过原点,其倾斜角1=15,直线l1与l2的交

5、点为A,且l1与l2向上的方向之间所成的角为75,则直线l2的倾斜角为.分析:对于(1),由于不确定,需分情况讨论;对于(2),画出图象,利用图象求解.探究一探究二探究三易错辨析解析:(1)因为0180,所以选项A,B,C未分类讨论,均不全面,故不正确.根据题意,画出大致图形,如图所示.当0135时,直线l1的倾斜角为+45,如图所示;当135180时,直线l1的倾斜角为45+-180=-135,如图所示.故选D.探究一探究二探究三易错辨析(2)设直线l2的倾斜角为2(示意图如图).由对顶角相等可得,2=15+75=90,即直线l2的倾斜角为90.答案:(1)D(2)90反思感悟 求直线的倾斜

6、角时,往往借助于图形.结合图形求倾斜角时,应注意倾斜角的范围以及平面几何知识的应用.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练1】已知直线l向上的方向与y轴正向之间所成的角为30,则直线l的倾斜角为.解析:有如下两种情况:如图,直线l向上的方向与x轴正向之间所成的角为60,即直线l的倾斜角为60.如图,直线l向上的方向与x轴正向之间所成的角为120,即直线l的倾斜角为120.答案:60或120探究一探究二探究三易错辨析探究二求直线的斜率【例2】已知平面直角坐标系中三点A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).(1)求直线AB,BC,AC的斜率和倾斜角;(2)若D为ABC的边AB上一动点,求直线C

7、D的斜率k的取值范围.分析:(1)利用斜率公式求斜率,由斜率与倾斜角的关系求倾斜角;(2)结合图形,根据直线CD斜率的变化情况,确定其范围.探究一探究二探究三易错辨析由倾斜角的范围及正切函数的单调性,得直线AB的倾斜角为0;直线BC的倾斜角为60;直线AC的倾斜角为30.(2)如图,当动点D由点A移动到点B时,直线CD的斜率k由kAC增大到kBC,探究一探究二探究三易错辨析设点A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,则实数m的值为.解析:依题意知,直线AC的斜率存在,则m-1.答案:4反思感悟 当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时,可利用

8、斜率公式求解.应用斜率公式时,应先判定两定点的横坐标是否相等.若相等,则直线垂直于x轴,斜率不存在;若不相等,则代入斜率公式求解.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练2】(1)若经过A(2,1),B(1,m2)两点的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是()A.m-1C.-1m1或m-1(2)经过A(4,-1),B(2,-3)两点的直线的方向向量为(1,k),则k=.答案:(1)C(2)1 探究一探究二探究三易错辨析探究三斜率与倾斜角的应用【例3】已知直线l的倾斜角=45,且P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)三点在直线l上,求x2,y1的值.分析:已知直线l的倾斜角可以求出其斜

9、率,且P1,P2,P3三点在直线l上,故直线P1P2,P2P3的斜率均等于直线l的斜率,从而可以解出x2,y1的值.解:=45,直线l的斜率k=tan 45=1.点P1,P2,P3都在直线l上,反思感悟 斜率反映倾斜角不等于90的直线相对于x轴的倾斜程度,直线上任意两点所确定的直线的方向不变,即在同一条直线上任意不同的两点所确定的斜率相等,这正是可以利用斜率证明三点共线的原因.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练3】如果A(2,1),B(-2,m),C(6,8)三点在同一条直线上,那么m的值为.答案:-6 探究一探究二探究三易错辨析【易错辨析】因忽略两点斜率公式的条件而致误【典例】求经过A(m

10、,3),B(1,2)两点的直线的斜率,并指出倾斜角的取值范围.所以直线的倾斜角的取值范围是90180.探究一探究二探究三易错辨析以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:未考虑斜率公式运用的条件,忽略了斜率不存在,即m=1的情况.正解:当m=1时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角=90.探究一探究二探究三易错辨析防范措施 1.斜率公式k=的适用前提条件为x1x2,因此若点的坐标中含有未知数,在计算直线的斜率时,要保证斜率公式有意义.2.直线的倾斜角的范围是0,),根据斜率求倾斜角时,注意结合正切函数在区间0,)上的图象求解.探究一探究二探究三易错辨析【变式训

11、练】已知M(a,b),N(a,c)(bc),则直线MN的倾斜角是.解析:M,N两点横坐标相同均为a,故直线MN与x轴垂直,即直线MN的倾斜角是90.答案:90随堂练习1.下图中能表示直线l的倾斜角的是()A.B.C.D.解析:结合直线倾斜角的概念可知可以,故选A.答案:A2.在平面直角坐标系中,一条直线的斜率为 ,则此直线的倾斜角为()A.30B.60C.120D.150解析:由题意知tan=.0180,=60.答案:B答案:A 4.若过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的倾斜角是45,则y=.解析:直线的倾斜角为45,则其斜率k=tan 45=1.答案:-1 5.已知A(1,1),B(3,5),C(a,7),D(-1,b)四点在同一条直线上,求此直线的斜率及a,b的值.