高二人教B版数学选修1-1课件3-3-2利用导数研究函数的极值54张.ppt

1、1知识与技能了解函数在某点取得极值的条件，会用导数求多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上多项式函数的最大值、最小值2过程与方法通过本节课的学习，掌握用导数求函数极大值、极小值和闭区间上的最大值、最小值的方法3情感、态度与价值观通过本节课的学习，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，通过对函数的极值与最值的类比，体验知识间的联系，逐步提高科学地分析、解决问题的能力本节重点：利用导数的知识求函数的极值本节难点：函数的极值与导数的关系利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义域；其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小开区间的

2、符号求函数的最大值和最小值，需要先确定函数的极大值和极小值，极值是一个局部概念并且不唯一，极大值与极小值之间无确定的大小关系，极大值可能比极小值大，也可能比极小值小f(x0)0只是函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件例如：函数f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点1已知函数yf(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有，则称函数f(x)在点x0处取得，并把x0称为函数f(x)的一个；如果都有，则称函数f(x)在点x0处取得，并把x0称为函数f(x)的一个极大值与极小值统称为，极大值点与极小值点统称为f(x)f(x0)极小值极小值点极

3、值极值点2假设函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条，该函数在a，b上一定能够取得与，该函数在(a，b)内是，该函数的最值必在取得连续不断的曲线最大值最小值可导的极值点或区间端点3当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极值；(3)如果f(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)函数f(x)的极值f(x)0f(x)0f(x)0小不是例1 求函数yx312x6的极值解析(1)y3x2123(x2)令y0，解得x12，x22.当x变化时，y，y的变

4、化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)y00y极小值10极大值22当x2时，y有极小值，并且y极小值f(2)10；而当x2时，y有极大值，并且y极大值f(2)22.规律方法 一般地，求函数yf(x)的极值的步骤是：(1)求函数yf(x)的导数f(x)；(2)解方程f(x)0，得方程的根x0(可能不止一个)；(3)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值求函数f(x)x33x29x5的极值解析f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(

5、，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)单调递增10单调递减22单调递增因为，当x1时函数取得极大值，且极大值为f(1)10；当x3时函数取得极小值，且极小值为f(3)22.例2已知f(x)ax5bx3c在x1处有极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c值分析对参数的分类讨论是本题的难点解析f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)由题意，f(x)0应有根x1，故5a3b，于是f(x)5ax2(x21)(1)当a0时，x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值(2)当a0时，x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值说明 本题从逆向思维的角

6、度出发根据题设条件进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象问题具体化例3 求函数f(x)x42x23(x3,2)的最大值和最小值解析f(x)4x34x4x(x1)(x1)由f(x)0得x0或x1或x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60极大值4极小值3极大值45当x3时，f(x)取得最小值60，当x1或x1时，函数f(x)取得最大值4.规律方法 函数最值的求法求函数f(x)在闭区间a，b上的最值的步骤如下：(1)求函数f(x)的导数f(x)；(2)解方程f(x)0，求出使得f(x)0的所有点；(3)

7、求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(4)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值求函数f(x)x33x26x10在区间1,1上的最值解析f(x)3x26x63(x1)23，所以f(x)0在区间1,1上恒成立，即函数f(x)在区间1,1上是单调递增函数，故当x1时，函数取得最小值f(1)20；当x1时，函数取得最大值f(1)6.例4设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a，b的值；(2)若对于任意的x0,3，都有f(x)0.所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3

8、)98c.则当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c，因为对于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c9，因此c的取值范围为(，1)(9，)规律方法(1)不等式恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决有关不等式恒成立问题，通常转化为最值问题来解：cf(x)恒成立cf(x)max；cf(x)恒成立cf(x)min.(2)高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法解决上例改为“若对任意的x0,3都有f(x)c2成立，求c的取值范围”，如何解答？解析由例题可知f(x)2x39x212x8c，若对于任意的x0,3，都有f(x)c2成立，只需f(x)在x0,3上的最小值大

9、于c2即可又当x1或x2时，f(x)0，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,1)1(1,2)2(2,3)3f(x)00f(x)8c极大值58c极小值48c98c可见函数f(x)在0,3上的最小值为8c，f(x)c2恒成立，等价于8cc2，解得0c8.例5 已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值为0，求常数a，b的值误解因为f(x)在x1时有极值为0，且f(x)3x26axb，所以即解得或因此常数a1时，b3；a2时，b9.辨析根据极值的定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x1两侧函数的单调性正解由错解得当a1，b3时，f(x)3x26x33

10、(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(3，1)时，f(x)为减函数，当x(1，)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x1处取得极小值，因此a2，b9.一、选择题1若函数yf(x)是定义在R上的可导函数，则f(x)0是x0为函数yf(x)的极值点的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析如yx3，y3x2，y|x00，但x0不是函数yx3的极值点答案A答案B二、填空题4函数f(x)x(xm)2在x2处有极大值，则常数m的值为_答案6解析f(x)x(xm)2x32mx2m2x，f(x)3x24mxm2，由题意得，f(2)0，m6或2，当m2时，函数f(x)在x2处取极小值，故m6.答案0 1三、解答题6已知函数f(x)x33x29x11.(1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值解析f(x)3x26x93(x1)(x3)，令f(x)0，得x11，x23.x变化时，f(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：x(，1)1(1,3)1(3，)f(x)00f(x)增极大值f(1)减极小值f(3)增(1)由表可得函数的递减区间为(1,3)(2)由表可得，当x1时，函数有极大值为f(1)16；当x3时，函数有极小值为f(3)16.