2021年四川省凉山州中考数学真题试卷.doc

1、2021年初中毕业生学业考试数学试卷四川省凉山州中考数学一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。1|2021|（）A2021B2021CD2下列数轴表示正确的是（）ABCD3“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发来“短信”（）A5107B5108C5109D510104下面四个交通标志图是轴对称图形的是（）ABCD5的平方根是（）A9B9C3D36在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线

2、段AB，点A（2，1）（2，3），则点B（2，3）的对应点B的坐标为（）A（6，1）B（3，7）C（6，1）D（2，1）7某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：成绩60708090100人数3913169则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（）A90，80B16，85C16，24.5D90，858下列命题中，假命题是（）A直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合C若ABBC，则点B是线段AC的中点D三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心9函数ykx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+b

3、x+k10的根的情况是（）A没有实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D无法确定10如图，ABC中，ACB90，BC6，将ADE沿DE翻折，则CE的长为（）AB2CD11点P是O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm（）A3cmB4cmC5cmD6cm12二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）Aabc0B函数的最大值为ab+cC当3x1时，y0D4a2b+c0二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13函数y中，自变量x的取值范围是 14已知是方程ax+y2的解，则a的值为 15菱形ABCD中，对角线AC10，BD24则菱

4、形的高等于 16如图，将ABC绕点C顺时针旋转120得到ABC，已知AC3，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为 17如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；照这样拼图 根火柴棍三、解答题（共5小题，共32分）18（5分）解不等式：x319（5分）已知xy2，1，求x2yxy2的值20（7分）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知为贯彻通知精神，根据参

5、赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）获奖总人数为 人，m ；（2）请将条形统计图补充完整；（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率21（7分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30（点E、C、B在同一水平线上）（

6、1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）22（8分）如图，在四边形ABCD中，ADCB90，若DEBE（1）求证：DADC；（2）连接AC交DE于点F，若ADE30，AD6四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23（5分）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 24（5分）如图，等边三角形ABC的边长为4，C的半径为，过点P作C的切线PQ，切点为Q 五、解答题（共4小题，共40分）25（8分）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（JNpler，15501617年）是对数的创始人他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Ev

7、ler，17071783年）对数的定义：一般地，若axN（a0且a1），那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，比如指数式2416可以转化为对数式4log216，对数式2log39可以转化为指数式329我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（MN）logaM+logaN（a0，a1，M0，N0），理由如下：设logaMm，logaNn，则Mam，Nan，MNamanam+n，由对数的定义得m+nloga（MN）又m+nlogaM+logaN，loga（MN）logaM+logaN根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：log232 ，log327 ，log71

8、 ；（2）求证：logalogaMlogaN（a0，a1，M0，N0）；（3）拓展运用：计算log5125+log56log53026（10分）如图，AOB中，ABO90，反比例函数y（x0）的图象经过斜边OA的中点M，SAOB12，AN（1）求k的值；（2）求直线MN的解析式27（10分）如图，在RtABC中，C90，点D在AB上，DEAE，交AC于点F（1）求证：BC是O的切线；（2）若O的半径为5，AC8，求SBDE28（12分）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OBOC3OA（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边

9、形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在；若不存在，请说明理由2021年四川省凉山州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。1|2021|（）A2021B2021CD【分析】根据绝对值解答即可【解答】解：2021的绝对值是2021，故选：A2下列数轴表示正确的是（）ABCD【分析】注意数轴的三要素以及在数轴上，右边的数总比左边的数大即可做出判断【解答】解：A选项，应该正数在右边，

10、故该选项错误；B选项，负数的大小顺序不对；C选项，没有原点；D选项，有原点，单位长度；故选：D3“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发来“短信”（）A5107B5108C5109D51010【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可【解答】解：5亿5000000005105故选：B4下面四个交通标志图是轴对称图形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解【解答】解：A不是轴对称

11、图形；B不是轴对称图形；C是轴对称图形；D不是轴对称图形故选：C5的平方根是（）A9B9C3D3【分析】求出9，求出9的平方根即可【解答】解：9，的平方根是3，故选：D6在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段AB，点A（2，1）（2，3），则点B（2，3）的对应点B的坐标为（）A（6，1）B（3，7）C（6，1）D（2，1）【分析】根据点A到A确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B的坐标【解答】解：A（2，1）平移后得到点A的坐标为（7，向下平移了4个单位，向左平移了4个单位，B（6，3）的对应点B的坐标为（27，即（6，1）故选：C7某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭

12、火”知识竞赛中的成绩如表所示：成绩60708090100人数3913169则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（）A90，80B16，85C16，24.5D90，85【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数【解答】解：90出现的次数最多，众数为90这组数据一共有50个，已经按大小顺序排列、90故选：D8下列命题中，假命题是（）A直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合C若ABBC，则点B是线段AC的中点D三角形三条边的垂直中分线的交点叫做

13、这个三角形的外心【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质对A进行判断；根据等腰三角形的性质对B进行判断；根据线段的中点定义对C进行判断；根据三角形外心的定义对D进行判断。【解答】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；B、等腰三角形顶角的平分线、底边上的高相互重合；C、若A、B，且ABBC，所以C选项符合题意；D、三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心。故选：C9函数ykx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k10的根的情况是（）A没有实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D无法确定【分析】先利用一次函数的性质得k0，b0，再计算判别式的值得到b24

14、（k1），于是可判断0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况【解答】解：根据图象可得k0，b0，所以b20，4k6，因为b24（k6）b24k+60，所以0，所以方程有两个不相等的实数根故选：C10如图，ABC中，ACB90，BC6，将ADE沿DE翻折，则CE的长为（）AB2CD【分析】在RtBCE中，由BE2CE2+BC2,得到（8x）2x2+62，即可求解。【解答】解：设CEx，则AE8xEB，在RtBCE中，BE2CE4+BC2,即（8x）5x2+67，解得x，故选：D11点P是O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm（）A3cmB4cmC5cmD6cm【分析】根据直径

15、是圆中最长的弦，知该圆的直径；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长【解答】解：如图所示，CDAB于点P根据题意，得AB10cm，CD6cmCDAB，CPCD3cm根据勾股定理，得OP故选：B12二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）Aabc0B函数的最大值为ab+cC当3x1时，y0D4a2b+c0【分析】利用抛物线开口方向得到a0，根据抛物线的对称性得到b2a0，根据抛物线与y轴的交点位置得到c0，则可对A进行判断；利用二次函数的最值问题可对B进行判断;利用抛物线与x轴的交点与图像

16、可对C进行判断；利用x2，y0可对D进行判断【解答】解：抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴为直线x4，b2a0，抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，c8，abc0，所以A不符合题意；当x1时，函数的最大值为：a(5)2+b(1)+cab+c，故B不符合题意；由图可知，抛物线与x轴的另一交点为（2，所以3x1时,故C不符合题意；当x5时，y0,所以，a(2)6+b(2)+c0,即2a2b+c0,故D符合题意，故选：D二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13函数y中，自变量x的取值范围是x3且x0【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解【解答

17、】解：根据题意得：，解得x3且x0故答案为x6且x014已知是方程ax+y2的解，则a的值为1【分析】把方程组的解代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可【解答】解：把代入到方程中得：a+72，a1，故答案为：415菱形ABCD中，对角线AC10，BD24则菱形的高等于【分析】由题意得，菱形的面积ACBD1024120，设菱形的高为h，则菱形的面积BCh13h120，即可求解。【解答】解：由题意得，菱形的面积1024120，则AO5，BO12，则AB13，设菱形的高为h，则菱形的面积BCh13h120，解得h，故答案为16如图，将ABC绕点C顺时针旋转120得到ABC，已知AC3，则线段

18、AB扫过的图形（阴影部分）的面积为【分析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积S扇形ACA+SABCS扇形BCBSABC，由旋转的性质就可以得出SABCSABC就可以得出AB扫过的图形的面积S扇形ACAS扇形BCB求出其值即可【解答】解：ABC绕点C旋转60得到ABC，ABCABC，SABCSABC，BCBACA120AB扫过的图形的面积S扇形ACA+SABCS扇形BCBSABC，AB扫过的图形的面积S扇形ACAS扇形BCB，AB扫过的图形的面积故答案为：。17如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；照这样拼图(2n+1)根火柴棍【

19、分析】根据数值的变化找出变化规律,即可得出结论【解答】解：设第n个图形需要an（n为正整数）根火柴棒，观察发现规律：第一个图形需要火柴棍：317+1，第二个图形需要火柴棍：552+1；第三个图形需要火柴棍：432+8，第n个图形需要火柴棍：2n+1故答案为：(8n+1)三、解答题（共5小题，共32分）18（5分）解不等式：x3【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1可得【解答】解：去分母，得：4（1x）12x363（x+2），去括号，得：46x12x363x6，移项、合并，系数化为2得，x219（5分）已知xy2，1，求x2yxy2的值【分析】将1变形

20、后得到yxxy,再将多项式因式分解后整体代入可得结论【解答】解：3，yxxyxy2,yxxy2原式xy(xy)72420（7分）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知为贯彻通知精神，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）获奖总人数为40人，m30；（2）请将条形统计图补充完整

21、；（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率【分析】（1）用“二等奖”人数除以它所占的百分比得到获奖总人数，然后计算“三等奖”人数所占的百分比得到m的值；（2）利用“三等奖”人数为12补全条形统计图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解。【解答】解：（1）获奖总人数为820%40（人），m%100%30%，即m30；故答案为40；30；（2）“三等奖”人数为40481612（人），条形统计图补充为：（3）画树状图为

22、：共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6，所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率。21（7分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30（点E、C、B在同一水平线上）（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）【分析】（1）作DHCE于H，解RtCDH，即可求出DH；（2）过点D作DGAB于点G，设BCx米，用x表示出AG、DG，根据tanADG列出方程，解方程得到答案【解答】解:(1)过

23、点D作DHCE于点H,由题意知CD2米,斜坡CF的坡比为i1：8,设DHx(米),CH8x(米),DH2+CH2DC4,x4,DH2(米),CH6(米),答:王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为4米；(2)过点D作DGAB于点G,DHBDGBABC90,四边形DHBG为矩形,DHBG2米,DGBH(x+6)米,ACB45,BCABx(米),AG(x8)米,ADG30,x6+4,AB(6+4)(米)答:大树AB的高度是(6+4)米22（8分）如图，在四边形ABCD中，ADCB90，若DEBE（1）求证：DADC；（2）连接AC交DE于点F，若ADE30，AD6【分析】（1）作DGBD，交BC

24、的延长线于点G，然后即可得得到四边形DEBG的形状，再根据题目中的条件，可以证明ADE和CDG全等，然后即可得到结论成立；（2）根据正方形的性质、勾股定理和三角形相似，可以得到EF的长，然后根据DE的长，即可得到DF的长【解答】（1）证明：作DGBD，交BC的延长线于点G，DEAB，B90，DEBBBGD90，四边形DEBG是矩形，又DEBE，四边形DEBG是正方形，DGBE，EDG90，DGDE，EDC+CDG90，ADC90，EDC+ADE90，ADECDG，在ADE和CDG中，ADECDG（ASA），DADC；（2）ADE30，AD6，AE3，DE，由（1）知，ADECDG，DGDE3，

25、AECG3，BCBGCG33，FGAB，BCAB，FECB，AEFABC，即，解得EF63，DFDEEF3（736+36，即DF的长是26四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）23（5分）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是m3且m2【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可【解答】解：方程两边同时乘以(x1)得，2x5（x1）m，解得xm+3x为正数，m+80，解得m3x6，m+31，即m2m的取值范围是m3且m2故答案为：m6且m224（5分）如图，等边三角形ABC的边长为4，C的半径为，过点P作C的切线PQ，切点为Q3【分析】连接CP、CQ，作CHAB

26、于H，如图，根据等边三角形的性质得到ABCB4,BCHACB6030,根据直角三角形的性质得到BHAB4,CHBC42，由切线的性质得到CQPQ，根据勾股定理得到PQ，推出当点P运动到H点时，CP最小，于是得到结论。【解答】解：连接CP、CQ，如图，等边三角形ABC的边长为4，ABCB4,BCH6030,BHAB6BC，PQ为C的切线，CQPQ，在RtCPQ中，PQ，点P是AB边上一动点，当点P运动到H点时，CP最小，即CP的最小值为2，PQ的最小值为3,故答案为：3五、解答题（共4小题，共40分）25（8分）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（JNpler，15501617年）是对数的创始人他

27、发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，17071783年）对数的定义：一般地，若axN（a0且a1），那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，比如指数式2416可以转化为对数式4log216，对数式2log39可以转化为指数式329我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（MN）logaM+logaN（a0，a1，M0，N0），理由如下：设logaMm，logaNn，则Mam，Nan，MNamanam+n，由对数的定义得m+nloga（MN）又m+nlogaM+logaN，loga（MN）logaM+logaN根据上述材料，结合你所学的知识，解答下

28、列问题：（1）填空：log2325，log3273，log710；（2）求证：logalogaMlogaN（a0，a1，M0，N0）；（3）拓展运用：计算log5125+log56log530【分析】（1）直接根据定义计算即可；（2）先设logaMm，logaNn，根据对数的定义可表示为指数式为：Mam，Nan，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：loga（MN）logaM+logaN和logalogaMlogaN的逆用，将所求式子表示为：log5（125630），计算可得结论【解答】解：（1）log232log2355，log427log3353，log76log7

29、740；故答案为：5，8，0；（2）设logaMm，logaNn，则Mam，Nan，amn，由对数的定义得mnloga，又mnlogaMlogaN，logalogaMlogaN（a0，a2，N0）；（3）原式log5（125630）log525526（10分）如图，AOB中，ABO90，反比例函数y（x0）的图象经过斜边OA的中点M，SAOB12，AN（1）求k的值；（2）求直线MN的解析式【分析】（1）设N（a,b),则A(a,b+),M(a,b+)，由反比例函数y（x0）的图象经过斜边OA的中点M，得ka(b+)ab,b,根据SAOB12得a(b+)12,可得a4,故k46；（2）由（1）

30、知：M(2，3),N(4，),设直线MN解析式为ymx+n,用待定系数法即可得到答案【解答】解：（1）设N（a,b),BNb,AN,ABb+,A(a,b+),M为OA中点，M(a,b+)，而反比例函数y（x0）的图象经过斜边OA的中点M，ka()ab,解得：b,SAOB12，ABO90，OBAB12,即)12,将b代入得：,解得a6,N(4,),M(2,k46；（2）由（1）知：M(3，3)，),设直线MN解析式为ymx+n,解得,直线MN解析式为yx+27（10分）如图，在RtABC中，C90，点D在AB上，DEAE，交AC于点F（1）求证：BC是O的切线；（2）若O的半径为5，AC8，求S

31、BDE【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，等腰三角形性质以及等量代换可得出AEC+OEA90，即OEBC，从而得出BC是O的切线；（2）根据ACEAED和勾股定理可求出AE，DE，根据角平分线的性质可得出三角形BDE的BD边上的高EM，再根据相似三角形和勾股定理求出BD即可【解答】解：（1）连接OE，C90，2+AEC90,又OAOE，1OEA，32，AEC+OEA90，即OEBC，BC是O的切线；（2）过点E作EMAB，垂足为M，13，CAED90，ACEAED，即，AE4，由勾股定理得，CE6EM，DE7，DEB1，BB，BDEBEA，设BDx，则BE2x，在RtBOE中，由勾股定理得

32、，OE6+BE2OB2，即72+（2x）4（5+x）2，解得x，SBDEBDEM428（12分）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OBOC3OA（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据勾股定理求出OA、OC，得出点A、C的坐标，进而得出点B的坐标，运用待定系数法即可求出答案；（2）如图1，过点P作PKy轴交BC于点K，利用待定系数法求出设直线BC解析式

33、，设P(t，t22t+3)，则K(t，t+3)，根据S四边形PBACSPBC+SABC，得出S四边形PBAC(t+)2+，运用二次函数求最值方法即可得出答案；（3）如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方.当点Q在x轴上方时，根据P与Q纵坐标相等，建立方程求解即可；当点Q在x轴下方时，根据P与Q纵坐标互为相反数，建立方程求解即可【解答】解：（1）OC3OA，AC，OA2+OC4AC2，即OA2+(8OA)2()2，解得：OA8，OC3，A(1，6)，3)，OBOC3，B(4，0)，设抛物线解析式为ya(x+3)(x3)，将C(0，得：3a4，解得：a1，y(x+3)(x4)x22x+

34、2，该抛物线的解析式为yx22x+8；（2）如图1，过点P作PKy轴交BC于点K，设直线BC解析式为ykx+n，将B(3，C(4，得：，解得：，直线BC解析式为yx+2，设P(t，t22t+3)，则K(t，PKt22t+8(t+3)t28t，SPBCSPBK+SPCKPK(t+6)+PK23t)，SABCABOC，S四边形PBACSPBC+SABC(t23t)+6(t+)2+，0，当t时，四边形PBAC的面积最大，)；（3）存在.如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方当点Q在x轴上方时，P与Q纵坐标相等，x32x+3，解得：x1，x2(舍去)，Q1(，)，当点Q在x轴下方时，P与Q纵坐标互为相反数，x25x+3，解得：x7，x7，Q2(，)，Q3(，)，综上所述，Q点的坐标为Q1(，)，Q6(，)，Q3(，)