黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学必修2：3-1-1倾斜角与斜率课件 （3） .ppt

1、第三章 直线与方程本章内容主要包括直线的倾斜角与斜率两直线的位置关系，直线的方程以及直线的交点坐标与距离公式本章重点为：直线的倾斜角和斜率的概念，利用斜率判断直线的位置关系，直线的几种形式，两条直线的交点坐标，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两条平行线间的距离本章难点为：斜率公式的应用，直线方程的应用，点到直线的距离公式的推导本章自始至终贯穿着数形结合的数学思想，在研究图形时注意代数方法的使用，同时，在代数方法的使用中，加强与图形的联系.3.1 直线的倾斜角与斜率31.1 倾斜角与斜率1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系2掌握过两点的直线的斜率计算公式，及其简单的应用(对应

2、学生用书对应学生用书5656页页)意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，是罗马式建筑的范本，这就是堪称世界建筑奇迹的比萨斜塔每年80万游客来到塔下，无不对它那“斜而不倒”的塔身表示忧虑和焦急，同时为自己能亲眼目睹这一由缺陷造成的奇迹而庆幸万分那么经过600多年的风雨沧桑，它的倾斜程度发生了多大的变化，我们该如何确定它的倾斜程度呢？(对应学生用书对应学生用书5656页页)我们有两个办法可以确定它的倾斜程度，法一：我们可以利用塔身所在直线与水平面所成的角来刻画，这个角就叫做倾斜角1倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取作为基准，与之间所成的角叫做直线l的倾斜角并规定：直线l与x轴平行或

3、重合时，它的倾斜角为0，从而可得直线的倾斜角的范围是(对应学生用书对应学生用书5050页页)x轴x轴正向直线l向上方向0180.2斜率：把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，即k，但要注意，倾斜角是90的直线没有斜率3 斜 率 公 式：经 过 两 点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的斜率公式是k.tan探究1：填充下表，探究直线的倾斜角与斜率k之间的关系.(对应学生用书对应学生用书5656页页)直线情况平行于x轴由左向右上升垂直于x轴由右向左上升的大小k的范围k的增减性提示：直线情况平行于x轴由左向右上升垂直于x轴由右向左上升的大小009090900不存在k0k的增

4、减性相等递增无递增探究2：直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？提示：这句话是不对的，当倾斜角0时，k0；当00，并且随的增大k也增大；当90时，k不存在；当90180时，k0，并且随的增大k也增大探究3：已知三点A、B、C，若直线AB、AC的斜率相等，即kABkAC.问：这三点A、B、C在同一条直线上吗？提示：斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率可证三点共线的原因即当kABkAC且ABACA时，A、B、C三点共线(对应学生用书对应学生用书5757页页)要点一直线的倾斜角1.倾斜角的理

5、解(1)从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向转动到直线重合时所转过的最小正角(2)倾斜角直观地描述表示了直线对x轴正方向的倾斜程度(3)不同的直线可以有相同的倾斜角例1 如果直线l经过点(1,0)，倾斜角为150，将直线l绕点(1,0)逆时针旋转60后，得到直线l，求直线l的倾斜角和斜率【分析】画出草图，标记出变化过程，即可直接求出倾斜角，进而利用公式求出斜率【规律方法】求直线的倾斜角主要是根据定义来求它的关键是根据题意画出图形变式1 如下图所示，表示直线l的倾斜角的是_(填上所有正确图形的序号)解析：直线的倾斜角是指“x轴正向与直线l向上的方向所成的最小

6、正角”，找直线的倾斜角应把握住“x轴正向”和“直线l向上的方向”这两点答案：要点二直线的斜率1.(1)倾斜角与斜率的关系当90时，斜率ktan，当90时，斜率不存在(2)变化情况ktan，(090或90180)当090时，随的增大，斜率k在0，)范围内增大；当90180时，随的增大，斜率k在(，0)范围内增大2(1)当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利用斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直x轴，斜率不存在；若不等，再代入斜率公式求解(2)斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2y1，分母

7、必须是x2x1；反过来，如果分子是y1y2，分母必须是x1x2.例2(1)当且仅当m为何值时，经过两点A(m,6)、B(1,3m)的直线的斜率为12?(2)当且仅当m为何值时，经过两点A(m,2)、B(m,2m1)的直线的倾斜角是60？【分析】利用斜率公式列方程求解【规律方法】求直线的斜率的途径有二：一是利用斜率公式；二是利用倾斜角我们必须熟练掌握这两种形式变 式 2已 知 直 线 l经 过 两 点 P1(2,1)和P2(m,2)(mR)(1)求直线l的斜率；(2)若直线l的倾斜角为45，求m的值要点三证明三点共线已知三点中，若任意两点连线的斜率相等，则此三点一定共线；反之，当三点共线时，任意

8、两点连线的斜率一定相等(除非都不存在)例3 已知三点A(0，1)，B(1,2)，C(2,5)求证：三点在同一直线上变式3 已知A(1,1)、B(3,5)、C(a,7)、D(1，b)四点共线，求a、b.要点四综合应用数形结合是解决数学问题常用的思想方法，当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐增大到(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐减小至(即斜率不存在)例4 已知直线l经过点P(1,1)，且与线段MN相交，又M(2，3)，N(3，2)，求直线l的斜率k的取值范围【分析】过定点的直线与已知线段的交点问题，常常以形助数得以解决【规

9、律方法】解决此类过定点的直线与已知线段有公共点的问题，常常先求出过端点的直线的斜率，结合图形得出斜率的范围变式4已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，的取值范围是45135典例 求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角的取值范围(对应学生用书对应学生用书5858页页)【错因分析】由于本题中含有参数m，故需要对m的取值情况进行讨论在上述解题过程中遗漏了m1的情况，当

10、m1时，斜率不存在易错补练一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为()AB180C180或90D90或90解析：如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90.故选D.答案：D1准确理解直线的倾斜角，要注意以下三点：(1)直线与x轴相交；(2)x轴正方向；(3)直线向上的方向明确了这些，则可理解倾斜角具有惟一性与确定性，即直线与倾斜角形成了一种对应关系，平面内的任意直线都有惟一确定的倾斜角(对应学生用书对应学生用书5858页页)2直线的倾斜角与斜率的区别与联系(1)直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系它们都

11、反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的但倾斜角是角度，是倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便(2)倾斜角可正可零不可为负，而斜率k不仅可正、可零，而且可以为负(3)当90时直线斜率不存在，当90时可以建立倾斜角和斜率k之间的函数关系，即ktan(90)(2)运用斜率公式的前提条件是“x1x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90，斜率不存在1若直线x1的倾斜角为，则为()A0B45C90 D不存在解析：直线x1与x轴垂直，90，故选C.答案：C(对应学生用书对应学生用书5858页页)2以下四个命题错误的是()若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；坐标平面上所有的直线都有倾斜角；坐标平面上所有直线都有斜率A BC D解析：ktan有意义，则倾斜角必存在，正确，若90，则ktan不存在，错，正确答案：D答案：A4若直线l的倾斜角为20，则的取值范围是_解析：根据倾斜角的范围得020180，所以20200.答案：202005已知直线l的倾斜角是，且45135，则直线l的斜率k的范围是_解析：当90时，直线l的斜率不存在当4590时，k是正数，且ktantan451；当90135时，k是负数，且ktantan1351.所以，直线l的斜率k的范围是k1或k1.答案：k1或k1