山东省滨州市邹平县双语学校2015届高三上学期第二次月考数学（理）试卷 WORD版含解析.doc

1、2014-2015学年山东省滨州市邹平县双语学校高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1集合M=y|y=x21，xR，集合N=x|y=，xR，则MN=( )At|0t3Bt|1t3C（，1），（，1）D2函数f（x）=（a23a+3）ax是指数函数，则a的值是( )Aa=1或a=2Ba=1Ca=2Da0或a13函数的零点个数为( )A3B2C1D04函数f（x）=x3+x2+tx+t在（1，1）上是增函数，则t的取值范围是( )At5Bt5Ct5Dt55已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+2）=，当1x2时，f（x）=x2则f（6.5）等于( )A4.5B4.5

2、C0.5D0.56数列an是正项等比数列，bn是等差数列，且a6=b7，则有( )Aa3+a9b4+b10Ba3+a9b4+b10Ca3+a9b4+b10Da3+a9与b4+b10 大小不确定7直线xsiny+1=0的倾斜角的变化范围是( )A（0，）B（0，）C，D0，）8方程表示的曲线是( )A一个圆B两个半圆C两个圆D半圆9已知两点A（2，0），B（0，2），点C是圆x2+y22x=0上的任意一点，则ABC的面积最小值是( )A3B3+CD10设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0c，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分

3、别是( )A，B，C，D，二、填空题（每题5分）11已知数列an满足，则该数列前26项的和为_12函数y=x2（x0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_13已知实数x，y满足x2+y2=1，则的取值范围是_14过直线x+y2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是_15若曲线y=与直线y=x+b始终有交点，则b的取值范围是_三、解答题（书写规范推演步骤，共75分）16已知向量=（cosx，），=（sinx，cos2x）函数f（x）=（1）写出函数f（x）的最小正周期和对称轴方程（2

4、）求函数f（x）的单调区间（3）当x，时求函数f（x）的最值17设等差数列an的前n项和为Sn，且（c是常数，nN*），a2=6（）求c的值及数列an的通项公式；（）证明：18设数列an的前n项积为Tn，Tn=1an，（1）证明是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn19已知以点C（t，） （tR，t0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点（1）求证：AOB的面积为定值；（2）设直线2x+y4=0与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程20（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y212x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不

5、同的两点A，B（）求k的取值范围；（）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由21（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数（1）当a=1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e上的最大值为3，求a的值；（3）当a=1时，试推断方程|f（x）|=是否有实数解2014-2015学年山东省滨州市邹平县双语学校高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1集合M=y|y=x21，xR，集合N=x|y=，xR，则MN=( )At|0t3Bt|1t3C（，1），（，1）D【考点】交集及其运算 【专题】计算题【分

6、析】求出集合M中函数的值域得到集合M，求出集合N中函数的定义域得到集合N，求出两集合的交集即可【解答】解：由集合M中的函数y=x21，可得y1，所以集合M=y|y1；由集合N中的函数y=，得到9x20，即（x+3）（x3）0，解得：3x3，所以集合N=x|3x3，则MN=t|1t3故选B【点评】此题属于以函数的定义域和值域为平台，考查了交集的运算，是一道基础题2函数f（x）=（a23a+3）ax是指数函数，则a的值是( )Aa=1或a=2Ba=1Ca=2Da0或a1【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【专题】函数的性质及应用【分析】由指数函数的定义，得a23a+3=1，且a0，a1，

7、解出即可【解答】解：由指数函数的定义，得，解得a=2故选C【点评】本题考查指数函数的定义，准确理解指数函数的定义是解决本题的关键3函数的零点个数为( )A3B2C1D0【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法 【分析】分段解方程，直接求出该函数的所有零点由所得的个数选出正确选项【解答】解：当x0时，令x2+2x3=0解得x=3；当x0时，令2+lnx=0解得x=100，所以已知函数有两个零点，故选：B【点评】本题考查函数零点的概念，以及数形结合解决问题的方法，只要画出该函数的图象不难解答此题4函数f（x）=x3+x2+tx+t在（1，1）上是增函数，则t的取值范围是( )At5Bt5Ct5D

8、t5【考点】利用导数研究函数的单调性 【专题】导数的综合应用【分析】函数f（x）=x3+x2+tx+t在（1，1）上是增函数，所以会得到f（x）在（1，1）上应是f（x）0，函数在端点处有定义，所以f（1）0，f（1）0，并且f（1）f（1），这样会得到三个关于t的不等式，解不等式便能求出t的取值范围【解答】解：f（x）=3x2+2x+t，由题意知，要使函数f（x）=x3+x2+tx+t在（1，1）上是增函数，则t应满足：即：解得t5，故选C【点评】本题用到的一个知识点是：如果一个函数在一个开区间上是单调函数，并且函数在区间端点有定义，那么它在闭区间上也是单调函数，并且单调性和开区间上一致5已

9、知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+2）=，当1x2时，f（x）=x2则f（6.5）等于( )A4.5B4.5C0.5D0.5【考点】函数奇偶性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】由已知中f（x+2）=，可得f（x）是周期为4的周期函数，再由f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（6.5）=f（1.5），代入可得答案【解答】解：函数f（x）满足f（x+2）=，故f（x+4）=f（x+2）+2=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，故f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）=f（1.5），又当1x2时，f（x）=x2f（1.5）=0.5，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数的奇

10、偶性，函数的周期性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档6数列an是正项等比数列，bn是等差数列，且a6=b7，则有( )Aa3+a9b4+b10Ba3+a9b4+b10Ca3+a9b4+b10Da3+a9与b4+b10 大小不确定【考点】数列的函数特性 【专题】等差数列与等比数列【分析】由于bn是等差数列，可得b4+b10=2b7已知a6=b7，于是b4+b10=2a6由于数列an是正项等比数列，可得a3+a9=2a6即可得出【解答】解：bn是等差数列，b4+b10=2b7，a6=b7，b4+b10=2a6，数列an是正项等比数列，a3+a9=2a6，a3+a9b4+b10故选：B【点评】本

11、题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题7直线xsiny+1=0的倾斜角的变化范围是( )A（0，）B（0，）C，D0，）【考点】直线的倾斜角 【专题】直线与圆【分析】由已知直线方程求出直线斜率的范围，再由斜率为直线倾斜角的正切值得答案【解答】解：由xsiny+1=0，得此直线的斜率为sin1，1设其倾斜角为（0），则tan1，10，）故选：D【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题8方程表示的曲线是( )A一个圆B两个半圆C两个圆D半圆【考点】曲线与方程 【专题】计算题；数形结合【分析】方程两边平方后可整理出圆的方程，推断出方程表示的曲线为

12、一个圆【解答】解：两边平方，可变为（x1）2+（y1）2=1，表示的曲线为以（1，1）为圆心，1为半径的圆；故选A【点评】本题主要考查了曲线与方程解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想9已知两点A（2，0），B（0，2），点C是圆x2+y22x=0上的任意一点，则ABC的面积最小值是( )A3B3+CD【考点】直线和圆的方程的应用 【专题】直线与圆【分析】求出直线方程，圆心坐标与半径，从而可得圆上的点到直线距离的最小值进而可求ABC的面积最小值【解答】解：直线AB的方程为，即xy+2=0圆x2+y22x=0，可化为（x1）2+y2=1，圆心（1，0）到直线的距离为d=圆上的点到直线距离的

13、最小值为|AB|=ABC的面积最小值是=故选A【点评】本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式，考查三角形面积的计算，属于中档题10设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0c，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A，B，C，D，【考点】两条平行直线间的距离 【专题】直线与圆【分析】利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值【解答】解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=1，ab=c，两条直线之间的距离d=，d2=，因为0c，所以14c1，即d2，所以两条直

14、线之间的距离的最大值和最小值分别是，故选：A【点评】本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力二、填空题（每题5分）11已知数列an满足，则该数列前26项的和为10【考点】数列递推式；数列的求和 【专题】计算题【分析】由可分别求a2，a3，a4通过计算前几项可得数列以4为周期且，从而可求【解答】解：=1，=，=1=a1，=2=a2an是以4为周期的周期数列且S26=a1+a2+a3+a26=6（a1+a2+a3+a4）+a1+a2=10故答案为：10【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的和，解题的关键是由前几项发现数列周期性的规律12函数y=x2（x0）的图象在

15、点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=21【考点】抛物线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出函数y=x2在点（ak，ak2）处的切线方程，然后令y=0代入求出x的值，再结合a1的值得到数列的通项公式，再得到a1+a3+a5的值【解答】解：在点（ak，ak2）处的切线方程为：yak2=2ak（xak），当y=0时，解得，所以故答案为：21【点评】考查函数的切线方程、数列的通项13已知实数x，y满足x2+y2=1，则的取值范围是，+）【考点】直线与圆的位置关系 【专题】计算题；直线与圆【分析】由题意，借助已知动点

16、在单位圆上任意动，而所求式子形式可以联想成在单位圆上动点P与定点A构成的斜率，进而求解【解答】解：由题意作出如下图形：令k=，则k可看作圆x2+y2=1上的动点P到定点A（1，2）的连线的斜率而相切时的斜率，由于此时直线与圆相切，设直线方程为：y+2=k（x+1），化为直线一般式为：kxy+k2=0，利用直线与圆相切建立关于k的方程为：=1，k=而由题意及点P所在的位置图可以知道斜率k临界下时斜率为，而由于点A的横坐标与单位圆在x轴的交点横坐标一样，此时过点A与单位圆相切的直线的倾斜角为90，所以斜率无最大值综合可得，的取值范围是，+）故答案为：，+）【点评】此题重点考查了已知两点坐标写斜率，

17、及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想14过直线x+y2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是（，）【考点】圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题 【专题】直线与圆【分析】根据题意画出相应的图形，设P的坐标为（a，b），由PA与PB为圆的两条切线，根据切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，再由切线长定理得到PO为角平分线，根据两切线的夹角为60，求出APO和BPO都为30，在直角三角形APO中，由半径AO的长，利用30角所对的直角边等于斜边的一半求出OP的长，由P和O的坐标，利用两点间的距离公式列出关于a与b

18、的方程，记作，再由P在直线x+y2=0上，将P的坐标代入得到关于a与b的另一个方程，记作，联立即可求出a与b的值，进而确定出P的坐标【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：直线PA和PB为过点P的两条切线，且APB=60，设P的坐标为（a，b），连接OP，OA，OB，OAAP，OBBP，PO平分APB，OAP=OBP=90，APO=BPO=30，又圆x2+y2=1，即圆心坐标为（0，0），半径r=1，OA=OB=1，OP=2AO=2BO=2，=2，即a2+b2=4，又P在直线x+y2=0上，a+b2=0，即a+b=2，联立解得：a=b=，则P的坐标为（，）故答案为：（，）【点评】此题考查

19、了圆的切线方程，涉及的知识有：切线的性质，切线长定理，含30直角三角形的性质，以及两点间的距离公式，利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键15若曲线y=与直线y=x+b始终有交点，则b的取值范围是1，【考点】直线与圆的位置关系；曲线与方程 【专题】计算题；数形结合；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据曲线方程的特点得到此曲线的图象为一个半圆如图所示，然后分别求出相切、过（1，0）及过（1，0）的直线方程，利用图象即可得到满足条件的b的范围【解答】解：曲线y=代表半圆，图象如图所示当直线与半圆相切时，圆心（0，0）到直线y=x+b的距离d=r=1，解得b=，b=（

20、舍去），当直线过（1，0）时，把（1，0）代入直线方程y=x+b中解得b=1；当直线过（1，0）时，把（1，0）代入直线方程y=x+b中解得b=1根据图象可知直线与圆有交点时，b的取值范围是：1，；当有一个交点时，b的取值范围为：1，1）；当有两个交点时，b的取值范围是：1，）故答案为：1，【点评】本题考查学生掌握直线与圆的位置关系的判别方法，灵活运用数形结合的数学思想解决实际问题是一道综合题三、解答题（书写规范推演步骤，共75分）16已知向量=（cosx，），=（sinx，cos2x）函数f（x）=（1）写出函数f（x）的最小正周期和对称轴方程（2）求函数f（x）的单调区间（3）当x，时求函

21、数f（x）的最值【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算 【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】（1）利用向量数量积的坐标计算公式，以及二倍角公式，两角差的正弦公式，化简得到f（x），根据周期的定义和对称轴的定义即可期求出；（2）利用三角函数的单调性即可求出单调区间；（3）先判断单调性，即可求出最值【解答】解：（1）向量=（cosx，），=（sinx，cos2x）函数f（x）=（cosxsinxcos2x）=（sin2xcos2x）=sin（2x），T=，2x=k+，即x=+，kZ，函数f（x）的最小正周期为和对称轴方程x=+，kZ，（2）

22、+2k2x+2k，+2k2x+2k，kZ，+kx+k，+kx+k，kZ，函数f（x）在+k，+k上为减函数，在+k，+k，kZ，上为增函数，（3）由（2）可知，函数f（x）在，为减函数，在，上为增函数，当x=时，f（x）有最小值，最小值为f（）=1，f（）=sin（）=1，f（）=sin（）=，f（x）的最大值为1【点评】本题考查向量坐标计算公式、二倍角公式、三角函数的单调性周期对称轴最值，属于中档题17设等差数列an的前n项和为Sn，且（c是常数，nN*），a2=6（）求c的值及数列an的通项公式；（）证明：【考点】等差数列的前n项和；数列的求和 【专题】计算题；证明题【分析】（）根据，令n

23、=1代入求出a1，令n=2代入求出a2，由a2=6即可求出c的值，由c的值即可求出首项和公差，根据首项和公差写出等差数列的通项公式即可；（）利用数列的通项公式列举出各项并代入所证不等式的坐标，利用=（），把各项拆项后抵消化简后即可得证【解答】解：（）解：因为，所以当n=1时，解得a1=2c，当n=2时，S2=a2+a2c，即a1+a2=2a2c，解得a2=3c，所以3c=6，解得c=2，则a1=4，数列an的公差d=a2a1=2，所以an=a1+（n1）d=2n+2；（）因为=因为nN*，所以【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，会利用拆项法进行数列的求和，是

24、一道综合题18设数列an的前n项积为Tn，Tn=1an，（1）证明是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn【考点】数列的求和；等差关系的确定 【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）利用等差数列的定义，由题意可得=1，即可得出证明；（2）由（1）可得=1=n，利用等差数列求和公式即可得出结论【解答】解：（1）由题意得Tn=1an，Tn+1=1an+1，由得an+1=，an+1=，=1，又由T1=1a1得a1=，=2，是首项为2，公差为1的等差数列；（2）由（1）得=2+（n1）=n+1，an=1Tn，=1=n，sn=1+2+3+n=【点评】本题主要考查等差数列的定义、性质及前n项和公式的应用，属

25、于基础题19已知以点C（t，） （tR，t0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点（1）求证：AOB的面积为定值；（2）设直线2x+y4=0与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程【考点】圆的标准方程；三角形的面积公式 【专题】直线与圆【分析】（1）设出圆C的方程，求得A、B的坐标，再根据SAOB=OAOB，计算可得结论 （2）设MN的中点为H，则CHMN，根据C、H、O三点共线，KMN=2，由直线OC的斜率k=，求得t的值，可得所求的圆C的方程【解答】解：（1）证明：由题设知，圆C的方程为（xt）2+（y）2=t2+，化简得x22tx+y2y=0当y=0时，x

26、=0或2t，则A（2t，0）；当x=0时，y=0或，则B，SAOB=OAOB=|2t|=4为定值 （2）解OM=ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CHMN，C、H、O三点共线，KMN=2，则直线OC的斜率k=，t=2或t=2圆心为C（2，1）或C（2，1），圆C的方程为（x2）2+（y1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y4=0到圆心的距离dr，此时不满足直线与圆相交，故舍去，所求的圆C的方程为（x2）2+（y1）2=5【点评】本题主要考查求圆的标准方程，两条直线垂直的性质，属于中档题20（13分）在平面直角坐标

27、系xOy中，已知圆x2+y212x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B（）求k的取值范围；（）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用；向量的共线定理 【专题】计算题；压轴题【分析】（）先把圆的方程整理成标准方程，进而求得圆心，设出直线方程代入圆方程整理后，根据判别式大于0求得k 的范围，（）A（x1，y1），B（x2，y2），根据（1）中的方程和韦达定理可求得x1+x2的表达式，根据直线方程可求得y1+y2的表达式，进而根据以与共线可推知（x1+x2）=3（y1+y2），进而求得k，根据

28、（1）k的范围可知，k不符合题意【解答】解：（）圆的方程可写成（x6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2代入圆方程得x2+（kx+2）212x+32=0，整理得（1+k2）x2+4（k3）x+36=0 直线与圆交于两个不同的点A，B等价于=4（k3）2436（1+k2）=42（8k26k）0，解得，即k的取值范围为（）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由方程，又y1+y2=k（x1+x2）+4 而所以与共线等价于（x1+x2）=3（y1+y2），将代入上式，解得由（）知，故没有符合题意的常数k【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的综合

29、运用常需要把直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理和判别式求得问题的解21（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数（1）当a=1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e上的最大值为3，求a的值；（3）当a=1时，试推断方程|f（x）|=是否有实数解【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【专题】压轴题；导数的综合应用【分析】（1）在定义域（0，+）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值（2）在定义域（0，+）内对函数f（x）求导，对a进行分类讨论并判断其单调性，根据f（x）在区间（0，e上的单

30、调性求其最大值，并判断其最大值是否为3，若是就可求出相应的最大值（3）根据（1）可求出|f（x）|的值域，通过求导可求出函数g（x）的值域，通过比较上述两个函数的值域，就可判断出方程|f（x）|=是否有实数解【解答】解：（1）易知f（x）定义域为（0，+），当a=1时，f（x）=x+lnx，f（x）=1+，令f（x）=0，得x=1当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数f（x）max=f（1）=1函数f（x）在（0，+）上的最大值为1（2）f（x）=a+，x（0，e，若a，则f（x）0，从而f（x）在（0，e上增函数，f（x）max=f

31、（e）=ae+10，不合题意若a，则由f（x）00，即0x由f（x）00，即xe从而f（x）在上增函数，在为减函数f（x）max=f=1+ln令1+ln=3，则ln=2=e2，即a=e2e2，a=e2为所求（3）由（1）知当a=1时f（x）max=f（1）=1，|f（x）|1又令g（x）=，g（x）=，令g（x）=0，得x=e，当0xe时，g（x）0，g（x） 在（0，e）单调递增；当xe时，g（x）0，g（x） 在（e，+）单调递减g（x）max=g（e）=1，g（x）1，|f（x）|g（x），即|f（x）|方程|f（x）|=没有实数解【点评】本题先通过对函数求导，求其极值，进而在求其最值及值域，用到分类讨论的思想方法