山东省潍坊市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）.doc

1、山东省潍坊市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：1. 已知复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求模，后化简，利用复数的运算直接得到答案.【详解】因为，所以.故选：A.【点睛】本题考查复数的运算和模的相关知识点，考查计算能力，属于比较简单题型.2. 下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】针对各选项分别进行求导，从而判断正确与否，最终得到答案.【详解】A选项，故A错误；B选项，故B错误；C选项，故C正确；D选项，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查导数的运算，属于比较简单的知识点，注意的地

2、方就是要细心.3. 已知平面，则的一个充分条件是（ ）A. 平面内有无数条直线与平行B. 平面内有两条相交的直线与平行C. 平面，平行于同一条直线D. 平面，垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】根据充分条件的定义以及面面平行的判定定理即可得出正确【详解】对于A，平面内有无数条直线与平行，若这些直线都平行，不一定能推出，A错误；对于B，根据面面平行判定定理可知B正确；对于C，若平面，平行于同一条直线，则平面既可能平行，也可能相交，C错误；对于D，若平面，垂直于同一平面，则平面既可能平行，也可能相交，D错误故选：B【点睛】本题主要考查面面平行判定定理的理解和应用，以及充分条件的定义的理解，属于

3、容易题4. 已知时，函数取得极大值，则（ ）A. B. C. 4D. 2【答案】B【解析】【分析】求出导函数，确定函数的单调性，得极值点【详解】由题意，得，当或时，当时，在,上单调递增，在上单调递减，是极大值点，是极小值点故选：B【点睛】本题考查导数与极值，求出导函数，由的正负确定函数的单调性，得极值点5. 老师想要了解全班50位同学的成绩状况，为此随机抽查了10位学生某次考试的数学与物理成绩，结果列表如下：学生甲乙丙丁戊己庚辛壬癸平均标准差数学8862物理7563若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则

4、下列正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据正态分布的图象性质判断，平均数表示对称轴，标准差反应正态曲线是“高瘦”还是“矮胖”得到答案.【详解】由，故数学分布曲线即实线的对称轴应位于物理分布曲线的对称轴的左边，排除B，又由，则数学分布曲线即实线应“矮胖”，而物理分布曲线应相对“高瘦”，排除CD，应选A.故选：A.【点睛】本题考查了正态曲线的图象性质，属于基础题.6. 欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献，著名的欧拉公式：，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公

5、式，复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二条限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】首先将欧拉公式代入，直接根据复数的运算化简得到答案.【详解】因为，所以所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查的是复数的运算，属于比较常见的简单题型.7. 已知直四棱柱的侧棱长为4，底面为矩形且面积为4，一小虫从点出发沿直棱柱侧面绕行一周后到达点，则小虫爬行的最短路程为（ ）A. 8B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出直四棱柱和它的侧面展开图，设直四棱柱的底面的矩形的两边分别为，求出，再利用基本不等式求解.【详解】如图，设直四棱柱的底面的矩形的

6、两边分别为，上面右图为棱柱的侧面展开图，所以，由题得（当且仅当时 取等号）所以的最小值为4，所以.所以小虫爬行的最短路程为.故选：B【点睛】本题主要考查利用棱柱侧面展开图求解距离最值问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.8. 在桌面上有一个正四面体.任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面，称为一次操作.如图，现底面为，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面再度与桌面接触的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】基本事件总数为27个，满足条件的事件有6个，求出概率即可【详解】正四面体每个面都是三角形，每次翻转有3种选

7、择，操作3次，故基本事件有个，若操作3次后平面再度与桌面接触，第一次有3种选择，第二次有2种选择，第三次有1种选择，故故选：C【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.二、多项选择题：9. 已知复数的共轭复数为，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. 虚部为C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假【详解】由可得，所以，虚部为；因为，所以，故选：ACD【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题10. 掷

8、一个均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为，恰好出现次正面的概率记为，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. ，中最大值为【答案】BD【解析】【分析】由题意知，正面出现次数服从二项分布，由二项分布概率公式可得正确选项.【详解】A、B选项：，故A错误，B正确C选项：，C错误D选项：二项分布概率公式可得，最大值为，D正确故选：BD【点睛】本题考查二项分布概率公式，属于基础题.11. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】求出每一

9、个函数的二阶导数，判断是否在上恒成立,从而得到答案.【详解】对于A选项，则，当时，恒有，是凸函数；对于B选项，则，当上，恒有，是凸函数；对于C选项，若，则在上恒成立，是凸函数；对于D选项，若，则，则在上恒成立，故不是凸函数.故选：ABC.【点睛】本题考查导数的计算，考查获得新知识、应用新知识的能力，比较简单.解答时只要准确求出原函数的二阶导数进行分析即可.12. 已知直三棱柱中，是的中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. 当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为B. 无论点在上怎么运动，都有C. 当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且D. 无论点在上怎么运动，直

10、线与所成角都不可能是30【答案】ABD【解析】【分析】构造线面角，由已知线段的等量关系求的值即可判断A的正误；利用线面垂直的性质，可证明即可知B的正误；由中位线的性质有可知C的正误；由直线的平行关系构造线线角为，结合动点P分析角度范围即可知D的正误【详解】直三棱柱中，选项A中，当点运动到中点时，有E为的中点，连接、，如下图示即有面直线与平面所成的角的正切值：，故A正确选项B中，连接，与交于E，并连接，如下图示由题意知，为正方形，即有而且为直三棱柱，有面，面，又面，面，故同理可证：，又面，又面，即有，故B正确选项C中，点运动到中点时，即在中、均为中位线Q为中位线的交点根据中位线的性质有：，故C错

11、误选项D中，由于，直线与所成角即为与所成角：结合下图分析知：点在上运动时当在或上时，最大为45当在中点上时，最小为不可能是30，故D正确故选：ABD【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小三、填空题：13. 的展开式的常数项是_（用数字作答）【答案】240【解析】【分析】根据二项式的展开式的通项公式赋值即可求出【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得所以的展开式的常数项是故答案为：240【点睛】本题主要考查利用二项式的展开式的通项公式求指定项，意在考查学生的数学运算能力，属于

12、基础题14. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为在区间恒成立，求出的范围即可【详解】，若函数区间上为减函数，则在区间恒成立，即，因为，所以，所以.故答案为：，【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于中档题15. 一个家庭中有三个小孩，假定生男、生女是等可能的.已知这个家庭中有一个是男孩，则至少有一个女孩的概率是_.【答案】【解析】【分析】列出这个家庭有三个小孩且其中有一个是男孩的所有可能，即可计算概率.【详解】这个家庭有三个小孩且其中有一个是男孩的所有可能如下：（男，男，男），（男，男，女），（男，女

13、，男），（男，女，女），（女，男，男），（女，男，女），（女，女，男）共7个基本事件，其中，至少有一个女孩包含了6个基本事件，则至少有一个女孩的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查条件概率及其应用，解题关键是列出所有基本事件，属于基础题.16. 在棱长为6的正方体空盒内，有四个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大值为_；大球半径的最小值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据在盒底四角四个半径为的小球相切时，小球的半径最大，

14、大球的半径最小, 四个小球的球心和大球的球心构成一个正四棱锥求解.【详解】当四个半径为的小球相切时，小球的半径最大，大球的半径最小，如图所示：四个小球的球心和大球的球心构成一个正四棱锥，所以4r=6，解得，其中，在中，即，解得，故答案为：（1）；（2）.【点睛】本题主要考查几何体的结构特征，还考查了空间想象和逻辑推理能力，属于基础题.四、解答题：17. 在为实数，为虚数，为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.已知复数：（1）若_，求实数的值；（2）当在复平面内对应的点位于第三象限时，求的取值范围.【答案】（1）选择：或；选择：或；选择：；（2）.【解析】【分析】（1）选好条件后，根

15、据复数的性质列式子即可求解；（2）令实部和虚部都小于0即可.【详解】选择，当为实数时，有，解得或，选择，当为虚数时，有，解得或，选择，当为纯虚数时，有，解得，；（2）因为在复平面内对应的点位于第三象限，所以，解得，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查对复数概念的理解，以及几何意义的理解，属于基础题.18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据题目需要作辅助线，得到，利用底面为平行四边形得到，进一步四边形为平行四边形，根据线面平行的判定定理得以证明结论；（2）根据题目

16、的条件分别求出四棱锥的高和底，根据体积公式得到答案.【详解】（1）取的中点，连结，点为的中点，且，底面为平行四边形，为的中点，且，且，四边形为平行四边形，平面，平面，平面.（2），且，面平面，平面.即为四棱锥的高.由题设易知，四棱锥的体积.【点睛】本题考查线面平行的判断和求四棱锥体积的相关知识点，考查空间思维能力，属于比较常见的基础题型.19. 已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.【答案】（1）；（2）增区间为，减区间为；极大值为，极小值为.【解析】【分析】（1）首先求出切点坐标，求导求出斜率，再利用点斜式即可得到切线方程.（2）首先求导得到，令，

17、解得，或，再求函数的单调区间和极值即可.【详解】（1）当时，切点.，故.切线方程为，即.（2）.令，解得，或.由知，. 增函数极大值减函数极小值增函数所以的增区间为，减区间为.函数在处取得极大值，且.函数处取得极小值，且.【点睛】本题第一问考查导数几何意义，第二问考查利用导数求函数的单调区间和极值，属于简单题.20. 根据国家质量监督检验检疫局发布的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验（GB19522醉酒驾车的测试2004）中规定，饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或着等者，小于的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于的驾驶行为，两者都属于酒驾行为.为将酒

18、驾危害降至最低，某市交警支队决定采用不定时查车的办法来减少酒驾的发生，下表是该交警支队5个月内检查到酒驾的人数统计表:月份12345酒驾人数1151001009585（1）请利用所给数据求酒驾人数与月份之间的回归直线方程；（2）预测该市7月份的酒驾人数.参考公式：，.【答案】（1）；（2）73人.【解析】【分析】（1）根据题中数据分别求出，即可求出回归方程；（2）将代入直线回归方程即可预测出.【详解】（1）由表中数据得，所以与月份之间的回归直线方程；（2）当时，所以预测该市7月份的酒驾人数为73人.【点睛】本题主要考查回归分析的基本思想及其初步运用，回归直线的意义和求法，属于基础题.21. 已

19、知三棱台，为线段的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）试判断在线段上是否存在一点（点不与、重合），使二面角为30？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）先证明平面，即可证明；（2）过点作于点,以为坐标原点，分别为，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量关系求解；（3）设，利用空间向量关系列出式子，求出即可.【详解】（1）证明：，平面，平面，；（2）过点作于点，平面，平面，平面，以为坐标原点，分别为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面，且，则，设直线与平面所成角为，则；（3）存在点，使二面角为

20、30，设，设平面，且，则，平面的法向量，且二面角为30，即，或（舍），存在点，时，使二面角为30.【点睛】本题考查立体几何相互知识，考查了直线垂直的证明利用空间向量解立体几何问题，属于综合题.22. 受新冠肺炎疫情影响，本学期同学们在家上网课时间达三个多月，电脑屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成了很大的损伤.某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三1000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图：（1）求的值，并估计这1000名学生视力的中位数（精确到0.01）；（2）为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名

21、的学生进行了调查，得到如下数据：前50名后50名近视4232不近视818根据表中数据，能否有95%把握认为视力与学习成绩有关？（3）若报考某高校某专业的资格为：视力不低于5.0，以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取4名同学，这4名同学中有资格报该校该专业的人数为，求的分布列及数学期望.0.100.050.02500100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1），；（2）有；（3）答案见解析，.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，各小矩形的面积之和为，列方程即可求出的值，再根据直方图中中位数左右两侧的矩形面积相

22、等即可求出中位数；（2）先利用公式求出的观测值，再根据临界值表，即可判断；（3）根据题意可知，视力在4.8以上的同学中，视力在5.0以上的同学所占的比例为，所以离散型随机变量，再根据二项分布的概率公式，即可求出各概率，从而得到分布列，再根据期望公式即可求解【详解】（1），所以，视力在4.4以下的频率为：，视力在4.6以下的频率为：，所以中位数在4.4至4.6之间，设中位数为，则，故中位数为4.54（2）因为的观测值，所以有95%把握认为视力与学习成绩有关.（3）视力在4.8以上的同学中，视力在5.0以上的同学所占的比例为：所以从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取4名同学，这4名同学中有资格报该校该专业的人数为，即，所以，所以的分布列为：01234.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，独立性检验的基本思想及其应用，二项分布的应用，意在考查学生的数学运算能力，数学抽象能力和数据分析能力，属于中档题