（新教材）2020-2021学年人教B版数学选择性必修三课件：6-1-4 求导法则及其应用 .ppt

1、6.1.4 求导法则及其应用新课程标准素养风向标1.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数2.能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的导数1.掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则.(数学抽象)2.会用导数的运算法则求简单函数的导数.(数学运算)3.理解并掌握复合函数的求导法则.(数学运算)主题1导数的运算法则利用导数的定义分别求y=5+x,y=5x,y=的导数.基础预习初探提示:(1)=1,=1.故y=5+x的导数为1.(2)=5,=5.故y=5x的导数为5.(3)故y=的导数为.结论:导数的运算法则1.函数和差的导数,f(x)g(x)=_.2.函数积的

2、导数,f(x)g(x)=_.3.函数商的导数,_(g(x)0).4.推论:常数与函数的积的导数,cf(x)=_.f(x)g(x)f(x)g(x)+f(x)g(x)cf(x)【对点练】1.使得函数f(x)=(x-3)ex的导数f(x)0的实数x的取值范围是()A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)【解析】选D.f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex,令f(x)0,解得x2.2.下列导数运算正确的是()A.(x-1)=B.(2x)=x2x-1C.(cos x)=sin xD.(ln x+x)=+1【解析】选D.A.(x-1)=-x-2=-,故选项A不正确;B

3、.(2x)=2xln2,故选项B不正确;C.(cosx)=-sinx,故选项C不正确;D.(lnx+x)=+1,故选项D正确.【补偿训练】当函数y=(a0)在x=x0处的导数为0时,那么x0等于()A.aB.aC.-aD.a2【解析】选B.y=由-a2=0得x0=a.主题2 复合函数的导数1.y=ln(x+2)的结构特征是什么?提示:令u=x+2,则y=ln u.因此y=ln(x+2)可看成是由u=x+2和y=ln u复合而成的.2.如何求y=ln(x+2)的导数?提示:由y=ln(x+2)的结构特征,可考虑由外向内求导数.令u=x+2,则y=ln u,因此yx=yuux=(ln u)(x+2

4、)=.结论:复合函数的概念一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成_,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作_复合函数的求导法则复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx=yuux,即y对x的导数等于_x的函数y=f(g(x)y对u的导数与u对x的导数的乘积【对点练】1.f(x)=ln cos2x的导数是()【解析】选D.因为f(x)=ln cos2x,所以f(x)=2.已知f(x)=ln(3x-1),则f(1)=_.【解析】f(x)=(3x-1)=,所以f(1)=.答案:核心互动探究探究点

5、一 利用运算法则求函数的导数【典例1】(1)已知函数f(x)=+2lnx图像在点P的切线平行于直线5x-2y=2 019,则点P的坐标为()A.(2,0)B.C.D.(1,1)(2)求下列函数的导数.y=x-2+x2;y=3xex-2x+e;y=;y=x2-【思维导引】(1)先求导,再结合条件求P点横坐标,又点P在函数f(x)上,可求P点纵坐标.(2)分析各个函数解析式的特点,应用和、差、积、商的导数法则求导.【解析】(1)选D.设点P ,因为+2ln x,所以f(x)=所以由题意得解得x0=1,所以y0=+2ln x0=1,所以切点P的坐标为(2)y=2x-2x-3;y=(ln 3+1)(3

6、e)x-2xln 2;y=因为y=x2-sin =x2-sin x,所以y=2x-cos x.【类题通法】利用导数的公式及运算法则求导的思路【定向训练】1.(2020全国卷)设函数f(x)=.若f(1)=,则a=_.【解析】由函数的解析式可得:则所以所以a2-2a+1=0,解得:a=1.答案:12.求下列函数的导数:(1)f(x)=ax4lnx+bx4-c.(2)f(x)=(3)f(x)=【解析】(1)f(x)=4ax3ln x+ax4+4bx3=x3(4a lnx+a+4b).(2)f(x)=(3)f(x)=【拓展延伸】导数运算法则的推广(1)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导

7、数仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况,即f1(x)f2(x)f3(x)fn(x)=f1(x)f2(x)f3(x)fn(x).(2)积的导数公式的拓展,若y=f1(x)f2(x)fn(x),则有y=f1(x)f2(x)fn(x)+f1(x)f2(x)fn(x)+f1(x)f2(x)fn(x).【补偿训练】求下列函数的导数:(1)y=.(2)y=.【解析】(1)y=(2)y=探究点二 求复合函数的导数【典例2】(1)已知函数f(x)=,求其导数.(2)设函数f(x)=cos(x+)(0),且f(x)+f(x)为奇函数.求的值;求f(x)+f(x)的最值.【思维导引】

8、(1)f(x)=是y=eu与u=-ax2+bx的复合.(2)先求出函数f(x)=cos(x+)(0)的导数,再利用f(x)+f(x)为奇函数求的值,进而求出f(x)+f(x)的最值.【解析】(1)令u=-ax2+bx,则y=eu.yx=yuux=eu(-ax2+bx)=eu(-2ax+b)=(-2ax+b).(2)f(x)+f(x)=cos(x+)-sin(x+)(x+)=cos(x+)-sin(x+)=因为00,0,|),其导函数f(x)的部分图像如图所示,则函数f(x)的解析式为()【解析】选D.因为所以由图像可得A=2,=2,所以T=4,又因为T=,所以=,A=4,由得=,所以2.求下列

9、函数的导数.(1)y=;(2)y=5log2(1-x).【解析】(1)函数y=可看作函数y=u-3和u=2x-1的复合函数,所以yx=yuux=(u-3)(2x-1)=-6u-4=-6(2x-1)-4=-.(2)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,所以yx=yuux=(5log2u)(1-x)=【补偿训练】指出下列函数的复合关系:(1)y=sin x3.(2)y=cos .(3)y=【解析】函数的复合关系分别是(1)y=sin u,u=x3.(2)y=cos u,u=-x.(3)y=,u=2+cos v,v=3x.探究点三 导数的综合应用【典例3】设函

10、数y=f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.【思维导引】(1)由条件列出关于a,b的二元一次不等式组求解.(2)设任一点P(x0,y0),由(1)得f(x)及f(x).求点P处的切线方程,再用x0表示三角形面积,化简即可.【解析】(1)由7x-4y-12=0得y=x-3.当x=2时,y=,所以f(2)=2a-.又f(x)=a+,所以f(2)=a+.由得解得故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由

11、f(x)=1+知,曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-(x-x0).令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.【类题通法】对导数的考查,往往与其他知识点相结合:如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等,解题的关键是能够熟练求出导数,把问题转化为相对应的知识求解.【定向训练】若曲线y=xln x上

12、点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是_,切线方程为_.【解析】设P(x0,y0).因为y=xlnx,所以y=lnx+x =1+lnx.所以k=1+lnx0.又k=2,所以1+lnx0=2,所以x0=e.所以y0=eln e=e.所以点P的坐标是(e,e).故切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0.答案:(e,e)2x-y-e=0【课堂小结】课堂素养达标1.已知f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1(x),f3(x)=f2(x),fn+1(x)=fn(x),nN*,则f2 020(x)=()A.sin x+cos

13、xB.sin x-cos xC.-sin x+cos xD.-sin x-cos x【解析】选B.根据题意,f1(x)=sin x+cos x,f2(x)=f1(x)=cos x-sin x,f3(x)=(cos x-sin x)=-sin x-cos x,f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x,可得出fn(x)=fn+4(x),f2 020(x)=f4(x)=sin x-cos x.2.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f(-1)=4,则a等于()【解析】选D.因为f(x)=3ax2+6x,所以f(-1)=3a-6=4.所以a=.3.已知直线l与曲线y=e

14、x-2相切于点P,与曲线y=ln x相切于点Q,则直线l的方程为_.【解析】由题意可设两个切点坐标为因为所以切线l的方程为因为这两个方程都表示直线l的方程,所以=ln x2-1,消去x2得=1-x1,所以x1=1,或x1=2,所以直线l的方程为y-e-1=e-1(x-1),或y-e0=e0(x-2),即y=,或y=x-1.答案:y=,或y=x-14.已知函数f(x)=x4+ax2-bx,且f(0)=-13,f(-1)=-27,则a+b=_.【解析】f(x)=4x3+2ax-b,由a+b=5+13=18.答案:185.求下列函数的导数.(1)y=cos(x+3).(2)y=(2x-1)3.(3)y=e-2x+1.【解析】(1)函数y=cos(x+3)可以看作函数y=cos u和u=x+3的复合函数,由复合函数的求导法则可得yx=yuux=(cos u)(x+3)=-sin u1=-sin u=-sin(x+3).(2)函数y=(2x-1)3可以看作函数y=u3和u=2x-1的复合函数,由复合函数的求导法则可得yx=yuux=(u3)(2x-1)=3u22=6u2=6(2x-1)2.(3)y=(e-2x+1)(-2x+1)=e-2x+1(-2)=-2e-2x+1.本课结束