（新教材）2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册课件：8-3-2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 .ppt

1、8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积基础预习初探1.观察下面几个几何体的侧面展开图:(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么图形?提示:它们的侧面展开图分别为矩形、扇形、扇环.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积与其侧面展开图的面积有何关系?提示:它们的侧面积分别等于侧面展开图的平面图形面积.2.底面半径和高都是R的圆锥和圆柱的体积分别是什么?根据这些你猜想半球的体积是什么?提示:圆锥的体积V=R3,圆柱的体积V=R3,猜想半球的体积V=R3.3.如图,以“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥,那么这些小棱锥的底面和高近似地看成什么?它们的体积之和近似地等于多少?提示:

2、小棱锥的底面可近似地看成小平面四边形面,高近似地等于半径,体积之和近似地等于球的体积.【概念生成】1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式几何体侧面展开图表面积公式圆柱S圆柱=2r(r+l),r为_,l为_底面半径母线长几何体侧面展开图表面积公式圆锥S圆锥=r(r+l),r为_,l为_圆台S圆台=(r2+r2+rl+rl),r为_,r为_,l为_底面半径母线长上底面半径下底面半径母线长2.柱体、锥体、台体的体积公式其中S,S分别表示上、下底面的面积,h表示高,r和r分别表示上、下底面圆的半径,R表示球的半径.名称体积(V)柱体棱柱_圆柱r2h锥体棱锥_圆锥ShShr2h名称体积(V)台体棱台_圆台_h

3、(S+S)h(r2+rr+r2)3.球的表面积与体积公式(1)球的体积公式:V=_(R为球的半径).(2)球的表面积公式:S=_(R为球的半径).R34R2核心互动探究探究点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积【典例1】如图所示,已知直角梯形ABCD,BCAD,ABC=90,AB=5 cm,BC=16 cm,AD=4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.【思维导引】【解析】以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底半径是4 cm,下底半径是16 cm,母线DC=所以该几何体的表面积为(4+16)13+42+162=532(cm2).【类题通法】旋转体的表面积与体积求法1

4、.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.【定向训练】1.在本例题题设条件不变的情况下,求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.【解析】以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示:其中圆锥的高为16-4=12(cm),圆柱的母线长为AD=4 cm,故该几何体的表面积为254+52+513=130(cm2).2.圆台的母线长为8 cm,母线与底面成60角,轴截面的两条对角线互相垂直,求圆

5、台的表面积.【解析】如图所示的是圆台的轴截面ABB1A1,其中A1AB=60,过A1作A1HAB于H,则O1O=A1H=A1Asin 60=4 (cm),AH=A1Acos 60=4(cm).设O1A1=r1,OA=r2,则r2-r1=AH=4.设A1B与AB1的交点为M,则A1M=B1M.又因为A1BAB1,所以A1MO1=B1MO1=45.所以O1M=O1A1=r1.同理OM=OA=r2.所以O1O=O1M+OM=r1+r2=4 ,由可得r1=2(-1),r2=2(+1).所以S表=+(r1+r2)l=32(1+)(cm2).【补偿训练】1.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有

6、如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”若圆周率约为3,估算出堆放的米约有_立方尺.()【解析】选B.设米堆所在圆锥的底面半径为r尺,则2r=8,解得:r=,所以米堆的体积为V=r25=所以堆放的米约有立方尺.2.在RtABC中,AB=3,BC=4,ABC=90,把ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后,所形成的几何体的体积是多少?【解析】由题意,所形成的几何体为两个圆锥的组合体,如图所示,两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD,且BD

7、=两个圆锥的高分别为AD和DC,所以V=V1+V2=BD2AD+BD2CD=BD2(AD+CD)=BD2AC=5=.故所形成的几何体的体积是.探究点二 球的表面积和体积【典例2】(1)已知球面上有A,B,C三点,且AB=AC=,BC=2,球心到平面ABC的距离为,则球的体积为()A.B.C.D.(2)17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解,他们将体积公式“V=kD3”中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”,创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”,其中,D为直径,类似地,对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V=kD3,其中,在等边圆柱中,D表示

8、底面圆的直径;在正方体中,D表示棱长.假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1,k2,k3,那么,k1k2k3=()【思维导引】(1)根据条件可得三角形ABC为直角三角形,球心到截面ABC的距离正好是球心到BC中点的距离,从而求出半径,即可求得球的体积.(2)根据球、等边圆柱、正方体的体积公式分别求出k1,k2,k3的值,即得结论.【解析】(1)选B.由AB=AC=,BC=2,可得BAC=90,又由球心到截面ABC的距离为,正好是球心到BC的中点的距离,所以球的半径为R=2,所以球的体积为V=(2)选D.球中,V=等边圆柱中,V=正方体中,V=D3=k3D3,所以k

9、3=1;所以k1k2k3=【类题通法】求球的体积与表面积的策略(1)计算球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.(2)球的截面特点当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径;球心与截面圆圆心的连线垂直于截面;若球的半径为R,截面圆的半径为r,则球心到截面的距离为d=【定向训练】1.把一个铁制的底面半径为r,高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球,则这个铁球的半径为()【解析】选C.因为r2h=R3,所以R=2.若球的体积与其表面积数值相等,则球的大圆(过球心的圆)面积等于()A.B.3C.6D.9【解析】选D.由题意得:R3=4R2,所以R=3,则球的

10、大圆面积等于9.【知识延拓】各棱长均为的四面体内有一内切球,求该球的体积.【解题指南】等体积法内切球的半径球的体积【解析】如图,在四面体S-ABC中,取底面ABC的中心为O1,连接SO1,O1A,则SO1是四面体S-ABC的高.因为AO1=所以SO1=,所以四面体的体积为V=设内切球球心为O,半径为r,连接OA,OB,OC,所以VS-ABC=VO-SAB+VO-SBC+VO-SAC+VO-ABC=所以r=,所以球的体积为V球=【补偿训练】1.求本题所给四面体外接球的表面积.【解析】设外接球半径为R,由上述解题过程可知,R=OS=SO1-OO1=SO1-r=所以外接球的表面积为S球=4R2=4

11、2.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为()【解析】选A.由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,故半径为1,其体积是3.长方体的共顶点的三个侧面面积分别为则它的外接球表面积为_.【解析】设长方体共顶点的三条棱长分别为a,b,c则所以外接球半径为所以外接球表面积为4 =9.答案:9探究点三 常见几何体与球的切、接问题【典例3】(1)(2020九江高一检测)半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”,如图所示,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.将正方体沿交于

12、一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它们的边长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为,则该二十四等边体外接球的表面积为()A.4B.6C.8D.12(2)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是_.【思维导引】(1)几何体的外接球即为底面棱长为,侧棱长为2的正四棱柱的外接球.(2)根据球的直径等于圆柱的高和圆柱的底面直径求解.【解析】(1)选C.由已知根据该几何体的对称性可知,该几何体的外接球即为

13、底面棱长为,侧棱长为2的正四棱柱的外接球,所以(2R)2=()2+()2+22,所以R=,所以该二十四等边体的外接球的表面积S=4R2=4()2=8.(2)设球半径为r,则答案:【类题通法】常见的几何体与球的切、接问题的解决策略(1)解决球与几何体的切、接问题的关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.(2)具体作法内切球问题:找过切点和球心的截面.外接球问题:由球心和几何体顶点抽象得出新几何体或过球心作截面.【定向训练】1.若与球相切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为()A.4(r+R)2B.4r2R2C.4rRD.(R+r)2【解析】选C.

14、方法一:如图,设球的半径为r1,则在RtCDE中,DE=2r1,CE=R-r,DC=R+r.由勾股定理得4 =(R+r)2-(R-r)2,解得r1=.故球的表面积为S球=4 =4Rr.方法二:如方法一中图,设球心为O,球的半径为r1,连接OA,OB,易得AOB=90,则在RtAOB中,OF是斜边AB上的高.由相似三角形的性质得OF2=BFAF=Rr,即=Rr,故r1=,故球的表面积为S球=4Rr.2.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.【解析】方法一:作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为R,正方体的棱长为a,则CC=a,OC=在RtCCO中,由勾股定理得C

15、C2+OC2=OC2,即a2+=R2,所以R=a.从而V半球=又V正方体=a3,因此V半球V正方体=a3a3=2.方法二:将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,则这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即4R2=6a2,所以R=a.从而V半球=又V正方体=,因此V半球V正方体=2.【课堂小结】课堂素养达标1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是()A.B.C.D.【解析】选A.设底面圆半径为r,母线

16、长为h,所以h=2r,则2.圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积为()A.15B.30C.12D.36【解析】选C.圆锥的高h=4,故V=324=12.3.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是()A.4B.3C.2D.【解析】选C.所得旋转体为圆柱,圆柱的底面圆半径为1,高为1,侧面积S=2rh=211=2.4.如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体,且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1,圆锥与圆台的高分别为-1和3,则此组合体的外接球的表面积是()A.16B.20C.24D.28【解析】选B.设外接球半径为R,球心为O,圆台较小底面圆的圆心为O1,则:O +12=R2,而OO1=+2-R,故R2=1+(+2-R)2,所以R=,所以S=4R2=20.5.若一个球的直径是12 cm,则它的体积为_cm3.【解析】由题意,知球的半径R=6 cm,故其体积V=R3=63=288(cm3).答案:288