山东省烟台市芝罘区2016高三数学专题复习解析几何2椭圆常考题目解题方法及练习.doc

1、烟台芝罘区数学椭圆常考题目解题方法及练习2016高三专题复习-解析几何专题（2）第一部分：复习运用的知识（一） 椭圆几何性质椭圆第一定义:平面内与两定点距离和等于常数(大于）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的几何性质:以为例1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标都适合不等式，即说明椭圆位于直线和所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2. 对称性:关于原点、轴、轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：4. 长轴、短轴：叫椭圆的长轴，是长半轴长；叫椭圆的短轴

2、，是短半轴长.5. 离心率 （1） 椭圆焦距与长轴的比，（2） ,，即.这是椭圆的特征三角形，并且的值是椭圆的离心率.（3） 椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当接近于1时，越接近于，从而越小，椭圆越扁；当接近于0时，越接近于0，从而越大，椭圆越接近圆。6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），.7.设为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，当三点不在同一直线上时，构成了一个三角形焦点三角形. 依椭圆的定义知：.（二）运用的知识点及公式1、两条直线垂直：则；两条直线垂直，则直线所在的向量2、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。3、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。4、

3、弦长公式：若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者。第二部分：椭圆常考题型解题方法典例一、椭圆定义相关题目例1、已知方程表示椭圆，求的取值范围解：由得，且满足条件的的取值范围是，且说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆例2、已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围解：方程可化为 因为焦点在轴上，所以因此且从而说明：(1)由椭圆的标准方程知，这是容易忽视的地方(2) 由焦点在轴上，知， (3) 求的取值范围时，应注意题目中的条件例3、 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，

4、点应在何处？并求出此时的椭圆方程分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须用点直线对称就可解决解：如图所示，焦点为，的坐标为（9，6），直线的方程为解方程组得交点的坐标为（5，4）所求椭圆的长轴：，又，因此，所求椭圆的方程为二、椭圆与直线的位置关系及弦长相关题目例4、 已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，即，解得（2） 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为， 由（1）得，根据弦长公式得 ：解得方程为说明：对比

5、直线与椭圆和直线与圆的位置关系问题及有关弦长问题的解题方法？这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式例5、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为，设，则，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，它们分别是，的横坐标再根据焦半径，从而求出三、轨迹方程相关题目例6、 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程分析：关

6、键是根据题意，列出点P满足的关系式解：如图所示，设动圆和定圆内切于点动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：例7、 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为，线段的中点，则（1） 将，代入，得，（2） 故所求直线方程为： 将代入椭圆方程得，符合题意，为所求（2）将代入得所

7、求轨迹方程为：（椭圆内部分）（3）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（4）由得：， ， 将平方并整理得， ， ， 将代入得： ， 再将代入式得： ， 即 例8、 知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹解：说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，具体做法：首先设动点的坐标为，设已知轨迹上的点的坐标为，然后根据题目要求，使，与，建立等式关系，从而由这些等式关系求出和代入已知的轨迹方程，就可以求出关于，的方程，化简后即我们所求的方程这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握例9、 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程 分析：“设而不求”法解：方法一：设所求直线方

8、程为代入椭圆方程，整理 设直线与椭圆的交点为，则、是的两根，为中点，所求直线方程为方法二：（点差法）设直线与椭圆交点，为中点，又，在椭圆上，两式相减得，即直线方程为方法三：（数形结合）设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点、在椭圆上，。 从而，在方程的图形上，而过、的直线只有一条，直线方程为说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法四、探索问题及其他例10、 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称分析：若设椭圆上，两点关于直线对称，则已知条件等价于：(1)直线；(2)弦的中点在上利用上述条件建立的不等

9、式即可求得的取值范围解：(法1)设椭圆上，两点关于直线对称，直线与交于点的斜率，设直线的方程为由方程组消去得。于是，即点的坐标为点在直线上，解得将式代入式得，是椭圆上的两点，解得(法2)同解法1得出，即点坐标为，为椭圆上的两点，点在椭圆的内部，解得(法3)设，是椭圆上关于对称的两点，直线与的交点的坐标为，在椭圆上，两式相减得，即又直线，即。又点在直线上，。由，得点的坐标为以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点，关于直线恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式，建立参数方程(2

10、)利用弦的中点在椭圆内部，满足，将，利用参数表示，建立参数不等式例11 在面积为1的中，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程解：以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设则即得所求椭圆方程为例12、 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹分析：（1）由已知可得，再用椭圆定义求解由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点因，有，故其方程为（2）设，则 由题意有代入，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）第三部分：椭圆常考题型解题

11、方法针对性习题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。2、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论椭圆常考题型解题方法针对性习题答案1、解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，。由消y整理，得 由直线和抛物线交于两点，得 即 由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为：令y=0,得，则为正三角形，到直线AB的距离d为。 解得满足式， 此时。2、解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为（II）设，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根， 则，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为 ，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：又， 椭圆的焦点为 ，即 故当时，MN过椭圆的焦点。