河北省2021届高三数学上学期12月月考试题（含解析）.doc

1、河北省2021届高三数学上学期12月月考试题（含解析）共150分.考试时间120分钟.一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解出集合A，再求【详解】因为，所以故选：D2. 已知复数，则z在复平面内对应的点所在象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘方运算以及复数的几何意义即可求解.【详解】复数在复平面内对应点为，在第一象限.故选：A3. 下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递减的是（ ）A.

2、B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由定义证明奇偶性，由导数以及反比例函数的性质得出单调性.【详解】对于A项，函数的定义域为，故该函数为奇函数.又恒成立，故该函数在定义域内单调递减，故A正确；对于B项，即不是奇函数，故B错误；对于C项，函数在定义域内不单调，故C错误；对于D项，函数的定义域为，即函数为偶函数，故D错误；故选：A.4. 双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，整理即可得渐近线方程.【详解】双曲线的渐近线方程满足，整理可得.故选：A.【点睛】本题考查已知双曲线求解渐近线的方法，属于基础题.5. 已知向量，若，则（ ）A. 8B. 12

3、C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平行得出，求出，即可得出模.【详解】因为，所以，解得，所以，故.故选：C.6. 明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术“过洋牵星术”简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与

4、海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据等差数列知识求出六指板的长度，再求出，然后根据二倍角的正切公式可求出结果.【详解】设等差数列为，则厘米，厘米，所以公差，所以厘米，则，则故选：A7. 已知抛物线M：的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与抛物线M交于A（点A在第二象限），B两点，则（ ）A. B. C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】分别作，利用斜

5、率为把直角三角形三边分别用m表示，再由抛物线定义联立方程组把AF也用m表示，就可以求出.【详解】如图，直线为抛物线M的准线，分别作由直线的斜率为，可设，则由抛物线定义可得：而联立解得，故故选：A【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算8. 已知函数是定义在R上的奇函数，其导函数为，且对任意实数x都有，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，利用单调性可解得结果.【详解】设，则因为，所以，所以,故在R上单调递增因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以不等式可化为

6、，即，又在R上单调递增所以，所以不等式的解集为.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造函数并利用导数判断其单调性是解题关键.二选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知，则的值可以为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】CD【解析】【分析】将原式变形为，再利用基本不等式求解出其最小值，从而判断出的可取值.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故.故选：CD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就

7、是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10. 在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失20112020年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加B. 自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年C. 2018年上半年的票房收入增速最大D. 2020

8、年上半年的票房收入增速最小【答案】D【解析】【分析】根据图表，对A、B、C、D四个选项一一验证即可.【详解】由图易知自2011年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负的有3年，故A，B错误；2017年上半年的票房收入增速最大，故C错误；2020年上半年的票房收入增速最小，故D正确故选：D11. 已知函数，若的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ）A. 图象的对称中心为B. 函数在上有且只有两个零点C. 的单调递增区间为D. 将函数的图象向左平移个单位长度，可得到的图象【答案】CD【解析】【分析】用辅助角公式化简：，再逐项带入验证即可.【详解】因为，所以，所以令，得，则图象的对称

9、中心为，故A错误.由，可得，则或，即或.所以函数在上有三个零点0，故B错误.令，得，所以的单调递增区间为，故C正确.将的图象向左平移个单位长度后，得到曲线，故D正确.故选:CD12. 如图，在正方体中，点E在棱上，且是线段上一动点，则下列结论正确的有（ ）A. B. 存在一点F使得C. 三棱锥的体积与点F的位置无关D. 直线与平面所成角的正弦值的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】连接，推出，判断A；在上取一点，使得，连接，转化证明，判断B；设，通过三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，推出三棱锥的体积与正方体的棱长有关，与点的位置无关，判断C；建立如图所示的空间直角坐标系，用夹角向量坐标公式即可

10、判断D【详解】如图，连接.易证平面，则，故A正确；在上取一点H，使得，连接，易证四边形平行四边形，则，若，易证四边形平行四边形，则，从而，故四边形为平行四边形，于是，故B正确；设，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，则，即三棱锥的体积与正方体的棱长有关，与点F的位置无关，故C正确；以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，从而，设平面的法向量，则令，得，从而，即直线与平面所成角的正弦值为，因为，所以，所以，故D错误故选：ABC【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）、用空

11、间向量坐标公式求解.三填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 已知函数，则_.【答案】1【解析】【分析】根据分段函数每一段的定义域求解.【详解】因为函数，所以.故答案：114. 的展开式中项的系数是_.【答案】【解析】【分析】利用二项式展开式的定义只需有1个因式取，有3个因式取，其余2个因式都取，即可求解.【详解】表示的是6个相乘，要得到，则其中有1个因式取，有3个因式取，其余2个因式都取，所以展开式中项的系数是.故答案为：15. 已知正三棱柱的侧面积为，则该正三棱柱外接球的体积的最小值为_.【答案】【解析】【分析】作出球的过正三棱柱侧棱的球的截面，由

12、棱柱侧面积得出棱柱的底面边长和高的关系，从而表示出球半径，由基本不等式得出半径的最小值，即得体积最小值【详解】如图是过侧棱的球的截面，是正三棱柱下底面和上底面外心，设正三棱柱的底面边长为，高为h，球的半径为R，由题意知，即，底面外接圆的半径，由球的截面圆性质知，当且仅当时取等号，则该正三棱柱外接球的体积的最小值为.故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查正棱柱的外接球的体积最小值问题在球与正棱柱、正棱锥接切问题中，常常过棱柱或棱锥的高及一条侧棱作出球的截面，这里要注意此面截棱柱或棱锥所得多边形与圆的关系，从而得出球半径与棱柱棱锥中的线段长的关系16. 已知函数，若函数有4个零点，则m的取值范围是_

13、【答案】【解析】【分析】先由解得：或，作出的图象，根据有两个交点，建立不等式组，即可解出m的取值范围.【详解】，即，解得或 的图象如图示：要使有4个零点，只需：解得.即m的取值范围是故答案为：【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解四解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 在递增的等比

14、数列中，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列通项公式列方程组求出，写出通项公式；（2）先求出，为等差数列，套公式求出.【详解】解：（1）由题意可得，解得，故（2）由（1）可得，则，故【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换18. 在且，的面积这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答.问题：在中，内角所对的边分别为，且_.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】选择见解析；（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若选，利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理求解；若选，利用三角形面积公式以及余弦定理进行求

15、解；（2）由（1）得，根据三角形面积求得，解出，再利用余弦定理求，从而求得三角形周长.【详解】解：（1）若选，.，若选，故.若选，故.（2）的面积为，即故的周长为.【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.19. 为了解生猪市场与当地居民人均收人水平的关系农业农村部对160城镇当月的猪肉价格(元/千克)与居民人均收入(元/月)进行了随机调研得到如下

16、表格：猪肉价格(元/千克)人均收入(元/月)615022759451601619（1）估计全国各地猪肉价格在(元/千克)内的概率；（2）估计这160个城镇的居民人均收人(元/月)的中位数(计算结果保留整数)；（3）根据所给数据完成下面的列联表并根据列联表判断是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.附：，其中.0.050.0100.005k3.8416.6357.879猪肉价格(元/千克)人均收入(元/月)合计合计【答案】（1）；（2）中位数约为4357；（3）列联表见解析，有的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.【解析】【分析】（1）根据频率的定义即可

17、求出样本的频率，即可估计全国各地猪肉价格在（50，60（元/千克）内的概率；（2）根据中位数的定义即可求出；（3）根据题目所给的数据填写22列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论【详解】（1）因为这160个城镇的猪肉价格在(元/千克)内的频率为，所以据此得全国各地猪肉价格在(元/千克)内的概率约为；（2）因为居民人均收入(元/月)在的频率为，居民人均收入(元/月)在内的频率为，所以居民人均收入(元/月)的中位数在之间，因为.所以中位数约为4357；（3）列联表如下：猪肉价格(元/千克)人均收人(元/月)合计505557035105合计12040160因为，所以有的把握认为当

18、月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.【点睛】方法点睛：在频率分布中中位数的求法是：中位数的两边频率和都为0.5.20. 如图，菱形的对角线与交于点，将沿折到的位置使得（1）证明：（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据是菱形，得到，即，再利用线面垂直的判定定理证明.（2）取的中点，连接，取的中点，连接,结合平面，得到平面，然后以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，由求解.【详解】（1）因为是菱形，所以，则，因为平面，平面，且，所以平面因为

19、平面，所以（2）取的中点，连接，取的中点，连接因为，所以因为，所以，所以由（1）可知平面，所以平面平面，则平面故以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由得，则，设平面的一个法向量为，则，令，得设平面的一个法向量为，则，令，得设平面与平面所成的锐二面角为，则【点睛】方法点睛：向量法求二面角的方法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角21. 已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，经过点的直线与椭圆交于、两点，若原点到直线的距离为，且，求直线的方程

20、.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，求出这三个量的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，由点到直线的距离公式可得出，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，代入韦达定理求出、的值，由此可得出直线的方程.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，解得，因此，椭圆的标准方程为；（2）若直线的斜率不存在，则直线过原点，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，设斜率为，设直线方程为，设、，原点到直线的距离为，即.联立直线与椭圆方程可得，则，则，由韦达定理可得，.，则为线段的中点，所以，得，所以，整理可得，

21、解得，即，因此，直线的方程为或.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.22. 已知函数.（1）若曲线存在一条切线与直线垂直，求a的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）或；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求得导函数，求得的取值范围，由斜率关系得出的范围（2）利用导数求得，设，同样由导数求得，得出，可证得不等式右边大于0，从而证得不等式成立【详解】（1）解：，因为的定义域为，所以.因为曲线存在一条切线与直线垂直，所以，解得或，则a的取值范围为.（2）证明：.当时，；当时，.所以.设函数，则.当时，；当时，.所以.因为，所以.因为，所以.又，所以.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式，本题证明不等式解题方法证明，实际上此不等式证明的常用方法是证明