2021版高考数学一轮复习 单元评估检测（三）（含解析）新人教B版.doc

1、单元评估检测(三)(第七章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a1=12,S5=90,则等差数列an的公差d=()A.2B.C.3D.4【解析】选C.因为a1=12,S5=90,所以512+d=90,解得d=3.2.在等差数列an中,a5+a13=40,则a8+a9+a10=()A.72B.60C.48D.36【解析】选B.根据等差数列的性质可知:a5+a13=402a9=40a9=20,a8+a9+a10=2a9+a9=3a9=60.3.已知等比数列an中,a

2、3a13=20,a6=4,则a10的值是()A.16B.14C.6D.5【解析】选D.由等比数列性质可知a3a13=20,由a6=4,得q4=,所以a10=a6q4=5.4.中国古代数学名著张邱建算经中记载:“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里”.其大意:现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里程数是前一天的一半,连续走了7天,共走了700里,则这匹马第7天所走的路程等于()A.里B.里C.里D.里【解析】选A.设马每天所走的路程是a1,a2,a7,是公比为的等比数列,这些项的和为700,S7=700a1=,a7=a1q6=.5.已知等差数列an的公差不为零,Sn为其前n项和,S3=9,

3、且a2-1,a3-1,a5-1构成等比数列,则S5=()A.15B.-15C.30D.25【解析】选D.设等差数列an的公差为d(d0),由题意解得所以S5=51+=25.6.数列an的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解题指南】先根据关系式an=求出数列an的通项公式,注意验证n=1时是否成立,再看求出的通项公式与an=2n-1谁能推出谁即可.【解析】选D.由题意可得,当n=1时,a1=S1=1+1=2.当n2时, an=Sn-Sn-1=(n2+1)-(n-1)2+1=2n-1,经过验证后当n=1时不符合

4、上式,所以前n项和Sn=n2+1不能推出an=2n-1,反之,an=2n-1也不能推出Sn=n2+1.故数列an的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的既不充分又不必要条件.7.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且=,则=()A.B.C.D.15【解析】选B.因为=.8.已知an是公比不为1的等比数列,数列bn满足:a2,a2n成等比数列,cn=,若数列cn的前n项和Tn对任意的nN*恒成立,则的最大值为世纪金榜导学号()A.B.C.D.【解析】选C.由a2,a2n成等比数列得=a2a2n,又an是公比不为1的等比数列,设公比为q,则=q2n,整理得bn=n+1,cn

5、=,数列cn的前n项和Tn=,数列Tn是递增数列,则当n=1时取到最小值为,可得,即的最大值为.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.在等比数列an中,a2a3a4=8,a7=8,则q=()A.B.2C.-D.-2【解析】选AC.因为数列an是等比数列,所以a2a3a4=8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,所以q=或-.10.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则an等于()A.-(2n+1)B.2n-1C.2n+1D.1-2n【解析】选AC.当n为奇数时,an=n2-(n+

6、1)2=-(2n+1)当n为偶数时,an=-n2+(n+1)2=2n+1.11.设等比数列an的公比为q,其前n项和为Sn.前n项积为Tn,并且满足条件a11,a7a81,0.则下列结论正确的是()A.0q1C.Sn的最大值为S9D.Tn的最大值为T7【解析】选AD.因为a11,a7a81,1,a81,所以0q1,故A正确;a7a9=1,0q1,a87,nN)行,设其第k(kn,kN+)行中不是1的数字之和为ak,由a1,a2,a3,组成的数列an的前n项和是Sn.11121133114641下列结论正确的是()A.a8=254B.an=+2nC.S3=22D.Sn=-2-2n【解析】选AD.

7、由已知得an=+-2=(1+1)n-2=2n-2,所以a8=28-2=256-2=254,A正确;an-an-1=2n-2-2n-1+2=2n-12n,B不正确;因为Sn=2-2+22-2+2n-2=-2n=2n+1-2n-2,所以S3=24-6-2=822,C不正确,D正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2020泰安模拟)已知数列an为等差数列且a7=,则sin(a2+a12)=_.【解析】在等差数列an中,由a7=,得a2+a12=2a7=.所以sin(a2+a12)=sin=.答案:14.在等比数列an中,若a1=,a4=-4,则公

8、比q=_,|a1|+|a2|+|an|=_.【解析】本题主要考查了等比数列的通项及其求和.依题意a1=,a4=-4,则q3=-4,所以q3=-8,所以q=-2.所以an=(-2)n-1,所以|an|=2n-2.所以|a1|+|a2|+|an|=2n-1-.答案:-22n-1-15.设数列an的前n项和为Sn,且nN*,an+1an,SnS6.请写出一个满足条件的数列an的通项公式an=_.世纪金榜导学号【解析】nN*,an+1an,则数列an是递增的,nN*,SnS6,即S6最小,只要前6项均为负数,或前5项为负数,第6项为0,即可,所以,满足条件的数列an的一个通项公式an=n-6(nN*)

9、(答案不唯一).答案:n-6(nN*)(答案不唯一)16.(2020沈阳模拟)各项均为正偶数的数列a1,a2,a3,a4中,前三项依次成公差为d(d0)的等差数列,后三项依次成公比为q的等比数列.若a4-a1=88,则q的所有可能的值构成的集合为_.世纪金榜导学号【解析】因为前三项依次成公差为d(d0)的等差数列,a4-a1=88,所以这四项可以设为a1,a1+d,a1+2d,a1+88,其中a1,d为正偶数,后三项依次成公比为q的等比数列,所以有=,整理得a1=0,得(d-22)(3d-88)0,22d0恒成立,所以f(x)在1,+)上是增函数,故当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即

10、当n=1时,=, 要使对任意的正整数n, 不等式bnk恒成立,则需使k=, 所以实数k的最小值为.21.(12分)(2020太原模拟)已知数列an满足a1=,an+1=.世纪金榜导学号(1)求证:数列是等差数列,并求an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=,求数列bn的前n项和Sn.【解析】(1)因为an+1=,且可知an0,所以-=2,所以数列是等差数列.所以=+2(n-1)=2n,即an=.(2)因为bn=,所以Sn=b1+b2+bn=1+,则Sn=+,两式相减得Sn=1+-=2-,所以Sn=4-.22.(12分)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1-2Sn=1(nN*).

11、世纪金榜导学号(1)求证:数列an为等比数列.(2)若数列bn满足:b1=1,bn+1=+. 求数列bn的通项公式; 是否存在正整数n,使得bi=4-n成立?若存在,求出所有n的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由Sn+1-2Sn=1,得Sn-2Sn-1=1(n2),两式相减,得an+1-2an=0,即=2(n2).因为a1=1,由(a1+a2)-2a1=1,得a2=2,所以=2,所以=2对任意nN*都成立,所以数列an为等比数列,首项为1,公比为2.(2) 由(1)知,an=2n-1,由bn+1=+,得bn+1=+,即2nbn+1=2n-1bn+1,即2nbn+1-2n-1bn=1,因为b1=1,所以数列2n-1bn是首项为1,公差为1的等差数列.所以2n-1bn=1+(n-1)1=n,所以bn=.设Tn=bi,则Tn=1+2+3+n,所以Tn=1+2+3+n,两式相减得Tn=+-n=-n=2-(n+2),所以Tn=4-(2n+4).由bi=4-n,得4-(2n+4)=4-n,即=2n-1.显然当n=2时,上式成立,设f(n)=-2n-1(nN*),即f(2)=0.因为f(n+1)-f(n)=-=-0.所以数列f(n)单调递减,所以f(n)=0有唯一解n=2,所以存在唯一正整数n=2使得bi=4-n成立.