2021版高考数学一轮复习 核心素养测评五十六 椭圆 理 北师大版.doc

1、核心素养测评五十六 椭圆(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019北京高考)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b【解析】选B.离心率平方e2=,即4(a2-b2)=a2,即3a2=4b2.2.已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1【解析】选A.由已知及椭圆的定义知4a=4,即a=,又=,所以c=1,b2=2,所以C的方程为+=1.3.已知椭圆+=1(ab0)的离

2、心率为,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,则椭圆短轴长为()A.8B.6C.5D.4【解析】选A.椭圆+=1(ab0)的离心率e=,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,即2a=12,可得a=6,c=2,所以b=4,则椭圆短轴长为2b=8.4.设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,且|+|=2,则F1PF2=()A.B.C.D.【解析】选D.若O为坐标原点,即O为F1,F2的中点,则+=2,因为|+|=2,所以|PO|=,又|OF1|=|OF2|=,所以P,F1,F2在以点O为圆心的圆上,且F1F2为直径,所以F1PF2=.5.已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F

3、1,F2,过点F2的直线交椭圆于P,Q两点,且|PQ|=234,则椭圆的离心率为 ()A.B.C.D.【解析】选C.设=2,=3,=4,则=2a-2,=2a-4,(2a-2)+(2a-4)=3,得a=,则=.在PF1Q中,由余弦定理有cos QPF1=-.在PF1F2中,由余弦定理有=,则椭圆的离心率为=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020南阳模拟)已知O为坐标原点,F为椭圆C:+=1(ab0)的右焦点,过点F且倾斜角为120的直线与椭圆C交于第一象限一点P,若POF为正三角形,则椭圆C的离心率为_.【解析】因为|OF|=c,POF为正三角形,所以|PO|=c,则点P的坐标为,故

4、有整理得e4-8e2+4=0,解得e2=4-2,所以e=-1.答案:-17.已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为_,最小值为_.【解析】设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0),所以|AF1|=,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6,又-|AF1|PA|-|PF1|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立),所以|PA|+|PF|6+,|PA|+|PF|6-.答案:6+6-8.已知F是椭圆C:+=1的右焦点,P是C上一点,A(-2,1),当APF周长最小时,其面积为_.【解析】椭圆C:+=1的a=2,b=2,

5、c=4,设左焦点为F(-4,0),右焦点为F(4,0).APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+(2a-|PF|)=|AF|+|AP|-|PF|+2a|AF|-|AF|+2a,当且仅当A,P,F三点共线,即P位于x轴上方时,三角形周长最小.此时直线AF的方程为y=(x+4),代入x2+5y2=20中,可求得P(0,2),故SAPF=SPFF-SAFF=28-18=4.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率e=,且椭圆C经过点(2,).(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点P(2,1)作直线l与该椭圆相交于A,B两点,若线段AB恰

6、被点P所平分,求直线l的方程.【解析】(1)由题意得解得a2=8,b2=6,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意点P在椭圆内部,设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减,得+=0,AB的中点为P(2,1),所以x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式得+=0,得kAB=-.所以直线l的方程为y-1=-(x-2),即3x+2y-8=0.10.若A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,且x1+x2=2.(1)若y1+y2=1,求线段AB的垂直平分线的方程.(2)求直线AB在y轴上截距的最小值.【解析】(1)设AB的中点为M,则M1,由得+(y1-y2)(

7、y1+y2)=0,所以 (x1-x2)+(y1-y2)=0=-,即kAB=-,所以线段AB的垂直平分线的斜率为,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=(x-1),即9x-2y-8=0.(2)由题意知AB斜率存在,设直线AB:y=kx+m.由得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,x1+x2=-=2,即9k2+9km+1=0,因为A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:+y2=1上位于x轴上方两点,所以k0,=(18km)2-4(1+9k2)(9m2-9)0,即9k2-m2+10,结合得m=(-k)+ ,当且仅当k=-时,取等号,此时,k=-,m=满足.所以直线AB在y轴上截距的最

8、小值为.(15分钟35分)1.(5分)(2020济南模拟)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1【解析】选D.设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=168=|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.【变式备选】已知椭圆C:+=1,M,N是坐标平面内的两点,且M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|B

9、N|=()A.4B.8C.12D.16【解析】选B.设MN的中点为D,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,如图,连接DF1,DF2,因为F1是MA的中点,D是MN的中点,所以F1D是MAN的中位线,则|DF1|=|AN|,同理|DF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),因为D在椭圆上,所以根据椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=4,所以|AN|+|BN|=8.2.(5分)(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.

10、+=1D.+=1【解析】选B.如图,由已知可设=n,则=2n,=3n,由椭圆的定义有2a=+=4n,所以=2a-=2n.在AF1B中,由余弦定理推论得cosF1AB=.在AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-22n2n=4,解得n=.所以2a=4n=2,所以a=,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求椭圆方程为+=1.【变式备选】已知点A,B分别为椭圆C:+=1的右顶点和上顶点,点P在椭圆C上,则使PAB为等腰三角形的点P的个数是()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.由题意知A(5,0),B(0,3).当PAB以APB为顶角时,显然AB中垂线与椭圆有两个交点,即点P有两个;当PAB

11、以ABP为顶角时,|AB|=,设P(x,y),|PB|=,且+=1,解得y=0或y=-(舍去),此时P有一个;当PAB以PAB为顶角时,|PA|=,且+=1,解得x=0或x=(舍去),此时P有一个.综上,点P有4个.3.(5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(ab0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是_.【解题指南】利用kBFkCF=-1计算得出离心率的值.【解析】将直线y=与椭圆的方程联立得B,C,F(c,0),则kBF=,kCF=,因为BFC=90,所以kBFkCF=-1,整理得b2=3a2-4c2,所以a2-c2=3a2-4c2,即

12、3c2=2a2e=.答案:4.(10分)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程.(2)直线l平行于OM,且与椭圆C交于A,B两个不同的点.若AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.【解析】(1)依题意有解得所以所求椭圆C的方程为+=1.(2)由直线l平行于OM,得直线l的斜率k=kOM=,又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=x+m.由得x2+2mx+2m2-4=0.因为直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点,所以=(2m)2-4(2m2-4)0,解得-2m2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2m,x1x2=2m

13、2-4,又AOB为钝角等价于0且m0,则=x1x2+y1y2=x1x2+=x1x2+(x1+x2)+m20,将x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4代入,化简整理得m22,即-mb0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程.(2)当AMN的面积为时,求k的值.【解析】(1)由已知得b=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.设点M(x1,y1),N(x2,y2),则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=,又因为点A(2,0)到直线y=k

14、(x-1)的距离d=,所以AMN的面积为S=|MN|d=,由=,解得k=1,所以所求k的值为1.【一题多解】(2)(画出草图,观察发现直线y=k(x-1)过定点P(1,0),AMN被x轴分成上下两部分,SAMN=SAMP+SANP=|AP|yM|+|AP|yN| =|AP|yM-yN|.设点M(x1,y1),N(x2,y2),由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,因为直线y=k(x-1)过椭圆内的定点P(1,0),所以0,x1+x2=,x1x2=,所以SAMN=|AP|y1-y2|=|k|x1-x2| =|k|=,由=,解得k=1,所以所求k的值为1.1.设点P为椭圆C:+=1上一

15、点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且PF1F2的重心为点G,若|PF1|PF2|=34,则GPF1的面积为()A.24B.12C.8D.6【解析】选C.因为点P为椭圆C上一点,|PF1|PF2|=34,|PF1|+|PF2|=2a=14,所以|PF1|=6,|PF2|=8,又因为|F1F2|=2c=10,所以PF1F2是直角三角形,=|PF1|PF2|=24,因为PF1F2的重心为点G,所以=3,所以GPF1的面积为8.2.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选C.由题意知,c=1,a2-b2=1,故可设椭圆的方程为+=1,离心率的平方为,因为直线x-y+3=0与椭圆有公共点,将直线方程代入椭圆方程得(2b2+1)x2+6(b2+1)x+8b2+9-b4=0,由=36(b4+2b2+1)-4(2b2+1)(8b2+9-b4)0,所以b4-3b2-40,解得b24,所以b2的最小值为4,所以的最大值为,此时a2=b2+1=5,所以离心率最大的椭圆方程为+=1.