2021版高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习课时分层提升练 五十五　直线与椭圆的综合问题 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练 五十五直线与椭圆的综合问题30分钟60分一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017全国卷)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A. B. C. D.【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d=a,整理得a2=3b2,即a2=3(a2-c2)2a2=3c2,即=,e=.2.(2020遵义模拟)已知直线l:y=2x+3被椭圆C

2、:+=1(ab0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()y=2x-3;y=2x+1;y=-2x-3;y=-2x+3.A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选C.直线y=2x-3与直线l关于原点对称,直线y=-2x-3与直线l关于x轴对称,直线y=-2x+3与直线l关于y轴对称,故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.3.AB为过椭圆+=1中心的弦,F(c,0)为椭圆的左焦点,则AFB的面积最大值是()A.b2B.bcC.abD.ac【解析】选B.SABF=SAOF+SBOF=|OF|yA-yB|,当A,B为短轴两个端点时,|yA-yB|最大,最大值为2b.所以AFB面

3、积的最大值为bc.4.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则等于()A.-3B.- C.-或-3D.【解析】选B.依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan 45(x-1),即y=x-1,代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点坐标分别为(0,-1),所以=-,同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得=-.5.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3 B.6C.9D.12【解析】选B.抛

4、物线y2=8x的焦点F(2,0),故c=2,又离心率e=,所以a=4.故椭圆E的标准方程为+=1.将抛物线的准线x=-2,代入得|y|=3,所以|AB|=6.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020绵阳模拟)已知直线2kx-y+1=0与椭圆+=1恒有公共点,则实数m的取值范围为_.【解析】因为直线2kx-y+1=0恒过定点P(0,1),直线2kx-y+1=0与椭圆+=1恒有公共点,即点P(0,1)在椭圆内或椭圆上,所以+1,即m1,又m9,所以1m9.答案: 1,9)(9,+)7.(2018北京高考)已知椭圆M:+=1(ab0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交

5、点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为_;双曲线N的离心率为_.【解析】椭圆,双曲线都关于x轴、y轴对称,所以只需考虑第一象限内的情况.记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P,椭圆左焦点为Q,右焦点为F,由已知,OPF为正三角形,边长记为2,则高为,所以椭圆半焦距为2,2a=PQ+PF=2+2,a=+1,离心率=-1.双曲线N的一条渐近线斜率为=tan 60=,e2=1+=4,所以离心率为2.答案:-128.(2020南充模拟)已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆相交于A、B两点,则弦AB的长为_.【解析】由题意知,椭圆的右焦点F1的坐标为(

6、1,0),直线AB的方程为y=2(x-1).由方程组消去y,整理得3x2-5x=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=0.则|AB|=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆+=1(ab0)经过点P,离心率e=,直线l与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,向量m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),且mn.(1)求椭圆的方程.(2)当直线l过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距)时,求直线l的斜率k.【解析】(1)由条件知解得所以椭圆的方程为+x2=1.(2)依题意,设l的方程为y=kx+,由消去y得(k2+4)

7、x2+2kx-1=0,显然0,x1+x2=,x1x2=,由已知mn=0得,a2x1x2+b2y1y2=4x1x2+(kx1+)(kx2+)=(4+k2)x1x2+k(x1+x2)+3=(k2+4)+k+3=0,解得k=.10.(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点.线段AB的中点为M.(1)证明:k-.(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且+=0.证明:,成等差数列,并求该数列的公差.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0m,故k-.(2)由题意得F(1,0)

8、,设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0.又点P在C上,所以m=,从而P,|=.于是|=2-.同理|=2-.所以|+|=4-(x1+x2)=3.故2|=|+|,即|,|,|成等差数列.设该数列的公差为d,则2|d|=|-|=|x1-x2|=.将m=代入得k=-1.所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.故x1+x2=2,x1x2=,代入解得|d|=.所以该数列的公差为或-.20分钟40分1.(5分)(2020丽水模拟)已知圆M:(x

9、-1)2+y2=,椭圆C:+y2=1,若直线l与椭圆交于A,B两点,与圆M相切于点P,且P为AB的中点,则这样的直线l有()A.2条B.3条C.4条D.6条【解析】选C.当直线AB斜率不存在时且与圆M相切时,P在x轴上,故满足条件的直线有2条;当直线AB斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),由+=1,+=1,两式相减,整理得:=-,则kAB=-,kMP=,kMPkAB=-1,kMPkAB=-=-1,解得x0=,由,可得P在椭圆内部,则这样的P点有2个,即直线AB斜率存在时,也有2条.综上可得,直线l有4条.故选C.2.(5分)已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F

10、1,F2,在长轴A1A2上任取一点M,过M作垂直于A1A2的直线,与椭圆的一个交点为P,则使得0的点M的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.设P(x,y),=(-c-x,-y),=(c-x,-y),因为=(-c-x,-y)(c-x,-y)=x2+y2-c2=x2+-3=-20,所以-x.所以使得b0),F(,0)为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为_.【解析】由题意得解得所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=14.(5分)已知椭圆+=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB=90,则

11、椭圆的离心率为_.(2)若=2,=,则椭圆的方程为_.【解析】(1)若F1AB=90,则AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,e=.(2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,设B(x,y).由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B.将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c2.又由=(-c,-b)=,得b2-c2=1,即有a2-2c2=1.由解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆的方程为+=1.答案:(1)(2)+=15.(10分)(2020柳州模拟)设椭圆+=1(a)的右焦点为F,右顶点

12、为A,已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程.(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.【解析】(1)设F(c,0),由+=,即+=,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4,所以椭圆的方程为+=1.(2)设B(xB,yB),直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,解得x=2或x=,由题意得xB=,从而yB=,设H(0,yH),由(1)知F(1,

13、0),有=(-1,yH),=,由BFHF,得=0,所以+=0,解得yH=,因此直线MH的方程为y=-x+,设M(xM,yM),由方程组消去y,得xM=,在MAO中,MOA=MAO|MA|=|MO|,即(xM-2)2+=+,化简得xM=1,即=1,解得k=-或,所以直线l的斜率为-或.6.(10分)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOMkON=,求原点O到直线l的距离的取值范围.【解析】(1)由题意知2b=2,所以b=1.因为e=,a2=b2+c2,所以a=2.所以椭圆C的标准方程为

14、+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程,得消去y,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)0,化简得m24k2+1,x1+x2=-,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.若kOMkON=,则=, 即4y1y2=5x1x2,所以4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=5x1x2,所以(4k2-5)+4km+4m2=0,即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,化简得m2+k2=,由得0m2,k2.因为原点O到直线l的距离d=,所以d2=-1+.又k2,所以0d2,所以0d.所以原点O到直线l的距离的取值范围是.关闭Word文档返回原板块