2022届高三艺考数学二轮专题复习-椭圆方程及其几何性质讲义 WORD版含答案.docx

1、专题 椭圆1椭圆及其标准方程知识点一椭圆的定义1定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹2焦点：两个定点F1，F2.3焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4几何表示：|MF1|MF2| 2a (常数)且2a |F1F2|.例题1：(1)平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足|MF1|+|MF2|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”“|+|为常数”，反之不成立，若常数两个定点的距离，其轨迹不是椭圆因此“动点M满足|+|为常数”是“M的轨迹是椭

2、圆”的必要不充分条件故选：B(2)如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是 【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|2a，椭圆上一点P到焦点F1的距离等于66+|PF2|20|PF2|14变式1：（1）已知坐标平面上的两点A（1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（）A椭圆B双曲线C抛物线D线段（2）已知椭圆+1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为 知识点二椭圆的标准方程的推导过程如图，给定椭圆，它的焦点为F1，F2，焦距|F1F2|2c(c0)，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a(ac)

3、（1）建系：以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy那么焦点F1，F2的坐标分别为_，_（2）列式：设M(x，y)是椭圆上任意一点，由椭圆的定义得|MF1|MF2|2a，即 （3）化简：上式整理可得令，可得(ab0)例题2：若动点M（x，y）满足方程(x2)2+y2+(x+2)2+y210，则动点M的轨迹方程为 【解答】解：方程10表示动点M（x，y）到两个定点（2，0）的距离之和为定值102a，且102+2，由题意的定义可得：动点M的轨迹是椭圆，且b2a2c2522221可得椭圆的方程为：变式2：方程x2+(y+3)2+x2+(y3)210

4、，化简的结果是 知识点三椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图形焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2a2c2例题3：(1) “1m5”是“方程+2表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：方程+2表示椭圆，1m5且m3，m|1m5且m3m|1m5，1m5是方程+2表示椭圆的必要不充分条件，故选：B(2) 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a10，c6；（2）经过点（2，3），且与椭圆9x2+4y236有共同的焦点；（3）经过P（2，1），Q（，2）两点【解

5、答】解：（1）当a10，c6 时，b8，若焦点在x轴上，则标准方程为+1；若焦点在y轴上，则标准方程为+1（2）椭圆9x2+4y236，即 +1，c，故它的焦点为（0，）设所求椭圆的方程为 +1，（a），把点（2，3）代入，求得a215，或a23 （舍去），故要求的椭圆的方程为+1（3）椭圆经过P（2，1），Q（，2）两点，设所求椭圆的方程为mx2+ny21，把点P、Q代入，求得m 115，n15，所求椭圆的方程为+1变式3：(1) “0t1”是“曲线1表示椭圆”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件(2) 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a+c10

6、，ac4（2）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点；（3）过点P（3，2），且与椭圆有相同的焦点知识点四椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa，bybbxb，aya顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点(，0)(0，)焦距|F1F2|2对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e(0,1)注意：离心率能够刻画椭圆的扁平程度椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆例题

7、4：设椭圆方程mx24y24m(m0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标【解答】椭圆方程可化为1.(1)当0m4时，a2，b，c，e，m3，b，c1，椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(2,0)，A2(2,0)，B1(0，)，B2(0，)(2)当m4时，a，b2，c，e，解得m，a，c，椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(2,0)，B2(2,0)变式4：已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半

8、轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质重难点难点1：椭圆的定义及其标准方程的应用椭圆的定义给出了一个结论：椭圆上的点P到两焦点F1，F2的距离的和为常数2a，则已知椭圆上一点到一焦点的距离就可以利用|PF1|PF2|2a求出该点到另一焦点的距离例题5：已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上（1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F2的距离为_；（2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为_；（3）若P F1 F1=120，则点P到焦点F1的距离为_【解答】由椭圆的标准方程可知：a2=4，b2=3，故a=2，b=3，c=a2b2=43=1（1）由椭

9、圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|=1，所以|PF2|=4-1=3.（2）ABF2的周长LABF2=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=8（3）在中，由余弦定理可得，即，由椭圆的定义可得，两式联立解得变式5：若F1，F2是椭圆+1的两个焦点，A为椭圆上一点，（1）若点P到焦点F1的距离等于3，则点P到焦点F2的距离为_；（2）连接AF1与椭圆交于另一点B，则的周长为_；（3）若且F1AF2120，则AF1F2的面积为 重点2：求椭圆的离心率例题6：(1)已

10、知椭圆C：的一个焦点为（0，2），则C的离心率为 ABCD【解答】解：设椭圆的长半轴为m，短半轴为n，则由已知椭圆的方程可得：m2b，n24，c2，所以m，所以椭圆的离心率为e，(2)设椭圆+1的左、右焦点为F1，F2，过点F1的直线与椭圆相交于A，B两点，|AB|：|AF2|：|BF2|3：4：5，则椭圆的离心率是 【解答】解：F1，F2是椭圆的左、右焦点，过点F1的直线与椭圆相交于A，B两点，|AB|：|AF2|：|BF2|3：4：5，则ABAF2，不妨设|AB|3k，|AF2|4k，|BF2|5k，由椭圆的定义可得3k+4k+5k4a，解得a3k，所以|AF1|2a|AF2|6k4k2k

11、，解得，所以，故答案为：变式6：(1)椭圆的一个焦点是圆M：（x3）2+y21的圆心，且C的长轴长为10，则该椭圆的离心率等于 (2)设椭圆的右顶点为A，上顶点为B，左焦点为F若ABF90，则椭圆的离心率为 重点3：与椭圆性质有关的最值问题(1)若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则b|OP|a；ac|PF|ac.(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin.(3)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的PF1F2叫做焦点三角形若r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中：当r1r2，即点

12、P为短轴端点时，最大；S|PF1|PF2|sin c|y0|，当|y0|b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；例题7：（2017年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（文12）设A，B是椭圆C：x23+y2m=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足AMB=120，则m的取值范围是（）A（0，19，+） B（0，9，+）C（0，14，+） D（0，4，+）解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0m3时，设椭圆的方程为：（ab0），设A（a，0），B（a，0），M（x，y），y0，则a2x2，MAB，MBA，AMB，tan，tan，则tantan（+）tan（+），tan，当y最大时，即yb时

13、，AMB取最大值，M位于短轴的端点时，AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足AMB120，AMB120，AMO60，tanAMOtan60，解得：0m1；当椭圆的焦点在y轴上时，m3，当M位于短轴的端点时，AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足AMB120，AMB120，AMO60，tanAMOtan60，解得：m9，m的取值范围是（0，19，+）故选A故选：A变式7：已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1PF2，则椭圆的离心率的取值范围为_易错：忽略对椭圆焦点位置的讨论从而导致错误例题8：已知椭圆的标准方程为，并且焦距为8，则实数k的值为_【错

14、解1】因为2c8，所以c4，由椭圆的标准方程知a236，b2k2，a2b2c2，所以36k242，即k220，又k0，故【错解2】因为2c8，所以c4，由椭圆的标准方程知a2k2，b236，a2b2c2，所以k23642，即k252，又k0，故【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时，求椭圆的标准方程需要进行分类讨论，而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论，从而导致错误随堂演练1焦点坐标为（0，4），（0，4），且长半轴长为6的椭圆方程为（）A1B1C1D12过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（）ABCD3过椭圆左焦点F作x轴的垂线，交椭圆于P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且|PQ|

15、FA|，则该椭圆的离心率是（）ABCD4椭圆+y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（）A5B6C7D85设p：a5，+），q：方程x2+ay21表示焦点在x轴上的椭圆，则（）Ap是q的充分条件但不是必要条件Bp是q的必要条件但不是充分条件Cp是q的充要条件Dp既不是q的充分条件也不是q的必要条件课堂反馈一、选择题（共5小题）1焦点为（2，0），（2，0），离心率为的椭圆的标准方程为（）A1B1C1D12“1m5”是“方程+2表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知椭圆x2+2y24上一点P到其左焦点F的距离为1，则PF的中

16、点M到坐标原点O的距离为（）A3BC1D4已知椭圆C：+1（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，PF1垂直于x轴，|PF1|1，F1F2P30，则C的方程为（）A+1B+1C+1D+15阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆C的中心为原点，焦点F1、F2在y轴上，椭圆C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为（）ABCD二多选题（共5小题）6已知椭圆的离心率，则k的值可能是（）A7B7CD7已知a，b，c分别是椭圆E的长半轴长、短半轴长和半焦距长，都关于x的方程ax2+2bx+c0有实根

17、，则椭圆E的离心率e可能是（）ABCD8若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（）Am2BC的长轴长为CC的短轴长为4DC的离心率为9椭圆C的方程为，焦点为F1，F2，则下列说法正确的是（）A椭圆C的焦距为3B椭圆C的长轴长为10C椭圆C的离心率为D椭圆C上存在点P，使得F1PF2为直角5若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2：1，则称该椭圆为“倍径椭圆”，则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（）A+1B+1C+1D+1三填空题（共5小题）21已知焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则m的值为 22已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆交于A，B两点，则

18、F1AB的周长为 23如果方程kx2+y22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 24设椭圆的右顶点为A，上顶点为B，左焦点为F若ABF90，则椭圆的离心率为 25已知椭圆的两个焦点为F1，F2，若椭圆上存在一点P满足F1PF2120，则椭圆离心率的最小值为 答案及解析变式1：（1）已知坐标平面上的两点A（1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（）A椭圆B双曲线C抛物线D线段【解答】解：由题意可得：A（1，0）、B（1，0）两点之间的距离为2，又因为动点P到A、B两点距离之和为常数2，所以|AB|AP|+|AP|，即动点P在线段AB上运动，所以动

19、点P的轨迹是线段故选：D（2）已知椭圆+1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为 【解答】解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，椭圆上的点P到一个焦点的距离为3P到另一个焦点的距离为1037故答案为：7变式2：方程+10，化简的结果是 解：方程10，它的几何意义是动点P（x，y）到定点（0，3）与到定点（0，3）的距离之和为106，从而轨迹为椭圆，焦点在y轴上，且 a5，c3，b4，其标准方程为：变式3：(1) “0t1”是“曲线1表示椭圆”的（）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【解答】解：若曲线1表示椭圆，则，0t1且t，t|0t1且tt|

20、0t1，0t1是曲线1表示椭圆的必要不充分条件，故选：C (2) 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a+c10，ac4（2）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点；（3）过点P（3，2），且与椭圆有相同的焦点【解答】解：（1）a+c10，ac4，a7，c3，b2a2c2723240，所求椭圆标准方程为：或（2）设所求椭圆的方程为mx2+ny21（m0，n0，mn），因为点和在椭圆上，所以，解得，所以所求椭圆的标准方程为；（3）因为所求椭圆与椭圆有相同的焦点，则所求椭圆的焦点在x轴上，且c2945，设所求椭圆的方程为，因为所求椭圆过点（3，2），所以，又a2b25，解得a215，b210，所以所

21、求椭圆的标准方程为变式4：已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质解(1)由椭圆C1：1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(6,0)，离心率e.(2)椭圆C2：1.几何性质如下：范围：8x8，10y10；对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：e，焦距为12.变式5：若F1，F2是椭圆+1的两个焦点，A为椭圆上

22、一点，（1）若点P到焦点F1的距离等于3，则点P到焦点F2的距离为_；（2）连接AF1与椭圆交于另一点B，则的周长为_；（3）若且F1AF2120，则AF1F2的面积为 【解答】由椭圆的标准方程可知：a2=4，b2=3，故a=2，b=3，c=a2b2=43=1（1）由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|=3，所以|PF2|=43-3=33.（2）ABF2的周长LABF2=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=83（3）设|AF1|m，|AF2|n，F1，F2

23、是椭圆+1的两个焦点，A为椭圆上一点，由椭圆的定义可得，m+n2a2，F1AF2120，由余弦定理可得，解得mn36，故答案为：变式6：(1)椭圆的一个焦点是圆M：（x3）2+y21的圆心，且C的长轴长为10，则该椭圆的离心率等于 【解答】解：由圆M的方程可得圆心M（3，0），所以由题意可得c3，由题意2a10，所以a5，所以椭圆的离心率e，故答案为：(2)设椭圆的右顶点为A，上顶点为B，左焦点为F若ABF90，则椭圆的离心率为 【解答】解：由椭圆的方程可得A（a，0），B（0，b），F（c，0），因为ABF90，所以（a，b）（c，b）0，即b2ac，而b2a2c2，所以c2+aca20，则

24、e2+e10，e（0，1），解得e，故答案为：变式7：已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1PF2，则椭圆的离心率的取值范围为_答案解析由PF1PF2，知F1PF2是直角三角形，所以cb，即c2a2c2，所以ac，因为e，0e1，所以e1.随堂演练1焦点坐标为（0，4），（0，4），且长半轴长为6的椭圆方程为（）A1B1C1D1【解答】解：因为焦点坐标为（0，4），（0，4），且长半轴长为6，所以c4，a6，所以b2a2c2624220，所以椭圆的方程为+1，故选：D2过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（）ABCD【解答】解：由题意设椭圆的方

25、程为+1，9，将点（，）代入，+1，整理可得：226+1050，解得5或21（舍），所以椭圆的方程为：+1，故选：C3过椭圆左焦点F作x轴的垂线，交椭圆于P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且|PQ|FA|，则该椭圆的离心率是（）ABCD【解答】解：由题意得：，因为|PQ|FA|，所以，即2b2a2+ac，即2c2+aca20，即2e2+e10，解得，故选：A4椭圆+y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（）A5B6C7D8【解答】解：由椭圆+y21，得a216，即a4由题意不妨设|PF1|2，由椭圆定义可知，|PF1|+|PF2|2a8，即|PF2|8|PF1|8

26、26点P到另一个焦点的距离为6故选：B5设p：a5，+），q：方程x2+ay21表示焦点在x轴上的椭圆，则（）Ap是q的充分条件但不是必要条件Bp是q的必要条件但不是充分条件Cp是q的充要条件Dp既不是q的充分条件也不是q的必要条件【解答】解：方程x2+ay21即+1表示焦点在x轴上的椭圆，1，解得a1，5，+）（1，+），p是q的充分条件但不是必要条件，故选：A课堂反馈一、选择题（共5小题）1焦点为（2，0），（2，0），离心率为的椭圆的标准方程为（）A1B1C1D1【解答】解：焦点为（2，0），（2，0），离心率为，可得c2，a2，所以b2，所以椭圆方程为：1故选：B 2“1m5”是“方程

27、+2表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：方程+2表示椭圆，1m5且m3，m|1m5且m3m|1m5，1m5是方程+2表示椭圆的必要不充分条件，故选：B3已知椭圆x2+2y24上一点P到其左焦点F的距离为1，则PF的中点M到坐标原点O的距离为（）A3BC1D【解答】解：椭圆x2+2y24化为椭圆，a2，b，c，|PF1|+|PF2|2a4，结合|PF1|1，得|PF2|2a|PF1|413，PF的中点M，O是的F1F2中点，OM是PF1F2的中位线，|OM|PF2|3故选：B4已知椭圆C：+1（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上

28、一点，PF1垂直于x轴，|PF1|1，F1F2P30，则C的方程为（）A+1B+1C+1D+1【解答】解：PF1垂直于x轴，|PF1|1，F1F2P30，在RtPF1F2中，tan30，|PF2|2|PF1|2，即c，|PF1|+|PF2|2a，2a1+23，即a，椭圆C的方程为故选：C5阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆C的中心为原点，焦点F1、F2在y轴上，椭圆C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为（）ABCD【解答】解：由题意可得，ab2，a2b2+c2，解得：a24，b23，所以椭圆的方

29、程为：，故选：C二多选题（共5小题）6已知椭圆的离心率，则k的值可能是（）A7B7CD【解答】解：当k+59时，即k4时，由椭圆的标准方程得a，b3，则c，所以椭圆的离心率e，解得k7，当0k+59时，即5k4时，由椭圆的标准方程得a3，b，则c，所以椭圆的离心率e，解得k，故选：BD7已知a，b，c分别是椭圆E的长半轴长、短半轴长和半焦距长，都关于x的方程ax2+2bx+c0有实根，则椭圆E的离心率e可能是（）ABCD【解答】解：由题有4b24ac0，即a2c2ac0，故e2+e10，得e，而0e1，0e故选：AB8若椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论中正确的是（）Am2BC的长轴长

30、为CC的短轴长为4DC的离心率为【解答】解：由已知可得，解得m2或m1（舍去），故选：AB9椭圆C的方程为，焦点为F1，F2，则下列说法正确的是（）A椭圆C的焦距为3B椭圆C的长轴长为10C椭圆C的离心率为D椭圆C上存在点P，使得F1PF2为直角【解答】解：由题意，a225，b216，c2a2b29，椭圆的焦距为2c6，A错误；椭圆的长轴长为2a10，B正确；椭圆的离心率，C正确；当点P为上顶点或者下顶点时，F1PF2最大，此时，又F1PO为锐角，可得，故，因此椭圆C上不存在点P，使得F1PF2为直角，D错误故选：BC5若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2：1，则称该椭圆为

31、“倍径椭圆”，则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（）A+1B+1C+1D+1【解答】解：假设|PF1|2|PF2|，在椭圆中，|PF1|+|PF2|2|PF2|+|PF2|3|PF2|2a，即|PF2|，|PF1|；椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2：1，则称该椭圆为“倍径椭圆”，等价于满足ac，即a3c对于选项A，D，上述条件下的数量关系都不能保证故选：BC三填空题（共5小题）21已知焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则m的值为 【解答】解：由椭圆的方程可知：a2m，b21，所以c2a2b2m1，解得c，由焦距2c，可得2，解得m，故答案为：22已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2

32、，过F2的直线l与椭圆交于A，B两点，则F1AB的周长为 4【解答】解：如图，由椭圆的定义可知三角形F1AB的周长为4a，又a，则F1AB的周长为4故答案为：423如果方程kx2+y22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 k|k1【解答】解：已知方程可化为，它表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得k1故答案为：k|k124设椭圆的右顶点为A，上顶点为B，左焦点为F若ABF90，则椭圆的离心率为 【解答】解：由椭圆的方程可得A（a，0），B（0，b），F（c，0），因为ABF90，所以（a，b）（c，b）0，即b2ac，而b2a2c2，所以c2+aca20，则e2+e10，e（0，1），解得e，故答案为：25已知椭圆的两个焦点为F1，F2，若椭圆上存在一点P满足F1PF2120，则椭圆离心率的最小值为 【解答】解：当P是椭圆的上下顶点时，F1PF2最大，120F1PF2180，60F1PO90，sin60sinF1PF2sin90，|F1P|a，|F1O|c，则椭圆的离心率e的最小值为故答案为：