河北省唐山市2013届高三数学第二次模拟试题 理（含解析）新人教A版.doc

1、2013年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1（5分）（2013唐山二模）复数z满足，则复数z=（）A2iB2+iC2iD2+i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：把给出的等式变形后利用复数的除法运算化简求得，取共轭后可求z解答：解：由，得所以z=2+i故选B点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题2（5分）（2013唐山二模）双曲线的顶点和焦点到其渐近线距离的比是（）ABCD考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、

2、性质与方程分析：根据双曲线的方程，算出右顶点为（，0），右焦点为（3，0），且渐近线方程为2xy=0利用点到直线的距离公式分别算出右顶点和右焦点到渐近线距离，相除即可得到本题的答案解答：解：双曲线的方程为，a2=5，b2=4，可得c=3，由此可得双曲线的一个右顶点为（，0），右焦点为（3，0）双曲线的渐近线方程为y=，即2xy=0右顶点到渐近线的距离为d1=，右焦点到渐近线的距离为d2=2因此，双曲线的顶点和焦点到其渐近线距离的比为=故选：D点评：本题给出双曲线方程，求双曲线的顶点和焦点到其渐近线距离的比着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和点到直线的距离公式等知识，属于中档题3（5分）（

3、2013唐山二模），是两个向量，|=1，|=2，且（+），则与的夹角为（）A30B60C120D150考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：设，的夹角为，0180，则由题意可得（）=0，解得cos=，可得 的值解答：解：设，的夹角为，0180，则由题意可得（）=0，即 +=1+12cos=0，解得cos=，=120，故选C点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于中档题4（5分）（2013唐山二模）在等差数列an中，2a4+a7=3，则数列an的前9项和等于（）A9B6C3D12考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：

4、设等差数列an公差为d，利用通项公式及2a4+a7=3，可得a5=1利用等差数列的性质可得a1+a9=2a5，及即可得出解答：解：设等差数列an公差为d，2a4+a7=3，2（a1+3d）+a1+6d=3，化为a1+4d=1，即a5=1=9a5=9故选A点评：熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式及其性质是解题的关键5（5分）（2013唐山二模）执行如图所示的程序框图，则输出的c的值是（）A8B13C21D34考点：程序框图专题：图表型分析：框图首先给变量a，b，k赋值，a=1，b=1，k=0，然后执行一次运算k=k+1，判断k6是否成立，成立则执行用a+b替换c，用b替换a，用c替换b，用

5、k+1替换k，不成立输出c的值，然后再判断k6是否成立，依次判断执行解答：解：框图首先给变量a，b，k赋值，a=1，b=1，k=0，执行k=0+1=1；判断16成立，执行c=1+1=2，a=1，b=2，k=1+1=2；判断26成立，执行c=1+2=3，a=2，b=3，k=2+1=3；判断36成立，执行c=2+3=5，a=3，b=5，k=3+1=4；判断46成立，执行c=3+5=8，a=5，b=8，k=4+1=5；判断56成立，执行c=5+8=13，a=8，b=13，k=5+1=6；判断66不成立，跳出循环，输出c=13故选B点评：本题考查了程序框图中的循环结构，是当型循环，当型循环是满足条件执

6、行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题6（5分）（2013唐山二模）展开式中的常数项是（）A20B18C20D0考点：二项式系数的性质专题：计算题分析：原式可化简为：=，求得（x1）6中的含x3项的系数即可解答：解：=，设（x1）6的展开式的通项为：Tr+1，则Tr+1=x6r（1）r，令6r=3，则（x1）6的展开式中含x3项的系数为：（1）3=20展开式中的常数项为：（）=20故选C点评：本题考查二项式系数的性质，考查转化思想与运算能力，属于中档题7（5分）（2013唐山二模）已知函数y=kx+a的图象如图所示，则函数y=ax+k的可能图象是（）ABCD考点：函数的图象专题：函数的

7、性质及应用分析：由函数y=kx+a的图象可得1k0，且 0a1，函数y=ax+k的可能图象可以看成吧y=ax向右平移k个单位得到的，故函数y=ax+k是减函数，且此函数与y轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项可得结论解答：解：由函数y=kx+a的图象可得直线的斜率1k0，且 0a1，函数y=ax+k的可能图象可以看成吧y=ax向右平移k个单位得到的，故函数y=ax+k是减函数，且此函数与y轴交点的纵坐标大于1，结合所给的选项，应该选B，故选B点评：本题主要考查函数的图象的变换规律，函数的单调性和特殊点，属于基础题8（5分）（2013唐山二模）若命题“x0R，使得”为假命题，则实数m的取值范围是

8、（）A2，6B6，2C（2，6）D（6，2）考点：特称命题；命题的真假判断与应用专题：函数的性质及应用分析：先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围解答：解：命题“x0R，使得”的否定为：“x0R，都有”，由于命题“x0R，使得”为假命题，则其否定为：“x0R，都有”，为真命题，=m24（2m3）0，解得2m6则实数m的取值范围是2，6故选A点评：本题考查二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象与性质处理9（5分）（2013唐山二模）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x2+y

9、2的取值范围是（）ABC（1，16）D考点：简单线性规划专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2表示动点到原点的距离的平方，只需求出可行域内的动点到原点的距离最值即可解答：解：注意到目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方，作出可行域易知当点为A（4，0）点时，z取得目标函数的最大值，代入目标函数中，可得zmax=42+02=16当原点到直线x+2y2=0距离时，z取得目标函数的最小值，代入目标函数中，可得zmin=（ ）2=则目标函数z=x2+y2的取值范围是故选B点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，

10、属于基础题10（5分）（2013唐山二模）已知函数f（x）=sin（2x+）在时有极大值，且f（x）为奇函数，则，的一组可能值依次为（）ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：通过函数的极大值判断选项中的值，通过f（x）为奇函数，判断值即可解答：解：因为函数f（x）=sin（2x+）在时有极大值，所以函数f（x）=sin（+）=1，+=2k+，kZ，所以，当k=1时，因为函数f（x）=sin（2x+），f（x）为奇函数，即函数f（x）=sin（2x2+）是奇函数，所以2+=k，kZ，当k=0时，的一组可能

11、值依次：故选D点评：本题考查函数的极值以及函数的奇偶性的应用，注意通过与选项结合解答是解答选择题的好法11（5分）（2013唐山二模）函数所有零点的和等于（）A6B7.5C9D12考点：复合三角函数的单调性；根的存在性及根的个数判断专题：三角函数的图像与性质分析：函数的零点即方程的解，即函数h（x）=2sinx 与函数g（x）=的图象交点的横坐标，注意函数f（x）所有零点关于直线x=对称，数形结合求得函数f（x）所有零点的和解答：解：函数的零点即方程的解，即函数h（x）=2sinx 与函数g（x）=的图象交点的横坐标h（0）=g（0），故两函数的图象都是从原点出发，（0，0）是一个交点，由于函

12、数g（x）的定义域为0，3，h（3）=g（3）=0，且两个函数的图象都关于直线x=对称函数g（x）对应的曲线方程为 +y2=（ y0），表示一个半圆（用虚线画），如图中所示：可见，这两个函数的图象在区间0，3上有4个交点，且这些交点关于直线x=对称，而两个关于直线x=对称的点的横坐标之和等于3，故函数f（x）所有零点的和是6，故选A点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，体现了等价转化和数形结合的数学思想，属于中档题12（5分）（2013唐山二模）一个由八个面围成的几何体的三视图如图所示，它的表面积为（）A12B8CD考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图

13、可得该几何体由两个以俯视图为底面，以1为高的正四棱锥组成，其表面积是8个全等的三角形面积和，求出每个三角形的面积后，可得答案解答：解：由已知中的三视图可得该几何体由两个以俯视图为底面，以1为高的正四棱锥组成由正视图及侧视图中标识的数据可得，棱锥的侧高h=故该几何体的表面积S=8=4故选C点评：本题考查的知识点是由三视图求面积，其中根据已知分析出几何体的形状，并由图中标识数据，求出棱锥的侧高是解答的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13（5分）（2013唐山二模）如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之

14、和是54考点：茎叶图；众数、中位数、平均数专题：概率与统计分析：由茎叶图得到甲乙运动员的得分数据，由小到大排列后得到两组数据的中位数，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和可求解答：解：由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：17，22，28，34，35，36由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：12，16，21，23，29，31，32由此可得甲运动员得分数据的中位数是乙运动员得分数据的中位数是23所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54故答案为54点评：本题考查了茎叶图，考查了一组数据的中位数的求法，是基础的概念题14（5分）（2013唐山二模）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，若PF1F2

15、为直角三角形，则PF1F2的面积等于6考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：若PF1x轴，或PF2x轴时，把x=2代入椭圆方程得，解得y即可得到三角形的高，即可得到PF1F2的面积若P为椭圆短轴的一个顶点，在RtPOF1中，可得，故不可能有PF1PF2解答：解：由椭圆可得：a2=16，b2=12，c2=a2b2=4若PF1x轴，或PF2x轴时，把x=2代入椭圆方程得，解得y=3，h=3，PF1F2的面积=6若P为椭圆短轴的一个顶点，在RtPOF1中，tanOPF1=，当P为位置时，故不可能有PF1PF2故答案为6点评：熟练掌握分类讨论思想方法、三角形面积的计算公式、点与椭圆

16、的关系是解题的关键15（5分）（2013唐山二模）四棱锥PABCD的底面是边长为的正方形，侧棱长都等于，则经过该棱锥五个顶点的球面面积为100考点：球内接多面体专题：计算题；空间位置关系与距离分析：设AC、BD的交点为F，连接PF，则PF是四棱锥PABCD的高且四棱锥PABCD的外接球球心O在PF上由正四棱锥的性质，结合题中数据算出AF=4且PF=8，RtAOF中根据勾股定理，得R2=42+（8R）2，解之得R=5，利用球的表面积公式即可算出经过该棱锥五个顶点的球面面积解答：解：设AC、BD的交点为F，连接PF，则PF是四棱锥PABCD的高，根据球的对称性可得四棱锥PABCD的外接球球心O在直

17、线PF上，正方形ABCD边长为，AF=AB=4RtPAF中，PF=8连接OA，设OA=0P=R，则RtAOF中AO2=AF2+OF2，即R2=42+（8R）2解之得R=5四棱锥PABCD的外接球表面积为S=4R2=452=100故答案为：100点评：本题给出正四棱锥，求它的外接球的表面积，着重考查了正四棱锥的性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于基础题16（5分）（2013唐山二模）在数列an中，a1=1，a2=2，an+2等于an+an+1除以3的余数，则an的前89项的和等于100考点：数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：利用已知a1=1，a2=2，an+2等于an+an+1除以3

18、的余数，即可得出a3=0，a4=2，a5=2，a6=1，a7=0，a8=1，其周期为8，故S89=S811+a89=S811+a1解答：解：a1=1，a2=2，an+2等于an+an+1除以3的余数，a1+a2=1+2=3=31，a3=0a2+a3=2+0=2=30+2，a4=2；a3+a4=0+2=2=30+2，a5=2；a4+a5=2+2=4=31+1，a6=1；a5+a6=2+1=3=31+0，a7=0；a6+a7=1=30+1，a8=1；a7+a8=0+1=1=30+1，a9=1；a8+a9=1+1=2=30+2，a10=2；，可以看出：从a9开始周期性的出现1，2，0，2，2，1，0

19、，1，故S89=S811+a89=（1+2+0+2+2+1+0+1）11+a1=100故答案为100点评：利用已知正确找出其周期是解题的关键三、解答题：本大题共70分，其中（17）（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）（2013唐山二模）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ac=b2a2，求B考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数专题：三角函数的图像与性质；解三角形分析：由余弦定理得a2b2=c22bccosA，将已知条件代入，化简可得bc=a再由正弦定理，可得sinBsinC=sin再结合sinC=sin（

20、B）=cosB+sinB，求得sin（B）=，结合B的范围求得B的值解答：解：由余弦定理得，a2b2=c22bccosA，将已知条件ac=b2a2 代入上式，化简可得ac=bcc2，则bc=a再由正弦定理，可得sinBsinC=sin（4分）又sinC=sin（B）=cosB+sinB，所以sinBcosB=，即sin（B）=（10分）因为B，所以B=，即B=（12分）点评：本题主要考查余弦定理、诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题18（12分）（2013唐山二模）某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语

21、文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人（）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？（）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年纪学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中语文、外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X，求X的分布列和期望E（X）p（K2k0）0.0100.0050.001k06.6357.87910.828附：考点：离散型随机变量及其分布列；独立性检验；离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：（）由题意得列联表

22、，可计算K216.66710.828，可得结论；（）可得语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是，XB（3，），P（X=k）=（）k（）8k，k=0，1，2，3，计算可得各个概率，可得分布列，进而可得期望解答：解：（）由题意得列联表：语文优秀语文不优秀总计外语优秀60100160外语不优秀140500640总计200600800因为K2=16.66710.828，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系（5分）（）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是则XB（3，），P（X=k）=（）k（）8k，k=0，1，2，3X的分布列为X0123

23、p所以E（X）=3=（12分）点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及独立性检验，属中档题19（12分）（2013唐山二模）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC，ABC=120，Q是AC上的点，AB1平面BC1Q（）确定点Q在AC上的位置；（）若QC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为，求二面角QBC1C的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系专题：空间角分析：（I）连接B1C交BC1于点P，连接PQ利用线面平行的性质定理及直线AB1平面BC1Q，可得AB1PQ再利用线线平行的性质定理及P为B1C的中点即可得到Q为AC的中点（II）如图建立空间直角坐

24、标系，设AB=BC=a，BB1=b，利用斜线的方向向量与法向量的夹角及两个平面的法向量的夹角即可得出解答：解：（）连接B1C交BC1于点P，连接PQ因为直线AB1平面BC1Q，AB1平面AB1C，平面BC1Q平面AB1C=PQ，所以AB1PQ因为P为B1C的中点，且AB1PQ，所以，Q为AC的中点（II）如图建立空间直角坐标系，设AB=BC=a，BB1=b，则平面BC1C的法向量B（0，0，0），C1（0，a，b），=QC1与平面BC1C所成角的正弦值为，=，化为3a2=4b2，取设平面C1BQ的法向量为，则，即，及令x=1，解得，z=2，=故二面角QBC1C的余弦值为点评：本题综合考查了线面

25、平行的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量求二面角的余弦值及线面角等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力20（12分）（2013唐山二模）已知函数R（）若f（x）在（0，+）单调递减，求a的最小值；（）若f（x）有两个极值点，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件专题：导数的综合应用分析：（）求导函数，利用f（x）在（0，+）单调递减，可得不等式，分离参数，求最值，即可求a的最小值；（）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，利用f（x）有两个极值点，即可求a的取值范围解答：解：（）求导函数可得f（x）=lnx+1axf（x）在（0

26、，+）单调递减当且仅当f（x）0，即x（0，+），a设g（x）=，则g（x）=当x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递增；当x（1，+）时，g（x）0，g（x）单调递减所以g（x）g（1）=1，故a的最小值为1（5分）（）由（）知，当a1时，f（x）没有极值点当a0时，f（x）单调递增，f（x）至多有一个零点，f（x）不可能有两个极值点（7分）当0a1时，设h（x）=lnx+1ax，则h（x）=a当x（0，）时，h（x）0，h（x）单调递增；当x（，+）时，h（x）0，h（x）单调递减（9分）因为f（）=h（）=ln0，f（）=h（）=0，所以f（x）在区间（，）有一极小值点x1（10分）

27、由（）中的式，有1，即lnxx1，则ln1，故f（）=h（）=ln2+2ln+1ln2+2（1）+1=ln210所以f（x）在区间（，）有一极大值点x2综上所述，a的取值范围是（0，1）（12分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，有一定的难度21（12分）（2013唐山二模）已知动圆C经过点（0，m）（m0），且与直线y=m相切，圆C被x轴截得弦长的最小值为1记该圆圆心的轨迹为E（）求曲线E的方程；（）是否存在曲线C与曲线E的一个公共点，使它们在该点处有相同的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由考点：圆锥曲线的综合；圆锥曲线的共同特征分析：

28、（）先设出曲线E的方程，再确定圆的方程，利用圆C被x轴截得弦长的最小值为1，即可求曲线E的方程；（）假设存在题设的公共点B，代入圆的方程并整理，求导确定切线斜率，利用圆切线的性质可得方程，联立方程，即可求出切线方程解答：解：（）依题意，曲线E是以（0，m）为焦点，以y=m为准线的抛物线，所以曲线E的方程为x2=4my（2分）设动圆圆心为A（a，），则圆C方程为（xa）2+（y）2=（+m）2，令y=0，得（xa）2=+m2当a=0时，圆C被x轴截得弦长取得最小值2m，于是m=，故曲线E的方程为x2=2y（5分）（）假设存在题设的公共点B（b，b2）圆C方程为（xa）2+（ya2）2=（a2+）

29、2，将点B坐标代入上式，并整理，得（ba）21+（a+b）2=（a2+1）2（7分）对y=x2求导，得y=x，则曲线E在点B处的切线斜率为b又直线AB的斜率k=（a+b）由圆切线的性质，有（a+b）b=1（8分）由和得b2（b28）=0显然b0，则b=2（9分）所以存在题设的公共点B，其坐标为（2，4），公切线方程为y=2（x2）+4或y=2（x+2）+4，即y=2x4（12分）点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题22（10分）（2013唐山二模）选修41：几何证明选讲如图所示，AC为O的直径，D为的中点，E为BC的中点（）

30、求证：DEAB；（）求证：ACBC=2ADCD考点：与圆有关的比例线段专题：证明题分析：（I）欲证DEAB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DEBC，因为AC为圆的直径，所以ABC=90，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证ACBC=2ADCD，转化为ADCD=ACCE，再转化成比例式=最后只须证明DACECD即可解答：证明：（）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC因为E为BC的中点，所以DEBC因为AC为圆的直径，所以ABC=90，所以ABDE（5分）（）因为D为的中点，所以BAD=DAC，又BAD=DCB，则DAC=DCB又因为ADDC，DECE

31、，所以DACECD所以=，ADCD=ACCE，2ADCD=AC2CE，因此2ADCD=ACBC（10分）点评：本题考查了直径所对的圆周角为直角及与圆有关的比例线段的知识解题时，乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出23（2013唐山二模）选修44：坐标系与参数方程已知直线（t为参数）经过椭圆（为参数）的左焦点F（）求m的值；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA|FB|的最大值和最小值考点：椭圆的参数方程；直线的参数方程专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）首先可以分析到题目中的直线方程是参数方程的形式，需要化简为一般方程，第I问即可求得（）直线与曲线交与交于A

32、，B两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系即可得到求解解答：解：（）将椭圆C的参数方程化为普通方程，得+=1a=2，b=，c=1，则点F坐标为（1，0）l是经过点（m，0）的直线，故m=1（4分）（）将l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理，得（3cos2+4sin2）t26tcos9=0设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|FA|FB|=|t1t2|=当sin=0时，|FA|FB|取最大值3；当sin=1时，|FA|FB|取最小值（10分）点评：此题主要考查直线参数方程化一般方程，及直线与曲线相交的问题，在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可，属于综

33、合性试题有一定的难度24（2013唐山二模）选修45：不等式选讲已知f（x）=|ax4|ax+8|，aR（）当a=2时，解不等式f（x）2；（）若f（x）k恒成立，求k的取值范围考点：带绝对值的函数专题：计算题；函数的性质及应用分析：（I）当a=2时，f（x）=2（|x2|x+4|），再对x的值进行分类讨论转化成一次不等式，由此求得不等式的解集（II）f（x）k恒成立，等价于kf（x） max，由此求得实数k的取值范围解答：解：（）当a=2时，f（x）=2（|x2|x+4|）=当x4时，不等式不成立；当4x2时，由4x42，得x2；当x2时，不等式必成立综上，不等式f（x）2的解集为x|x（6分）（）因为f（x）=|ax4|ax+8|（ax4）（ax+8）|=12，当且仅当ax8时取等号所以f（x）的最大值为12故k的取值范围是12，+）（10分）点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题