上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高一数学上学期10月考试试题（Word版附解析）.docx

1、高一数学月考试卷（说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据）一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）1. 已知集合，且，则的值为_.2. 已知全集，集合，则_3. 关于不等式恒成立，则实数的取值范围是_.4. 已知关于的不等式的解集为若且，则实数的取值范围是_5. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则_6. 不等式的解集是_.7. 已知，若关于不等式无解，则实数的取值范围是_8. 已知集合，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是_9.

2、著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_10. 已知，是一元二次方程的两个实数根，若，满足，则_.11. 已知，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则所有符合条件的的值之和是_12. 已知集合，对任意、，规定运算“”满足如下性质：（1）；（2）；（3）；给出下列命题：；若，则；若，且，则；若、，且，则其中所有正确命题的序号是_二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项）13. 已知，则下列四个命题正确的个数是（ ）若，则；若，则；若，则；若，则，.A. 1B. 2C. 3D. 414.

3、某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多方案是（其中）（ ）A. 先提价，再提价B. 先提价，再提价C. 分两次，都提价D. 分两次，都提价15. 若实数a，b满足a0，b0，且ab=0，则称a与b互补，记（a，b）=ab那么（a，b）=0是a与b互补的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件16. 已知a，b，若关于x不等式的解集为，则（ ）A. 不存在有序数组，使得B. 存唯一有序数组，使得C. 有且只有两组有序数组，使得D. 存在无穷多组有序数组，使得三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出

4、必要步骤17. 已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围18. 求下列关于的不等式的解集（1）；（2）19. 已知，设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围20. 已知（1）已知关于的不等式的解集是，求实数的取值范围；（2）已知的解集为，且，求实数的取值范围21. 某天，你突然发现黑板上有如下内容：例：求，的最小值解：由平均值不等式：当、时，恒成立、当且仅当时取等号，得到，于是，且等号当且仅当时成立；所以当且仅当时取到最小值（1）请你模仿上面例题，研究，的最小值；（2）研究，最小值；（3）求当时

5、，最小值高一数学月考试卷（说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据）一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）1. 已知集合，且，则的值为_.【答案】【解析】【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可.【详解】解：因为，所以，解得，故答案为：0【点睛】本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题.2. 已知全集，集合，则_【答案】【解析】【分析】根据集合的交集、补集运算求解.【详解】由题意可得：，所以.故答案为：.3. 关于不等式恒成立，

6、则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由一元二次不等式在实数集上恒成立，结合对应函数的性质知，即可求的范围.【详解】由题设，要使恒成立，函数开口向上，只需即可，解得.故答案为：4. 已知关于的不等式的解集为若且，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为关于的不等式的解集为，且，所以，解得.故答案为：.5. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则_【答案】【解析】【分析】由题意可知：关于x的一元二次方程的根为，且，利用韦达定理运算求解.【详解】由题意可知：关于x一元二次方程的根为，且，可得，解得，所以.故答案为：.

7、6. 不等式的解集是_.【答案】【解析】【分析】先求出的范围，再解分式不等式即可.【详解】由可得且，即，即，解得，综上所述不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，解不等式时注意式子要有意义，此题属于基础题.7. 已知，若关于的不等式无解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】分析可知，对任意的，可得出，即可得解.【详解】由题意可知，关于的不等式无解，即对任意的，所以，故实数的取值范围是.故答案为：.8. 已知集合，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先求集合，由题意可知集合B是集合A的真子集，根据包含关系运算求解.【详解】由

8、题意可得，若“”是“”的必要非充分条件，则集合B是集合A的真子集，则，且等号不能同时成立，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.9. 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10. 已知，是一元二次方程的两个实数根，若，满足，则_.【答案】【解析】【分

9、析】由韦达定理可知，同号，分，都为负数和都为正数两种类型讨论，利用韦达定理和已知条件，解方程并检验即可.【详解】一元二次方程有两个实数根，即.由一元二次方程根与系数关系，可得，则，同号.当，都为负数时，可得解得，即，此时，方程无解；当，都为正数时，可得解得，即，解得或.因为，都为正数，则，即，所以.综上可得.故答案为：11. 已知，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则所有符合条件的的值之和是_【答案】【解析】【分析】设关于的不等式的解集为，分析可知集合中的个整数依次为、，由此可得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围，即可得解.【详解】设关于的不等式的解集为，因为二次函数的对称轴为直线，

10、所以，集合中的个整数依次为、，所以，解得，又因为，所以，整数的取值集合为，因此，所有符合条件的的值之和是.故答案为：.12. 已知集合，对任意、，规定运算“”满足如下性质：（1）；（2）；（3）；给出下列命题：；若，则；若，且，则；若、，且，则其中所有正确命题的序号是_【答案】【解析】【分析】根据新定义计算“”逐项分析可得结果.【详解】对于命题，对任意的，命题为真命题；对于命题，若，则，命题假命题；对于命题，当时，若，则，则显然成立；当时，若，且，在（3）中，令，则，另一方面，则，即，这与矛盾；综上，故命题为真命题；对于命题，若、，由可得，又因为，则，因为，则，所以，即，所以，所以，故命题为真

11、命题.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查新定义运算，解本题的关键在于根据题中三个性质进行推导，解题时应紧扣题中定义进行推导.二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项）13. 已知，则下列四个命题正确的个数是（ ）若，则；若，则；若，则；若，则，.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论.【详解】当时，两边同时除以，得到，正确；，那么，即，正确； ， ，正确；令 同样能满足 ，不正确.共有3个正确.故选C.【点睛】本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不

12、等式的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小.14. 某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（ ）A. 先提价，再提价B. 先提价，再提价C. 分两次，都提价D. 分两次，都提价【答案】C【解析】【分析】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项.【详解】设原来的水价为，AB选项中，两次提价后的水价为，C选项中，两次提价后的水价为，D选项中，两次提价后的水价为，因为，则，则，所以，则，即，由基本不等式可得，所以，.故选：C15. 若实数a，b满足a0，b0，且ab=0，则称a与b互补，记（a，b）=ab那么（a，b）=

13、0是a与b互补的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】试题分析：由（a，b）0得ab且；所以（a，b）0是a与b互补的充分条件；再由a与b互补得到：，且0；从而有，所以（a，b）0是a与b互补的必要条件；故得（a，b）0是a与b互补的充要条件；故选考点：充要条件的判定16. 已知a，b，若关于x不等式的解集为，则（ ）A. 不存在有序数组，使得B. 存在唯一有序数组，使得C. 有且只有两组有序数组，使得D. 存在无穷多组有序数组，使得【答案】D【解析】【分析】根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不

14、等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论【详解】由题意不等式的解集为，即的解集是，则不等式的解是或，不等式的解集是，设，所以，和是方程的两根，则，又，所以是的一根，所以存在无数对，使得故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤17. 已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围【答案】或【解析】【分析】分别

15、求出当命题、为真命题时，实数取值范围，然后分真假、假真两种情况讨论，求出对应的实数的取值范围，综合可得出实数的取值范围.【详解】解：若命题为真命题，则，解得或，若命题为真命题，则，即，若真假，则，可得或，若假真，则，此时，.综上所述，或.18. 求下列关于的不等式的解集（1）；（2）【答案】（1）或 （2）答案见解析【解析】【分析】（1）将所求不等式变形为，即为，结合二次不等式的解法可得出所求不等式的解集；（2）将所求不等式变形为，对和的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法解原不等式即可得其解集.【小问1详解】解：因为，由可得，即，解得或，故原不等式的解集为或.【小问2详解】解：由可得，因为

16、，当时，即当时，原不等式即为，此时，原不等式的解集为；当时，即当时，解不等式可得，此时，原不等式的解集为；当时，即当时，解原不等式可得，此时，原不等式的解集为.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.19. 已知，设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）或 （2）或【解析】【分析】（1）当时，可得出，分、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.【小问1详解】解：当时，.当时，解得，此时，当时，此时，不等式无解，当时，解得，此时，.

17、综上所述，当时，不等式的解集为或.【小问2详解】解：因为，当且仅当时，等号成立，由绝对值三角不等式可得，当且仅当时，等号成立，因为恒成立，则，可得或，解得或.所以，实数的取值范围是或.20. 已知（1）已知关于的不等式的解集是，求实数的取值范围；（2）已知的解集为，且，求实数的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将所求不等式变形为，根据二次不等式的解法可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围；（2）分析可知，对任意的，恒成立，由参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】由，即，整理可得，因为不等式的解集为，则，解得，因此，实数的

18、取值范围是.【小问2详解】由可得，因为不等式的解集为，且，则，所以，对任意的，恒成立，则，可得，令，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，.当时，函数的最大值为，所以，.21. 某天，你突然发现黑板上有如下内容：例：求，的最小值解：由平均值不等式：当、时，恒成立、当且仅当时取等号，得到，于是，且等号当且仅当时成立；所以当且仅当时取到最小值（1）请你模仿上面例题，研究，的最小值；（2）研究，的最小值；（3）求当时，的最小值【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）由四元基本不等式可得，进而可求得，的最小值；（2）由三元基本不等式可得出，进而可求得，的最小值；（3）令，令，可得，再利用三元基本不等式可求得当时，的最小值【小问1详解】由平均值不等式：当、时，恒成立、当且仅当时取等号，得到，于是，当时，当且仅当时，等号成立，故，的最小值为.【小问2详解】由平均值不等式：当、时，恒成立、当且仅当时取等号，得到，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，当时，所以，的最小值为.【小问3详解】当且时，令，令，可得，所以，当且时，所以，当时，的最小值为.