专题10 二次函数与四边形的综合-2019年中考数学函数考点全突破学霸冲冲冲shop348121278.taobao.com.doc

1、一、考点分析：二次函数的综合题中在第二三小问比较常考到四边形的问题，这类题目主要考察两种题型：1.四边形的面积最值问题 2.特殊平行四边形的存在性问题，这类包括平行四边形，矩形菱形等。二、解决此类题目的基本步骤与思路1.四边形面积最值问题的处理方法：核心步骤：对于普通四边形要转化成两个三角形进行研究，然后用求三角形面积最值问题的方法来求解2对于特殊平行四边形问题要先分类，（按照边和对角线进行分类）3.画图，（画出大致的平行四边形的样子，抓住目标点坐标）4. 计算（利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质）三、针对于计算的方法选择1.全等三角形抓住对应边对应角的相等2.在利用点坐标进行长度的表示

2、时要利用两点间距离公式 3.平行四边形的对应边相等列相关的等式4.利用平行四边形的对角线的交点从而找出四个点坐标之间的关系XA+XC=XB+XD YA+YC=YB+YD （利用P是中点，以及中点坐标公式）A(x1,y1)、B（x2,y2），那么AB中点坐标就是（,）处理矩形菱形的方法与平行四边形方法类似注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。四、二次函数问题中四边形面积最值问题1.如图，已知

3、抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点是直线下方抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的解析式; (2)过点且与轴平行的直线与直线、分别交于点、，当四边形 的面积最大时，求点的坐标; 【解析】：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）设点P（m， m2+2m+1），表示出PE=m23m，再用S四边形AECP=SAEC+SAPC=ACPE，建立函数关系式，求出最大值即可设点P（m，m2+2m+1）E（m，-m+1）6m0当m=时，四边形AECP的面积的最大值是此时点P（，） 2.抛物线yx26x交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C(2，0)作射线CD交MB于点D(D

4、在x轴上方)，OECD交MB于点E，EFx轴交CD的延长线于点F，作直线MF.(1)求点A，M的坐标；(2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？(3)当BD1时，求直线MF的表达式，并判断点A是否落在该直线上；延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1S2S3_348_.解：(1)令y0，则x26x0，解得x10，x26，A(6，0)，对称轴是直线x3，M(3，9)；(3)当BD1时，BE3，F(5，3)设MF的表达式为ykxb，将M(3，9)，F(5，3)代入，得解得y3x18.当x6时，y36180，点A落

5、在直线MF上；BD1，BC1，BDC为等腰直角三角形，OBE为等腰直角三角形，五、二次函数中特殊平行四边形的存在性问题（一）例题演示已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；【解析】：（1）点A的坐标是纵坐标为0，得横坐标为8，所以点A的坐标为（8，0）；点B的坐标是横坐标为0，解得纵坐标为6，所以点B的坐标为（

6、0，6）；由题意得：BC是ABO的角平分线，所以OC=CH，BH=OB=6。AB=10，AH=4，设OC=x，则AC=8x，由勾股定理得：x=3，点C的坐标为（3，0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；解法一：如图，作OPAD交直线BC于点P，连接AP，作PMx轴于点MOPAD，POM=GAD，tanPOM=tanGAD，即解得经检验是原方程的解此时点P的坐标为但此时，OMGA，OPAD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，直线BC上不存在符合条件的点P 解法二：如图，取OA的中

7、点E，作点D关于点E的对称点P，作PNx轴于点N则PEO=DEA，PE=DE可得PENDEG由，可得E点的坐标为（4，0）NE=EG=，ON=OENE=，NP=DG=点P的坐标为x=时，点P不在直线BC上直线BC上不存在符合条件的点P【试题精炼】 如图，已知抛物线与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；解答：（1）由题意可知，点A,C坐标分

8、别代入抛物线解析式解得b=2，c=3.又因为A,C在直线上，设y=kx+b，解得k=1，n=1所以直线解析式为y=x+1（2）由（1）、（2）得点D的坐标为(1,4)，点B的横坐标与点D的横坐标相同，且点B在直线AC上，将其代入y=x+1，可得y=2。故点B的坐标为(1,2)，因为点E在直线AC上，设点E的坐标为(x，x+1)。如图2所示，当点E在线段AC上时，点F在点E的上方，则点F的坐标为(x，x+3)，因为点F在抛物线上，所以x+3=-x2+2x+3，解得x=0或x=1（舍去），所以点E的坐标为（0,1） 【中考链接】如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为（1

9、）求抛物线的函数关系式；（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？【解析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；（2）过点M作MEy轴于点E，交AB于点D，所以ABM的面积为DMOB，设M的坐标为（m，m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S与m的函数关系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范围是0m3；解答：（1）由题意知点的坐标为设的函数关系式为又点在抛物线上，解得抛物线的函数关系式为（或）（2）与始终关于轴对称， 与轴平行设点的横坐标为，则其纵坐标为，即当时，解得当时，解

10、得当点运动到或或或时，以点为顶点的四边形是平行四边形【巩固练习】. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点(点在点 的左侧)，将该抛物线位于轴上方曲线记作，将该抛物线位于轴下方部分沿轴翻 折，翻折后所得曲线记作，曲线交轴于点，连接. (1)求曲线所在抛物线相应的函数表达式; (2)点为曲线或曲线上的一个动点，点为轴上的一个动点，若以点 为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标.解答：（1）因为y=x2-2x-3可化为y=（x-1）2-4，所以抛物线的顶点坐标为（1，-4），开口向上，所以曲线N所在抛物线顶点坐标为（1,4），开口向下，故曲线N所在抛物线对应的函数表达式为y=-（x-1）2+4

11、，即y=-x2+2x+3。 当点位于曲线N上时，由-x2+2x+3=3，解得x3=0（舍去）或x4=2，所以CP=2，因为以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，所以CPBQ且CP=BQ，所以Q5(5,0), Q6(1,0)综上所述，点Q的坐标分别为：Q1(4+,0)，Q2(4-,0)，Q3(2+,0)，Q4(4-,0), Q5(5,0), Q6(1,0)。 如图525所示，顶点为的抛物线yax2bxc过点M(2，0)图525 备用图(1)求抛物线的表达式；(2)点A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合)，点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线yx1上一点(处于x轴下方)，点D是反比例函数y

12、(k0)图象上一点若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值【解析】 (1)已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为 ya，再把点M(2，0)代入，可求a1，所以抛物线的表达式可求；解答：(1)依题意可设抛物线为ya，将点M(2，0)代入可得a1，抛物线的表达式为yx2x2；(2)当y0时，x2x20，解得x11，x22，A(1，0)，当x0时，y2，B(0，2)在 RtOAB 中，OA1，OB2，AB.设直线 y x1 与 y 轴的交点为点 G，易求 G(0，1)，RtAOG为等腰直角三角形，AGO45.点 C 在 yx1 上且在 x 轴下方，而 k0，y的图象位于第一、三象限，故点 D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：菱形以 AB 为边且 AC 也为边，如答图所示，过点 D 作 DNy 轴于点 N，在 RtBDN 中，DBNAGO 45，DNBN，D，点D在y(k0)的图象上，k.菱形以 AB 为对角线，如答图所示，作 AB 的垂直平分线 CD 交直线 y x1 于点 C，交 y 点D的坐标为，点D在y(k0)的图象上，k.综上所述，k的值为或.