专题25：第5章相似三角形之A字型相似- 中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

1、25 第 5 章相似三角形之 A 字型相似学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1如图，已知,ADEABCV:V若:1:3,AD ABABCV的面积为9，则 ADE 的面积为（）A1B2C3D9【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出21=3ADEABCSS，代入求出即可【详解】解：ADEABC，AD：AB1：3，21=3ADEABCSS，ABC 的面积为 9，1=99ADES，SADE1，故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键2如图，ABO 的顶点 A 在函数 y kx（x0）的图象上，ABO90，过 AO 边的三

2、等分点 M、N 分别作 x 轴的平行线交 AB 于点 P、Q若ANQ 的面积为 1，则 k 的值为（）A9B12C15D18【答案】D【解析】【分析】易证ANQAMPAOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出ANQ 的面积，进而可求出AOB 的面积，则 k 的值也可求出【详解】解：NQMPOB，ANQAMPAOB，M、N 是 OA 的三等分点，12ANAM，13ANAO，14ANQAMPSS，四边形 MNQP 的面积为 3，314ANQANQSS，SANQ=1，2119AOBANSAO，SAOB=9，k=2SAOB=18，故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例

3、函数 k 的几何意义，正确的求出 SANQ=1 是解题的关键3直线 l1l2l3，且 l1 与 l2 的距离为 1，l2 与 l3 的距离为 3，把一块含有 45角的直角三角形如图放置，顶点 A，B，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线 l2 交于点 D，则线段 BD 的长度为（）A154B 253C 203D 254【答案】D【解析】【分析】分别过点 A、B、D 作 AFl3，BEl3，DGl3，先根据全等三角形的判定定理得出BCEACF，故可得出 CF 及 CE 的长，在 RtACF 中根据勾股定理求出 AC 的长，再由相似三角形的判定得出CDGCAF，故可得出 CD 的长，在 RtB

4、CD 中根据勾股定理即可求出 BD 的长【详解】如图，分别过点 A、B、D 作 AFl3，BEl3，DGl3，ABC 是等腰直角三角形，ACBC，EBC+BCE90，BCE+ACF90，ACF+CAF90，EBCACF，BCECAF，在BCE 与ACF 中，EBCACFBCACBECAFC CBEACF（ASA）CFBE，CEAF，l1 与 l2 的距离为 1，l2 与 l3 的距离为 3，CFBE3，CEAF3+14，在 RtACF 中，AF4，CF3，AC5，AFl3，DGl3，CDGCAF，DGCDAFAC，3CD45，15CD4，在 RtBCD 中，154CD，BC5，所以2225BD

5、BCCD4故答案为：D【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键4如图，ABCD，AEFDP，AE、FD分别交 BC 于点G、H，则下列结论中错误的是（）A DHCHFHBHB GECGFDGBC AFHGCECGD FHBFAGAB【答案】B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再变形，结合相似三角形对应边成比例即可判断各个选项【详解】解：ABCD DHCHFHBHA 选项正确，不符合题目要求；AEDF，CEGCDH，GECGDHCH,EGDHCGCH,ABCD，CHDHCBDF,DHDFCHCB,GEDFCGCB,G

6、ECGDFCB，B 选项错误，符合题目要求；ABCD，AEDF，四边形 AEDF 是平行四边形，AF=DE，AEDF，DEGHCEGC，AFHGCECG；C 选项正确，不符合题目要求；AEDF，BFHBAG，FHBFAGAB，D 选项正确，不符合题目要求故选：B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键5如图在ABC 中，DEBC，B=ACD，则图中相似三角形有（）A2 对B3 对C4 对D5 对【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论【详解】B=ACD，A=A，ACDABC，DEBC，ADEABC，ACDA

7、DE，DEBC，EDC=DCB，B=DCE，CDEBCD，故共 4 对，故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的判定注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似二、填空题6如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 4 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为 【答案】1.5 米【解析】如图，DEBC，ADEACB DEAECBAB40.84+3.5AB，解得 h=1.5（米）7在矩形 ABCD 中，3AB，4BC，点 E 是 AD 上一动点，过点 E 作 EFBD 交 AB 于 F，将AEF沿 EF 折叠，点 A 的对应点 A 落在

8、BCD 的边上时，AE 的长为_【答案】2 或 258【解析】【分析】分 A 落在 BD 上或 BC 上两种情况，分别画出示意图，根据矩形的性质以及折叠的性质求解即可【详解】解：当 A 落在 BD 上时，如下图：在矩形 ABCD 中，3AB，4BC，5BD 根据折叠的性质可知，AMAMEFBD12AEAMADAA142AE 2AE；当 A 落在 BC 上时，如下图：/,90,EF BDANDBADADNADN ANDBAD DNADADBD16169,5555DNANA NBNANDN2720A N AMAM125A NMNMN2140MN 158AM 15758124965AEAMAN752

9、5248AE 故答案为：2 或 258【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质、相似三角形的判定及性质，考查的范围较广，但难度不大，根据题意画出示意图是解此题的关键8如图，小杨将一个三角板放在O 上,使三角板的一直角边经过圆心O,测得5ACcm,3ABcm,则O 的半径长为_cm【答案】3.4【解析】【分析】作 OHBC 于 H，如图，则 CH=BH，先利用勾股定理计算出 BC=34，则 CH=342，再证明 RtCOHRtCBA，然后利用相似比计算 OC 即可【详解】连接 BC，作 OHBC 于 H，则 CH=BH，在 RtACB 中，BC=22=34ACAB，CH=1

10、3422BC，OCH=BCA，RtCOHRtCBA，OCCHCBCA，即342534OC，解得，OC=3.4故答案为：3.4【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质9如图，王华晚上由路灯 A下的 B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为 1 米，继续往前走 2 米到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高度等于_【答案】4.5【解析】【分析】设 BC 之间的距离为 x 米，根据题意可得DGCDAB，FHEFAB，即 GCCDABBD，HE

11、EFABBF，代入数值解得 x=2，进而求得 AB，即可求得路灯的高度【详解】如图，设 BC 之间的距离为 x 米，根据题意可得GCBF，HEBF，ABCGHEDGCDAB，FHEFAB，GCCDABBD，HEEFABBF，即 1.511ABx，1.5222ABx，12122xx，解得2x，经检验2x 是所列方程的解，1.513AB，解得4.5AB，经检验4.5AB 是所列方程的解，故路灯的高为 4.5 米故答案为：4.5【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，涉及相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，会利用相似三角形的性质列出方程是解答的关键10平行于 BC 的直线 DE 把ABC 的面积

12、平分，且交边 AB、AC 分别于点 D、E，则 DEBC 的值为_【答案】22【解析】【分析】利用相似三角形的性质即可求解【详解】平行于 BC 的直线 DE 把ABC 的面积平分，ABCADE2SS，DEBC，ADE ABC，2ADEABCSDESBC，即212DEBC，解得：22DEBC 故答案为：22【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握“相似三角形面积的比等于相似比的平方”是解题的关键三、解答题11（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第 77 页的部分内容（定理证明）请根据教材内容，结合图，写出证明过程（定理应用）如图，在矩形 ABCD 中，AC 为矩形 ABCD 的对

13、角线，点 E 在边 AB 上，且 AE=2BE，点 F在边 CB 上，CF=2BFO 为 AC 的中点，连结 EF、OE、OF（1）EF 与 AC 的数量关系为_（2）OEF 与 ABC 的面积比为_【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF 与 AC 的数量关系为13EFAC；（2）OEF 与 ABC的面积比为2:9【解析】【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得1,2DEADADEABCBCAB，再根据平行线的判定即可得证；定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得13BEBFBABC，再根据相似三角形的判定与性质即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得

14、11,22OMBC ONAB，设,BEa BFb，再根据三角形的面积公式分别求出 OEF 与 ABC 的面积，由此即可得出答案【详解】定理证明：点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，12AEADACAB，在 ADE 和 ABC 中，12AEADACABAA，ADEABC，1,2DEADADEABCBCAB，/DE BC，且12DEBC；定理应用：（1）2,2AEBE CFBF，13BEBFBABC，在 BEF 和 BAC 中，BEBFBABCBB，BEFBAC，13EFBFACBC，即13EFAC；（2）如图，过点 O 作OMAB于点 M，作ONBC于点 N，四边形 ABCD 是矩形，90B

15、 ，即 ABBC，/,/OM BC ON AB，点 O 是 AC 的中点，OM、ON 是 ABC 的两条中位线，11,22OMBC ONAB，设,BEa BFb，则332,3,2,3,22AEa ABa CFb BCb OMb ONa，1122BEFSBE BFab，1322AOESAE OMab，1322COFSCF ONab，1922ABCSAB BCab，OEFABCBEFAOECOFSSSSSab，2992OEFABCSabSab，即 OEF 与 ABC 的面积比2:9【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，运用到

16、三角形中位线定理是解题关键12如图，在 ABC 中，90C，ABC的平分线交 AC 于点 E，过点 E 作 BE 的垂线交 AB 于点 F，圆O 是 BEF 的外接圆（1）求证：AC 为圆O 的切线；（2）若1tan2CBE，4AE，求圆O 的半径【答案】（1）证明见详解；（2）圆O 的半径为 3.【解析】【分析】（1）连接OE，根据半径所形成的等腰三角形和 BE 平分ABC可以得到OEBC，从而证出90OEA，即可得证；（2）根据角度的转化，结合 BEEF得到EBOFEA，可以证明 AEFABE，结合相似三角形的性质可以得到 EFAEAFBEABAE，同时1tan2CBE，利用角度相等则三角

17、函数值相等可以得到12EFAEAFBEABAE，从而分别求出,AB AF，即可求出半径；【详解】（1）连接OE圆O 是 BEF 的外接圆 OEOBEBOBEO BE 平分ABCEBOCBE CBEBEO OEBC90C90OEA即OEAC AC 为圆O 的切线（2）BEEF90BEF90BEOOEF由（1）证得：OEAC90OEFAEFBEOFEA OEOBEBOBEO EBOFEA 在 AEF 和ABE中：EBOFEAAA AEFABE EFAEAFBEABAE1tan2CBE，且EBOCBE 1tan2EFEBOBE12EFAEAFBEABAE4AE 8AB，2AF 6BF 圆O 是 BE

18、F 的外接圆,且 BEEF BF 是圆O 的直径 圆O 的半径为 3【点睛】本题主要借助平行线进行圆切线的判定，同时考查了圆和三角形的相似，综合度比较高，准确的作出辅助线并找到相似三角形是求解本题的关键.13如图，BD 为O 的直径，ABACAD，交 BC 于EAE1 ED2，（1）求 AB 的长（2）延长 DB 到 F，使得 BFBO，求证：直线 FA 与O 相切【答案】（1）3；（2）见解析【解析】【分析】（1）先证明ABEADB，利用相似三角形的性质可求得 AB 的长；（2）连接 OA，在 RtABD 中可求得 BD，可证明AOB 为等腰三角形，结合 BF=BO 可证明OAF=90，证得

19、结论【详解】解：1ABAC，ABCACBADBBAEDAB，ABE ADB，ABAEADAB，AE1 DE2，ADAEDE3，AB13AB，解得AB3；2 证明：如图，连接 OA，BD为直径，ABD为直角三角形，在 Rt ABD中，AB3AD3，22BDABAD2 3，ABBOAO，BAO60，BFBO，BFAB，1BAFFOBA302，OAFOABBAF90，又ADBAOB，直线 FA 与O 相切【点睛】本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质的应用，掌握切线的判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径14如图，

20、四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形，点 R 为 DE 的中点，BR 分别交 AC、CD 于点P、Q（1）求证：PCQRDQ；（2）求 BP：PQ：QR 的值【答案】（1）见解析；（2）:3:1:2BP PQ QR【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得PCQRDQ，再根据PQCRQD，即可证明PCQRDQ；（2）根据平行四边形的性质可得 PBPR，12PCRE，再根据相似三角形的性质可得12PQPCPCQRDRRE，从而可得2QRPQ，再根据3BPPRPQQRPQ，即可求解【详解】解：（1）PCDR，PCQRDQ 又PQCRQD PCQRDQ（2）四边形 ABCD 和四边形

21、 ACED 都是平行四边形，BCADCE，/AC DE PBPR，12PCRE 又点 R 是 DE 中点，DRRE由（1）知PCQRDQ，12PQPCPCQRDRRE，2QRPQ又3BPPRPQQRPQ，:3:1:2BP PQ QR【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握平行四边形的性质、相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键15有这样一道题：已知：如图（1），点O 在ABC内部，连 AO，BO，CO，点 D，E，F 分别在 AO，BO，CO上，且 DEAB，EFBC，FDCAP（1）求证：ABC DEF；（2）若将这题图（1）中的点O 移到ABC外，如图（2），其他条件不变，试问：ABC与

22、 DEF 有何关系？请你完成图（2），写出你的结论（不需证明）【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】根据平行线的性质，得出对应边成比例，证明三角形相似【详解】（1）证明：DEABEFBCFDCAPODEDABODFOACEDOBAO ODFOAC DEDFABACBACEDF ABCDEF（2）ABCDEF如图，DEABEFBCODEDAB,OEFOBCDEOABO OEFOBC DEFABC DEOEABOB,EFOEBCOB DEEFABBCABCDEF【点睛】本题图形复杂，主要考查了相似三角形的判定以及平行线成比例定理，正确掌握平行线分线段成比例定理是解题关键.16如图，E

23、FBC，ENBDP，求证：FNCDP【答案】见解析【解析】【分析】由 NEBDP推出AENABD，由 FEBC 推出AEFABC，再由相似三角形的性质证得ANAFADAC，并证出FANCAD，然后容易证明 FNCDP【详解】解：NEBDPAENABD AEANABAD FEBCAEFABC AEAFABAC ANAFADACFANCAD FANCADAFNACD FNCDP【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定定理，灵活使用性质定理和判定定理是解题关键17（1）如图，在 ABC 中，点 D、E、Q 分别在 AB、AC、BC 上，且 DEBC，AQ 交 DE 于点 P，求证：DPPEBQQC（

24、2）如图，ABC 中，90BAC，正方形 DEFG 的四个顶点在 ABC 的边上，连结 AG，AF 分别交 DE 于 M，N 两点如图，若1ABAC，直接写出 MN 的长；如图，求证：2MNDM EN【答案】(1)见解析;(2)29；见解析.【解析】【分析】（1）可证明ADPABQ，ACQADP，从而得出 DPPEBQQC;（2）根据三角形的面积公式求出 BC 边上的高22AQ，根据ADEABC，求出正方形 DEFG 的边长23DE，根据 MNGF等于高之比即可求出 MN；由 MEGCP，得 MNANNEGFAFFC又 DGFE 为正方形，得出 MNFEENFC，同理，有 MNDGMDBG，又

25、因为DBGCEF，所以 MNMDENMN，所以2MNDM EN【详解】（1）证明：如图 1在ABQ中，由于 DPBQP，ADPABQ，DPAPBQAQ同理在ACQ 和AEP 中，APPEAQQC，DPPEBQQC（2）如图 2,作 AQBC 于点 QBC 边上的高22AQ DE=DG=GF=EF=BG=CFDE：BC=1：3又DEBC，AD：AB=1：3，12,33ADDEDE 边上的高为26,22:62MN GF 222:362MN29MN故答案为29证明：如图 3 MEGCP，MNANNEGFAFFC又 DGFE 为正方形，GFEF，MNNEEFFC，MNFEENFC同理，在 ABF 中有

26、 MNAMDMGFAGBG，MNDMGDBG，MNDGMDBG又因为DBGCEF，BGFEDGFC，MNMDENMN2MNDM EN【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，注意利用相似三角形的对应边成比例解决问题18如图，在RtABC中，90A ，8AB，6AC 若动点 D 从点 A 出发，沿射线 AB 运动，运动速度为每秒 2 个单位长度过点 D 作 DEBC交 AC 于点 E，设动点 D 运动的时间为 x 秒，AE 的长为 y（1）求出 y 关于 x 的函数关系式；（2）当 x 为何值时，BDE 的面积 S 有最大值或最小值，最大值或最小值为多少？【答案】

27、(1)32yx;(2)x=2 时，s 有最大值，且最大值为 6.【解析】【分析】(1)分两种情况讨论：当 D 点在线段 AB 上时，ADE ABC，然后利用相似三角形的对应边成比例求得 ADAEABAC，用 x、y 表示该比例式中的线段的长度整理后即可；当 D 在 AB 延长线上时，ABACADAE，用 x、y 表示该比例式中的线段的长度整理后即可；（2）当 D 在线段 AB 上时，求得2362DEBABEADESSSxx，化成顶点式，可求最值；当D 在 AB 延长线上时，2362DEBADEABESSSxx，化成顶点式，可求最值【详解】（1）如图，当 D 点在线段 AB 上时，ADE ABC

28、，ADAEABAC又2ADx，8AB，AEy，6AC，296xy，32yx如图，当 D 在 AB 延长线上时，DEBC，ABACADAE，862xy，32yx（2）如图，当 D 在线段 AB 上时，2223336626222DEBABEADESSSxxxxx 当2x 时，6S最大当2x 时，S 有最小值，且最小值为 6 不符合题意舍去如图，当 D 在 AB 延长线上时，223362622DEBADEABESSSxxx综上所述：当2x 时，S 有最大值，且最大值为 6【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、平行线截线段成比例定理、三角形的面积及二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键19矩形 A

29、BCD 中，AB8，AD12将矩形折叠，使点 A 落在点 P 处，折痕为 DE（1）如图，若点 P 恰好在边 BC 上，连接 AP，求 APDE的值；（2）如图，若 E 是 AB 的中点，EP 的延长线交 BC 于点 F，求 BF 的长【答案】（1）23；（2）BF3【解析】【分析】（1）如图中，取 DE 的中点 M，连接 PM证明POMDCP，利用相似三角形的性质求解即可（2）如图中，过点 P 作 GHBC 交 AB 于 G，交 CD 于 H设 EG=x，则 BG=4-x证明EGPPHD，推出13EGPGEPPHDHPD，推出 PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在 RtPHD 中，由

30、PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出 x，再证明EGPEBF，利用相似三角形的性质求解即可【详解】解：（1）如图中，取 DE 的中点 M，连接 PM四边形 ABCD 是矩形，BADC90，由翻折可知，AOOP，APDE，23，DAEDPE90，在 RtEPD 中，EMMD，PMEMDM，3MPD，13+MPD23，ADP23，1ADP，ADBC，ADPDPC，1DPC，MOPC90，POMDCP，82123POCDPMPD，2223AOPODEPM（2）如图中，过点 P 作 GHBC 交 AB 于 G，交 CD 于 H则四边形 AGHD 是矩形，设 EGx，则 B

31、G4xAEPD90，EGPDHP90，EPG+DPH90，DPH+PDH90，EPGPDH，EGPPHD，41123EGPGEPPHDHPD，PG2EG3x，DHAG4+x，在 RtPHD 中，PH2+DH2PD2，（3x）2+（4+x）2122，解得：x165（负值已经舍弃），BG4165 45，在 RtEGP 中，GP22125EPEG，GHBC，EGPEBF，EGGPEBBF，1612554BF，BF3【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题20如图，点 O 是ABC 边 BC 上一点，过点

32、O 的直线分别交 AB，AC 所在直线于点 M，N，且 ABAMm，ACANn（1）若点 O 是线段 BC 中点求证：m+n2；求 mn 的最大值；（2）若 COOBk（k0）求 m，n 之间的关系（用含 k 的代数式表示）【答案】（1）证明见解析；mn 有最大值 1；（2）nkkm+1【解析】【分析】设 AMa，ANb由 ABAMm，ACANn 可得 ABam，ACbn，那么 MBMAABaam（1m）a，CNACANbnb（n1）b（1）若点 O 是线段 BC 中点，如图 1，过点 B 作 BHAC 交 MN 于 H，利用 ASA 证明OBHOCN，得出 BHCN（n1）b由 BHAN 列

33、出比例式(1)m aa(1)nbb，求解即可；由的结论 m+n2 得出 m2n，那么 mn（2n）nn2+2n（n1）2+1，根据二次函数的性质即可得出当 n1 时，mn 有最大值 1；（2）若 COOBk（k0），如图 2，过点 B 作 BGAC 交 MN 于 G，证明OBGOCN，根据相似三角形对应边成比例得出 CNBG COOB，那么 BG1nk b由 BGAN 列出比例式(1)m aa(1)nbkb，整理即可得出 m，n 之间的关系.【详解】解：设 AMa，ANb.ABAMm，ACANn，ABam，ACbn，MBMAABaam（1m）a，CNACANbnb（n1）b.（1）若点 O 是

34、线段 BC 中点，如图 1，过点 B 作 BHAC 交 MN 于 H，OBHOCN.在OBH 与OCN 中，OBHOCNOBOCBOHCON ，OBHOCN（ASA），BHCN（n1）b.BHAN，MBMA BHAN，即(1)m aa(1)nbb，1mn1，m+n2；由知，m+n2，m2n，mn（2n）nn2+2n（n1）2+1，当 n1 时，mn 有最大值 1；（2）若 COOBk（k0），如图 2，过点 B 作 BGAC 交 MN 于 G，OBGOCN.在OBG 与OCN 中，OBGOCNBOGCON ，OBGOCN，CNBG COOB，即(1)nbBGk，BG1nk b.BGAN，MBMA BGAN，即(1)m aa(1)nbkb，1m1nk，nkkm+1.【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，平行线分线段成比例是性质，相似三角形的判定及性质，二次函数最值问题，正确掌握各知识点并综合运用解题是关键.