专题35第7章圆之与直径有关的辅助线-中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

1、35第7章圆之与直径有关的辅助线一、单选题1如图，AB为O的直径，点C为弧AB的中点，弦CD交AB于点E，若，则tanB的值是（）ABCD【答案】C【分析】如图（见解析），连接OC，过O作于E，过D作于F，先根据垂径定理得到，设，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，又根据相似三角形的判定与性质可得DF、EF的长，从而可得BF的长，最后根据正切三角函数的定义即可得【详解】如图，连接OC，过O作于E，过D作于F设，则AB为O的直径，点C为弧AB的中点在和中，即解得或（不符题意，舍去），即解得则在中，故选：C【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函

2、数等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键二、填空题2如图，CD 为圆O的直径，弦ABCD，垂足为E，若BCD22.5，AB2cm，则圆O的半径为_【答案】【分析】连接OB，根据垂径定理以及勾股定理即可求出OB的长度【详解】如图，连接OB，OCOB，BCD22.5，EOB45，ABCD，CD是直径，AB=2，EBAB1，OEEB1，OB=，故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理及三角形外角性质，垂直弦的直径平分弦，并且平分弦这条弦所对的两条弧；熟练掌握垂径定理是解题关键3如图，已知是的直径， 是的弦，过点作的切线，与的延长线交于点作交直线于点若则_【答案】【分析】连接

3、BC，求得BC=5，证明ABCEAB，根据相似性质即可求出BE.【详解】解：如图，连接在中，根据勾股定理，得是直径，是的切线，即，故答案为：【点睛】（1）见直径，想半径或想圆周角为直角；（2）见切线想做过切点的直径，构造直角；（3）求线段的长度在几何图形中一般选择勾股定理、相似、或三角函数来求解.4如图所示，中，分别在射线，上移动，且，则点到点的距离的最大值为_.【答案】.【解析】【分析】过，三点作，作直径连结，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同弧所对的圆周角相等得出，从而确定的直径即可【详解】如图所示，过，三点作，作直径连结，在中，在，弦的最大值等于直径到点的距离的最大值为【点睛】本题考

4、查了圆周角的性质定理，等腰直角三角形的性质，以及勾股、勾股定理等知识点，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键5用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形，已知长方形的长比宽多a m，则正方形面积与长方形面积的差为_.（用含a的代数式表示）【答案】【分析】设出长方形的长和正方形的长,设出铁丝的长度,用l表示面积做差即可得出.【详解】设长方形的长为x，结合题意可知宽为x-a，设铁丝的长度为l，建立方程,解得,则长方形的面积为而正方形的面积为,所以面积差为故答案为a2【点睛】本题考查了长方形面积计算公式，正方形面积计算公式，运用多项式做差是解题的关键.6如图，、是半径为5的的两条弦，是直 径，于

5、点，于点，为上的任意一点，则的最小值为_.【答案】.【分析】A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值【详解】连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H根据垂径定理，得到BE= CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角BCH中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为7【点睛】正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键7如图，已知中，以为直径作，交于点，在上取点使，交于点，已知，则_【答案】【分析】连接CE，EF，BF，过F作FGAC于点G，设，则，

6、利用求出的值，利用求出和的值，利用求出的值，进而求出，从而得出结论【详解】解：连接CE，BC是直径，CEBA，又，设，则，连接EF，四边形BCFE是圆内接四边形，即： 解得：，连接BF，过F作FGAC于点G，BC是直径，在中，由勾股定理得：， ，故答案为：【点睛】本题属于圆的综合题，难度较大，主要考查了圆内接四边形、相似、勾股定理、直角三角形，三角函数等知识点在解题过程中，要灵活应用，尤其是辅助线的构造，是解决本题的关键三、解答题8如图所示，是锐角三角形的外接圆的半径，于点，求证：.【答案】见解析.【解析】【分析】作直径，则，分别位于和中，根据等角的补角相等即可得证.【详解】延长交于，连结是直

7、径 于点 又在中 .【点睛】本题考查了圆周角的性质定理，经常利用直径构造直角，来推理证明圆中角度问题.9如图，AB为O的直径，且AB4，DBAB于B，点C是弧AB上的任一点，过点C作O的切线交BD于点E连接OE交O于F（1）求证：ADOE；（2）填空：连接OC、CF，当DB 时，四边形OCEB是正方形；当DB 时，四边形OACF是菱形【答案】（1）见解析；（2）4，BD4【分析】（1）连接OC、BC，由AB为O的直径，DBAB于B，推出DB是O的切线，进而证明OEBC，ACBC，即可得出结论；（2）若四边形OCEB是正方形，CEBEOBOCAB2，由（1）可证，得到DEBE2，BDBE+DE4

8、即可求出；若四边形OACF是菱形，则OAAC，又OAOC，于是OAC为等边三角形，A60，在RtABD中，由tanA，即可求得BD【详解】（1）证明：连接OC、BC，如图1，AB为O的直径，DBAB于B，DB是O的切线，CE与O相切于点C，BECE，点E在BC的垂直平分线上，OBOC，点O在BC的垂直平分线上，OEBC，ACB90，即ACBC，ADOE；（2）如图2，若四边形OCEB是正方形，AB4，CEBEOBOCAB2，OEAC，DEBE2，BDBE+DE4，故答案为：4；若四边形OACF是菱形，CO平分ACF，CFOA，ACOFCOAOC，OAOC，AACOAOC，AOC是等边三角形，A

9、60，ABD90，RtABD中，tanA，BD4，故答案为：4；【点睛】本题是圆综合题，正方形的性质，菱形的性质，以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握圆的相关性质以及菱形和正方形的性质是解题的关键10如图，AB为O的直径，C为O上的一点，ADCD于点D，AC平分DAB（1）求证：CD是O的切线（2）设AD交O于E，ACD的面积为6，求BD的长【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质，角平分线的定义得到DACOCA，证明OC/AD，根据平行线的性质得到OCEADC90，根据切线的判定定理证明；（2）设AC5x，CD3x，根据勾股定理得到AD4x，根据三角形的面积得

10、到AD4，CD3，AC5，连接BC，根据相似三角形的性质得到AB，连接BE交OC于F，由垂径定理得到OCBE，BFEF，得到EFCD3，根据勾股定理即可得到结论【详解】（1）证明：连接OC，OAOC，OACOCA，AC平分DAB，OACDAC，DACOCA，OC/AD，OCEADC90，CD是O的切线；（2）解：，设AC5x，CD3x，AD4x，ACD的面积为6，ADCD6，x1（负值舍去），AD4，CD3，AC5，连接BC，AB为O的直径，ACB90，ACBADC，DACCAB，ADCACB，AB，DACCAB，连接BE交OC于F，OCBE，BFEF，AB为O的直径，AEBDEB90，四边形

11、CDEF是矩形，EFCD3，BE6，AE，DE4，BD【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键11如图，AB为O的直径，点C是O上的一点，AB=8cm，BAC=30，点D是弦AC上的一点（1）若ODAC，求OD长；（2）若CD=2OD，判断形状，并说明理由【答案】（1）2；（2）等腰三角形，见解析【分析】（1）由直角三角形的性质求解再证明，即可得到答案；（2）如图，过作于 连接 求解设 则 利用勾股定理求解，从而可得答案【详解】解：（1） AB为O的直径， AB=8cm，BAC=30， ODAC， ， （2）是等腰三

12、角形理由如下：如图，过作于 连接 设 则 由勾股定理可得： 是等腰三角形【点睛】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理，三角形的中位线的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键12如图，已知AB是半圆O的直径，AB6，点C在半圆O上过点A作ADOC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）（1）当点F为的中点时，求弦BC的长；（2）设ODx，y，求y与x的函数关系式；（3）当AOD与CDE相似时，求线段OD的长【答案】（1）3；（2）y；（3）【分析】（1）连结OF，交BC于点H得出BOFCOF则AOCCOFB

13、OF60，可求出BH，BC的长；（2）连结BF证得ODBF，则，即，得出，则得出结论；（3）分两种情况：当DCEDOA时，ABCB，不符合题意，舍去，当DCEDAO时，连结OF，证得OAF30，得出OD，则答案得出【详解】解：（1）如图1，连结OF，交BC于点HF是中点，OFBC，BC2BHBOFCOFOAOF，OCAF，AOCCOF，AOCCOFBOF60，在RtBOH中，sinBOH，AB6，OB3，BH，BC2BH3；（2）如图2，连结BFAFOC，垂足为点D，ADDF又OAOB，ODBF，BF2OD2x，即，y（3）AOD和CDE相似，分两种情况：当DCEDOA时，ABCB，不符合题意

14、，舍去当DCEDAO时，连结OFOAOF，OBOC，OAFOFA，OCBOBCDCEDAO，OAFOFAOCBOBCAODOCB+OBC2OAF，OAF30，OD即线段OD的长为【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题13如图，已知，点在上，边与相交于点，过经过圆心，与相交于点，的切线交于点（1）求证：（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）如图1，连接，由是的切线，得到，即，再由，由等角的余角相等可得，根据等腰三角形的判

15、定得到即可得出（2）连接，通过利用三角函数求出，再由勾股定理求出AB=15，根据，即可解答【详解】解：（1）连接，是的切线，又，（2）连接，又，在中，【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键14如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点A作于点G，连接DG，则线段DG的最小值为_【答案】【分析】连接AC，BD交于O，得到EF过点O，推出点G在以AO为直径的半圆弧上，设AO的中点为M，连接DM交半圆弧于G，则此时，DG最小，根据正方形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论

16、【详解】解：连接AC，BD交于O，过点E、F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点O，点G在以AO为直径的半圆弧上，则 设AO的中点为M，连接DM交半圆弧于G，则此时，DG最小，四边形ABCD是正方形， 故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键15如图1，在中，弦与半径交于点，连接、，（1）求证：；（2）如图2，过点作交于点，垂足为，连接，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点，连接、，过点作于点，交于点，连接，若，时，求线段的长度【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）延长交于，连接，根

17、据等腰三角形的底角相等，三角形的外角的性质，结合，得，再结合圆周角定理，得，即可得到结论；（2）作于，于，根据等腰三角形三线合一，得，结合条件得，易证，结合垂径定理，即可得到结论；（3）延长交于，连接，先证，再证，得四边形是平行四边形，根据直角三角形和等腰三角形的性质得，结合平行线截得的线段成比例与勾股定理，即可求解【详解】（1）如图1中，延长交于，连接，；（2）如图2中，作于，于，CDAB，；（3）在图3中，延长交于，连接，四边形是平行四边形，CTDB，【点睛】本题主要考查圆的基本性质与全等三角形，相似三角形，勾股定理，平行四边形的综合，添加辅助线，构造全等三角形，相似三角形，是解题的关键1

18、6如图所示，四边形的四个顶点在上，且对角线于，求证：为定值.【答案】见解析.【解析】【分析】作直径，连结，根据直径所对的圆周角为直角得出，从而得出利用勾股定理即可解决问题【详解】作直径，连结，弧AD=弧CE, ，根据勾股定理得：，为定值.【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，两条平行线所夹的弧相等等知识，解题的关键是学会利用定理和性质进行转化17如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.【答案】的最大值为.【解析】【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求.【详解】连结， 为等边三角形，点，分别是，的中点

19、， 为的一条弦最大值为直径14 的最大值为.【点睛】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.18如图，在四边形ABCD中，ABCD，且AB2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD交于点H（1）求证：四边形DEBC是平行四边形；（2）若BD9，求DH的长【答案】（1）证明见解析；（2）6.【分析】（1）结合题意，得出DC=BE，利用平行四边形的判定定理，证明，即可（2）结合三角形相似，得出DH和BH的长度关系，计算结果，即可【详解】（1）证明：E是AB的中点，AB2EB，AB2CD，DCBE，又ABCD，即DCBE，四边形BCDE是平行四边形（2）解：四边形BCDE是平行四边形

20、，BCDE，BCDE，EDMFBM，BCDE，F为BC的中点，BFBCDE，2，DH2HB，又DH+HB9，DH6【点睛】考查平行四边形的判定，考查相似三角形的判定，关键得出DH和HB的长度关系，即可，难度中等19如图，正方形AOBC的边OB、OA分别在x、y轴上，点C坐标为（8，8），将正方形AOBC绕点A逆时针旋转角度（090），得到正方形ADEF，ED交线段BC于点Q，ED的延长线交线段OB于点P，连接AP、AQ（1）求证：ACQADQ；（2）求PAQ的度数，并判断线段OP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由；（3）连接BE、EC、CD、DB得到四边形BECD，在旋转过程中，四边形BE

21、CD能否是矩形？如果能，请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由【答案】(1)见解析，（2）PQOP+CQ，理由见解析，（3）；理由见解析.【解析】【分析】（1）由正方形的性质及旋转的性质可得到ADAC，利用HL即可证得结论；（2）利用（1）的结论，结合条件可证得AOPADP，进一步可求得PAQ45，再结合全等可求得PQOP+CQ；（3）利用矩形的性质可得到BQEQCQDQ，设P（x，0），则可表示出BQ、PB的长，在RtBPQ中，利用勾股定理可得到关于x的方程，则可求得P点坐标【详解】（1）证明：正方形AOBC绕点A旋转得到正方形ADEF，ADAC，ADQACQ90，在RtADQ和RtACQ中

22、，RtACQRtADQ（HL）；（2）解：ACQADQ，CAQDAQ，CQDQ，在RtAOP和RtADP中，RtAOPRtADP（HL），OAPDAP，OPOD，PAQDAQ+DAPDAC+DAO（DAC+DAO）OAC45，PQPD+DQOP+CQ；（3）解：四边形BECD可为矩形，如图，若四边形BECD为矩形，则BQEQCQDQ，BC8，BQCQ4，设P点坐标为（x，0），则POx，OPPD，CQDQ，PDx，DQ4，在RtBPQ中，可知PQx+4，BQ4，BP8x，（x+4）2+42（8x）2，解得x，P点坐标为（，0）【点睛】本题为四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质、正方形的性质、旋转的性质、矩形的判定和性质、勾股定理及方程思想等知识在（1）中注意HL的应用，在（2）中证得RtAOPRtADP是解题的关键，在（3）中注意矩形性质的应用本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中