2022年新教材高考数学一轮复习 考点规范练26 等差数列及其前n项和（含解析）新人教版.docx

1、考点规范练26等差数列及其前n项和一、基础巩固1.(2021山西临汾三模)设等差数列an的前n项和为Sn,若4+a1=a2+a5,则S11=()A.28B.34C.40D.44答案:D解析:由a6+a1=a2+a5,4+a1=a2+a5,可得a6=4,所以S11=11(a1+a11)2=11a6=44.2.已知等差数列an的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为()A.110B.200C.210D.260答案:C解析:设等差数列an的前n项和为Sn.由于在等差数列an中,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,又S4=30,S8=100,所以30,70,S12-100成等差数列

2、,即270=30+S12-100,解得S12=210.3.已知数列an是等差数列,且a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,数列an的前n项和为Sn,则使得Sn最大的n是()A.18B.19C.20D.21答案:C解析:根据题意可知,由a1+a3+a5=105,得a3=35,由a2+a4+a6=99,得a4=33,则等差数列an的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.4.(多选)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a3+a8+a13是一个定值,则下列各选项中也一定为定值的有()A.a7B

3、.a8C.S15D.S16答案:BC解析:由等差中项的性质可得a3+a8+a13=3a8为定值,则a8为定值,S15=15(a1+a15)2=15a8为定值,但S16=16(a1+a16)2=8(a8+a9)不一定为定值.5.设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n等于()A.5B.6C.7D.8答案:D解析:(方法一)由题意得Sn=na1+n(n-1)2d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,故n=8.(方法二)Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2

4、(2n+1)=36,解得n=8.6.(多选)设Sn是等差数列an的前n项和,且S5S8,则下列结论正确的是()A.d0B.a7=0C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值答案:BD解析:根据题意,设等差数列an的公差为d.由于S6=S7,则S7-S6=a7=0,故B选项正确;由S50,则d=a7-a6S5,则a6+a7+a8+a90,可得2(a7+a8)0,又由a7=0,且d0,得a80,即a7+a80,矛盾,故C选项错误;因为S5S8,所以S6与S7均为Sn的最大值,故D选项正确.7.已知等差数列an的前3项依次是-1,a-1,1,则a=;通项an=.答案:1n-2解析:因为-1,a-1,

5、1构成等差数列,所以2(a-1)=-1+1=0,解得a=1.因为首项a1=-1,公差d=1,所以an=n-2.8.(2021河南名校联盟4月联考)在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项,从而形成一个新的数列,我们把这样的操作称为该数列的一次扩充.如数列1,9,扩充一次后得到1,5,9,扩充两次后得到1,3,5,7,9,以此类推.设数列1,3,t(t为常数),扩充n次后所得所有项的和记为Sn,则Sn=.答案:7+t2(2n+1)-3解析:扩充n次后所得数列为1,2,3,3+t2,t,因此从1到3是等差数列,项数为2n+1,且中间项为2;从3到t也是等差数列,项数为2n+1,且中间项为

6、3+t2.根据等差数列的性质可得Sn=2(2n+1)+3+t2(2n+1)-3=7+t2(2n+1)-3.9.已知数列an满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1),a1=2,令bn=1an-1.(1)证明:数列bn是等差数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明:由题意可知,an1.由1an+1-1-1an-1=an-an+1(an+1-1)(an-1)=13,得bn+1-bn=13,故bn是公差d=13的等差数列.(2)解:由(1)及b1=1a1-1=12-1=1,得bn=13n+23,即an-1=3n+2,故an=n+5n+2.二、综合应用10.(多选)已知等差数列an的前

7、n项和为Sn,若a1+5a3=S8,则下列结论一定正确的是()A.a10=0B.当n=9或10时,Sn取最大值C.|a9|0时,a10,S210,所以a1+a200,则a10+a110.同理由S210可得a1+a210,即a110,从而等差数列an的公差d0,a3a4,a3=9,a4=13,a1+2d=9,a1+3d=13,解得a1=1,d=4.an=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,则Sn=na1+n(n-1)2d=2n2-n=2n-142-18.故当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.(3)由(2)知Sn=2n2-n,即bn=Snn+c=2n2-nn+c,则b1=11+c

8、,b2=62+c,b3=153+c.数列bn是等差数列,2b2=b1+b3,即62+c2=11+c+153+c,2c2+c=0,c=-12或c=0(舍去).三、探究创新14.下表数阵的特点是每行、每列都成等差数列,记第i行第j列的数为aij,则(1)ann=(nN*);(2)表中的数52共出现次.23456735791113471013161959131721256111621263171319253137答案:(1)n2+1(2)4解析:(1)根据题意得,第i行的等差数列的公差为i,第j列等差数列的公差为j,所以第一行数组的数列a1j是以2为首项,公差为1的等差数列,可得a1j=2+(j-1

9、)1=j+1,又因为第j列数组成的数列aij是以a1j为首项,公差为j的等差数列,所以aij=a1j+(i-1)j=(j+1)+(i-1)j=ij+1.因为aij=ij+1,所以ann=nn+1=n2+1;(2)由于aij=ij+1=52,则ij=51,得i=1且j=51或i=51且j=1或i=3且j=17或i=17且j=3,故表中的数52出现了4次.15.(2021广东珠海二模)已知等差数列an满足a1=-1,a4=2a2+a3.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an2cosn2,求数列bn的前40项和S40.解:(1)设等差数列an的公差为d.由a1=-1,a4=2a2+a3,即a1+3d=3a1+4d,得d=2,所以an=2n-3.(2)因为bn=an2cosn2,所以,当n为奇数时,bn=0;当n为偶数,n=4k+2,kN时,bn=-an2,n=4k+4,kN时,bn=an2.所以S40=(a42-a22)+(a82-a62)+(a122-a102)+(a362-a342)+(a402-a382)=2d(a2+a4+a6+a8+a40)=4(20a2+201922d)=3120.