2022年新教材高考数学一轮复习 考点规范练7 函数的奇偶性与周期性（含解析）新人教版.docx

1、考点规范练7函数的奇偶性与周期性一、基础巩固1.设函数f(x)为偶函数,当x(0,+)时,f(x)=log2x,则f(-2)=()A.-12B.12C.2D.-2答案:B解析:由已知得f(-2)=f(2)=log22=12.故选B.2.函数f(x)=9x+13x的图象()A.关于原点对称B.关于x轴对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称答案:C解析:由于函数f(x)=9x+13x=3x+3-x的定义域为R,且满足f(-x)=3x+3-x=f(x),故该函数为偶函数,图象关于y轴对称,故选C.3.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=()A.1B.5C.-1D.-5

2、答案:B解析:令g(x)=f(x)+x,由题意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.4.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=()A.-3B.-54C.54D.3答案:A解析:因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.5.(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),当x0,3时,f(x)=x2-3x,下列等式成立的是()A.f(1 017)+f(1 018)=f(1 019)

3、B.f(1 017)+f(1 019)=f(1 018)C.2f(1 017)+f(1 018)=f(1 019)D.f(1 017)=f(1 018)+f(1 019)答案:ABC解析:由f(x-3)=-f(x),知f(x)=f(x+6),即函数f(x)的周期为6.又当x0,3时,f(x)=x2-3x,所以f(1017)=f(1696+3)=f(3)=0,f(1018)=f(1706-2)=f(-2)=-f(2)=2,f(1019)=f(1706-1)=f(-1)=-f(1)=2.故选项A,B,C正确.6.若f(x)是偶函数,且对任意x1,x2(0,+)且x1x2,都有f(x2)-f(x1)

4、x2-x1f-23f34B.f12f-34f23C.f34f-12f23D.f-34f23f12答案:A解析:对任意的x1,x2(0,+),都有f(x2)-f(x1)x2-x10,函数f(x)在区间(0,+)内单调递减.又1223f23f34.又f(x)是偶函数,f-23=f23,f12f-23f34.7.(多选)已知函数f(x)=1,x是有理数,0,x是无理数,则下列结论正确的是()A.f(x)的值域为0,1B.f(x)的定义域为RC.f(x+1)=f(x)D.f(x)是奇函数答案:BC解析:f(x)的值域为0,1,故A错误;f(x)定义域为R,故B正确;当x是有理数时,x+1也是有理数,当

5、x是无理数时,x+1也是无理数,故f(x+1)=f(x)成立,故C正确;因为f(0)=1,所以f(x)不是奇函数,故D错误.8.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=f(1),且f(0)=1,则f(2 020)的值为()A.1B.2C.-1D.-2答案:A解析:在f(x+2)+f(x)=f(1)中,令x=-1,得f(1)+f(-1)=f(1),即f(-1)=0,又f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=0,从而f(x+2)+f(x)=0,所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(2020)=f(4505)=f(0)=1.9.(

6、2021河北衡水中学高三月考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x)x的解集为.答案:x|x5,或-5x0解析:由已知得f(0)=0,当x0时,f(x)=-f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-x2-4x,所以f(x)=x2-4x,x0,-x2-4x,xx等价于x0,x2-4xx或xx,解得x5或-5x5,或-5x0在区间-1,3上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)(1,3)D.(-1,0)(0,1)答案:C解析:f(x)的图象如图所示.当x-1,0)时,由xf(x)0,得x(-1,0);当x0,1)时,由xf(x)0,得

7、x;当x1,3时,由xf(x)0,得x(1,3).故x(-1,0)(1,3).13.(2021全国,理12)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x1,2时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f92=()A.-94B.-32C.74D.52答案:D解析:f(x+1)是奇函数,f(-x+1)=-f(x+1).f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).f(x+2)是偶函数,f(x+2)=f(2-x),-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),f(x)是偶函数.f(x+4)=f(x+2)+2=

8、f-(x+2)+2=f(-x)=f(x),函数f(x)的周期为4,f(3)=f(1)=0.f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),f(0)=-f(2).当x1,2时,f(x)=ax2+b,由f(1)=0得a+b=0.f(0)+f(3)=6,f(0)=6,f(2)=-6,即4a+b=-6,a=-2,b=2,f92=f12=-f32=-2322+2=52.14.(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,则下列说法正确的是()A.函数f(x)是以2为周期的周期函数B.函数f(x)是以4为周期的周期函数C.函数f(x-1)为奇函数D.函数f(x-3)为偶函数答案:BC解析

9、:对于选项A,B,函数f(x)为偶函数,f(-x)=f(x).f(x)+f(2-x)=0,f(-x)+f(2+x)=0,则f(x)+f(2+x)=0,即f(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x)=f(x),故函数f(x)是周期为4的周期函数,由此可知选项A错误,选项B正确;对于选项C,令F(x)=f(x-1),则F(-x)=f(-x-1)=f(x+1).在f(x)+f(2+x)=0中,将x换为x-1,得f(x-1)+f(1+x)=0,得f(x+1)=-f(x-1),即F(-x)=-f(x-1)=-F(x),则函数F(x)=f(x-1)为奇函数,所以选项C正确.对于选项D,由题意不妨

10、取满足条件的函数f(x)=cos2x,则f(x-3)=cos2(x-3)=cos2x-32=-sin2x为奇函数,所以选项D错误.15.已知函数f(x)=ex-e-x(xR,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)0对一切的x都成立?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.解:(1)因为f(x)=ex-1ex,且y=ex单调递增,y=-1ex单调递增,所以f(x)单调递增.因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数,故f(

11、x-t)+f(x2-t2)0对一切xR恒成立,即f(x2-t2)f(t-x)对一切xR恒成立,即x2-t2t-x对一切xR恒成立,所以t2+tx2+x对一切xR恒成立,即存在实数t使得t+122x+12min2恒成立.故存在实数t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)0对一切x都成立.三、探究创新16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x0,1时,f(x)=3x.若12a34,则关于x的方程ax+3a-f(x)=0在区间-3,2上不相等的实数根的个数为.答案:5解析:f(x+2)=f(x),函数f(x)是周期为2的函数.若x-1,0,则-x0,1,此时f(-x)=-3x.由f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x)=-3x.由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x).设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间-3,2上的图象,如图所示.因为12a34,且当a=12和a=34时,对应的直线为图中的两条虚线,所以由图象知两个函数的图象有5个不同的交点,故方程有5个不同的根.