专题之研究新曲线题型-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）.doc

1、沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习专题之研究新曲线题型 教学目标初步了解研究新曲线题型的主要命题方式，并熟悉掌握一些基本的做法。【解读：研究新曲线题型难度较大】知识梳理 来源:学.科.网无典例精讲 【说明：此部分所给题量较大，难度也较大，大都是高考原题、一二模考题。各位老师可以根据学生的来源:学科网程度、是否做过等因素，自由组合课前作业、课堂例题、课堂练习、课后作业等。建议要优质生源使用，最好有课前作业，无需面面俱到，但是一定要讲透】例1.（）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两

2、个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。（1）若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？（3）如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法。（不必证明）解：（1）椭圆与相似。因为椭圆的特征三角形是腰长为，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为（2）椭圆的方程为：设，点，中点为，

3、则，所以，则 因为中点在直线上，所以有， ，即直线的方程为：，由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，即方程有两个不同的实数解，所以，即 来源:学。科。网（3）作法1：过原点作直线，交椭圆和椭圆于点和点，则和即为所求相似三角形，且相似比为。作法2： 过点A、点C分别做轴（或轴）的垂线，交椭圆和椭圆于点和点，则和即为所求相似三角形，且相似比为。【评述：此题向平面几何借鉴，给了相似的概念，第二问涉及了“对称”，第三问发散思维，难度不大。】例2.（）我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，如图，点，是相应椭圆的焦点，和，分别是“果圆”与，轴的交点yO.x.（1）若是边长为1的等边三角

4、形，求“果圆”的方程； （2）当时，求的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由解：（1） yO.Mx 于是所求“果圆”方程为（2）由题意，得即 得 又 （3）设“果圆”的方程为 记平行弦的斜率为当时，直线与半椭圆的交点是，与半椭圆的交点是的中点满足 得 ， 综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上 当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上 当时，可类似讨论得到平行弦中点

5、轨迹不都在某一椭圆上【评述：此题考查一个新定义，把常规的两个椭圆合并，其实考查的还是椭圆的相关知识，只要概念清晰。第三问，稍有难度，要先搞定在完整椭圆中的“平行弦”情况，再考虑现在与传统有什么区别，即可迎刃而解了。在这里，就是解决此类题目的技巧之一，新旧概念定义比较做法】例3.（）已知动直线交圆于坐标原点和点，交直线于点，若动点满足，动点的轨迹的方程为.（1）试用表示点、点的坐标；（2）求动点的轨迹方程；（3）以下给出曲线的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由.（若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分）（共8分） 对称性；（2分） 顶点坐标（定义：曲

6、线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点）；（2分） 图形范围；（2分） 渐近线；（3分） 对方程，当时，函数的单调性.（3分）解：（1），得或，即点.，得，即点.（2），则点的参数方程为（为参数）,消去参数，得. （3） 关于轴对称；将方程中的换成，方程的形式不变，则曲线C关于轴对称. 曲线的顶点为； 在方程中，令，得.则曲线C的顶点坐标为.来源:学_科_网 图像范围：； ，得. 直线是曲线的渐近线； ，当时，. 则直线是曲线的渐近线. 当时函数在上单调递增；. 设，则.则，即，所以当时函数在上单调递增. 【评述：此题考查了新曲线研究，第一问第二问都很常规，第三问选分做题，分值不同，自由组合。在这

7、里，是一种崭新的考法，建议学生不管如何选择，都依次做下来，这样前几个虽然简单，但是其实会对后面几个有帮助作用的】例4.（）已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.（1）求点到线段的距离；（2）设是长为2的线段，求点的集合所表示图形的面积；（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组.对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分. ，. ，. ，.解：（1）设是线段上任一点，则. 当时，. （2）不妨设、为线段的两个端点， 则为线段、线段、半圆、半圆所围成的区域.这是因为对，则；

8、而对，则；对，则.于是所表示的图形面积为.（3） 选择，. （12分） 选择，. 选择，.【评述：此题考查了新定义，其实难度并不大。第三问选分做题，很新颖。首先，此题是“定义了点到来源:Z#xx#k.Com线段的距离“，在这里可以引导学生，这个概念是“从点到直线的距离”引申出来的，那具体区别究竟在哪里？要让学生明白，主要就是搞懂第二问，原来是把平面分成四个部分来考虑的，左右就是点到点的距离，中间上下都是点到线段的距离，这样让学生了解本质了。其次，在学生做第三问时，无论不管如何选择，也建议学生可以依次做下来，有助于强化理解本质，会对最后那个有帮助作用的】巩固练习1.（）平面内一动点到两定点的距离

9、之积等于，（1）求动点的轨迹方程，用形式表示（2）类似高二第二学期教材（12.4椭圆的性质、12.6双曲线的性质、12.8抛物线的性质）中研究曲线的方法请你研究轨迹的性质，请直接写出答案（3）求周长的取值范围解:（1）,列式：,化简（2）性质：对称性：关于原点对称；关于轴对称；关于轴对称； 顶点：，； 的范围：； 的范围：；（3） 【评述：此题考查了新曲线研究，难度不大。但是最大难点，在于学生对教材不熟悉，不知道第二问该从哪几个方面入手，这就类似于：“函数基本性质究竟是哪几个？”。其实，这就要求学生要回归教材】2.（）给定椭圆： ，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”（1）若椭圆过点

10、，且焦距为，求“伴随圆”的方程；（2）如果直线与椭圆的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点 轨迹的大致图形；（3）已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆上一动点满足设点是椭圆的“伴随圆”上的动点，过点，作直线使得与椭圆都各只有一个交点，且分别交其“伴随圆”于点研究：线段的长度是否为定值，并证明你的结论解：（1）由题意得：，则；又由焦距为，所以焦距为故所求的“伴随圆”的方程为（2）由于椭圆的“伴随圆”与直线有且只有一个交点，则圆心到直线的距离等于半径，即 故动点 轨迹方程为即动点的轨迹是：以原点为圆心半径为的圆上八分之一弧（除去两端点）如图（3）由题意得：得，半焦距，则，椭圆的方程为“伴随圆”的

11、方程为 当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个交点，则其方程为或当方程为时，此时与“伴随圆”交于点此时经过点（或），且与椭圆只有一个公点的直线（或），即为（或）显然直线垂直；同理可证方程为时 ，直线垂直，所以 当都有斜率时，设点，其中。设经过点与椭圆只有一共点的直线为，则消去，得，即经过化简得到：因为，所以有 设的斜率分为，因为与椭圆都有只有一个交点，所以满足方程。所以，即垂直综合、知：因为经过点，又分别交其“伴随圆”于点，且垂直，所以线段为“伴随圆”的直径，所以【评述：此题考查了新定义研究，曲线生成，难度不大。第二问容易多画，范围问题要注意。第三问其实很常规，但是计算量较大，这

12、也是解析几何的命题特点】3.（）现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）。在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）。在直角坐标平面内，我们定义两点间的“直角距离”为：（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标。（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）求到两定点F1、F2的“直角距离”和为定值的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹。（在以下三个条件中任选一个做答，多做不计分，基保选择条件，满分3分；条件满分4分；条件，满分6分） ； ； ；（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的

13、坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）。 到两点“直角距离”相等； 到两点“直角距离”和最小。；【评述：此题考查了新曲线研究，难度不大。绝对值方程，分类讨论，描点法即可】回顾总结 通过本专题的学习，你对研究新曲线题型了解了多少？有没有发现这些题目在命题特点上和解法上有没有什么共性？涉及到了哪些知识点？又要注意些什么？常见题型：（1）研究新曲线方程。这类题，也有两种不同的类型。一个是根据定义性质，或者方程，画出图像，就是成功；另一个就是根据方程，或者图像，代数运算，得到性质。（2）新定义概念、法则、运算等。这类定义，往往是原有定义推广变化出来的，所以一定要对原有定义很熟悉，找出两者的真正区别，掌握新定义的本质，即可迎刃而解了。（3）生成类型。这类题，是由已知曲线生成新曲线，难度不大，还是属于常规考法。（4）新颖考法。近年的创新，例如选分做题，自由组合做题等。还是要抓住本质，建议从简单的做起。