2022年高考数学一轮复习 专题六 数列 2 等差数列 综合集训（含解析）新人教A版.docx

1、等差数列基础篇【基础集训】考点一等差数列的有关概念及运算1.若an为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于()A.-2B.-12C.12D.2答案B2.已知在等差数列an中,a1=1,a3=2a+1,a5=3a+2,若Sn=a1+a2+an,且Sk=66,则k的值为()A.9B.11C.10D.12答案B3.设等差数列an满足3a8=5a15,且a10,Sn为其前n项和,则数列Sn的最大项为()A.S23B.S24C.S25D.S26答案C4.已知数列an满足a1=12,且an+1=2an2+an.(1)求证:数列1an是等差数列;(2)若bn=anan+1,求数列bn的前n项

2、和Sn.考点二等差数列的性质5.设Sn是等差数列an的前n项和,若a6a5=911,则S11S9=()A.1B.-1C.2D.12答案A6.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3=52,S9=9,则a7=()A.12B.1C.-12D.2答案C7.已知数列an是公差为d的等差数列,Sn为其前n项和,若S20172017-S1717=100,则d的值为()A.120B.110C.10D.20答案B8.在等差数列an中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=.答案749.已知An及Bn是等差数列an、bn的前n项和,且AnBn=3n+14n+1,则a11b11=.答案648510.已知数列

3、an是等差数列.(1)前四项和为21,末四项和为67,且各项和为286,求项数;(2)项数为奇数,奇数项和为44,偶数项和为33.求数列的中间项和项数.教师专用题组【基础集训】考点一等差数列的有关概念及运算1.已知等差数列an中,a2=1,前5项和S5=-15,则数列an的公差为()A.-3B.-52C.-2D.-4答案D设等差数列an的公差为d,因为a2=1,S5=-15,所以a1+d=1,5a1+542d=-15,解得d=-4,故选D.2.(2019福建龙岩新罗模拟,12)已知等差数列an的公差为-2,前n项和为Sn,a3,a4,a5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120,若Sn

4、Sm对任意的nN*恒成立,则实数m=()A.7B.6C.5D.4答案B等差数列an的公差为-2,又a3,a4,a5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120,a32=a42+a52-2a4a5cos120,即(a4+2)2=a42+(a4-2)2+2a4(a4-2)12, 整理为a42-5a4=0,又a40,a4=5,a3=7,a5=3,a6=1,a7=-1.SnSm对任意的nN*恒成立,实数m=6.故选B.3.(2020浙江慈溪期中,11)设等差数列an的前n项和为Sn(nN*),若a1=3,a5=-11,则a3=,S5=.答案-4;-20解析本题考查等差数列的前n项和、通项公式及性质

5、;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.解法一:由2a3=a1+a5,得a3=3-112=-4.S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=-20.解法二:设等数列an的公差为d,由a1=3,a5=a1+4d=-11,得a1=3,d=-72,所以a3=a1+2d=-4,S5=5a1+542d=-20.考点二等差数列的性质及应用(2018河北唐山第二次模拟,7)设an是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.2X+Z=3YB.4X+Z=4YC.2X+3Z=7YD.8X+Z=6Y答案D设数列an的前3n项和为R,则由等差数列的性

6、质得X,Y-X,R-Y,Z-R成等差数列,所以2(Y-X)=X+R-Y,得R=3Y-3X,又因为2(R-Y)=Y-X+Z-R,把R=3Y-3X代入得8X+Z=6Y,故选D.综合篇【综合集训】考法一等差数列的判定与证明1.(2019河北冀州模拟,9)已知an,bn均为等差数列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由an,bn的公共项组成新数列cn,则c10=()A.18B.24C.30D.36答案C2.(2021届湖北宜昌葛洲坝中学9月月考)已知数列an满足a1=3,(n+2)an+1=(n+3)an+n2+5n+6(nN*).(1)证明:ann+2为等差数列;(2)设bn=1an(nN*

7、),求数列bn的前n项和Sn.考法二等差数列前n项和及性质问题3.(2020福建泉州毕业班适应性线上测试)已知an是公差为3的等差数列.若a1,a2,a4成等比数列,则an的前10项和S10=()A.165B.138C.60D.30答案A4.(2020浙江高中发展共同体期末)已知an是公差为d的等差数列,前n项和是Sn,若S9S80,S170B.d0,S170,S180,S180答案D5.(2021届江苏启东中学检测,19)在公差不为0的等差数列an中,a1,a4,a8成等比数列.(1)已知数列an的前10项和为45,求数列an的通项公式;(2)若bn=1anan+1,且数列bn的前n项和为T

8、n,若Tn=19-1n+9,求数列an的公差.6.(2020河北邯郸空中课堂备考检测,17)数列an是公差不为0的等差数列,若a4=2a2,且4,a4,a8成等比数列.(1)证明:4是数列an中的一项;(2)记Sn为数列an的前n项和,求数列1Sn的前n项和Tn.教师专用题组【综合集训】考法一等差数列的判定与证明1.(2019广东珠海3月联考,5)已知数列an中,a1=1,Sn+1Sn=n+1n,则数列an()A.既非等差数列,又非等比数列B.既是等差数列,又是等比数列C.仅为等差数列D.仅为等比数列答案B根据题意,数列an中,Sn+1Sn=n+1n,则SnSn-1=nn-1(n2),则Sn=

9、SnSn-1Sn-1Sn-2S2S1S1=nn-1n-1n-2211=n(n2),当n=1时,S1=a1=1符合,则当n2时,an=Sn-Sn-1=n-(n-1)=1,当n=1时,a1=1符合,故an=1(nN*),则数列an为非零的常数列,它既是等差数列,又是等比数列,故选B.2.(202053原创题)数列an满足a1=1,an+1=3an-14an-1.(1)求证:12an-1是等差数列;(2)求an.解析(1)证明:12an+1-1-12an-1=123an-14an-1-1-12an-1=4an-12(3an-1)-(4an-1)-12an-1=4an-12an-1-12an-1=2,

10、因此12an-1是等差数列.(2)由(1)知,12an-1是以12a1-1=1为首项,2为公差的等差数列,故12an-1=2n-1,解得an=n2n-1.3.(2018山东济南一中1月检测,18)各项均不为0的数列an满足an+1(an+an+2)2=an+2an,且a3=2a8=15.(1)证明:数列1an是等差数列,并求数列an的通项公式;(2)若数列bn的通项公式为bn=an2n+6,求数列bn的前n项和Sn.解析(1)依题意,an+1an+an+2an+1=2an+2an,两边同时除以anan+1an+2,可得1an+2+1an=2an+1,故数列1an是等差数列.设数列1an的公差为

11、d.因为a3=2a8=15,所以1a3=5,1a8=10,所以1a8-1a3=5=5d,即d=1,故1an=1a3+(n-3)d=5+(n-3)1=n+2,故an=1n+2.(2)由(1)可知bn=an2n+6=121(n+2)(n+3)=121n+2-1n+3,故Sn=1213-14+14-15+1n+2-1n+3=n6(n+3).4.(2019浙江金丽衢联考,20)已知数列an,a1=2,a2=6,且满足an+1+an-1an+1=2(n2且nN*).(1)求证:an+1-an为等差数列;(2)令bn=10(n+1)an-12,设数列bn的前n项和为Sn,求S2n-Sn的最大值.解析(1)

12、证明:由an+1+an-1an+1=2得an+1+an-1=2an+2,则(an+1-an)-(an-an-1)=2.又a2-a1=4,所以an+1-an是首项为4,公差为2的等差数列.(5分)(2)当n2时,由(1)知an=(an-an-1)+(a2-a1)+a1=2n+4+2=2n(n+1)2=n(n+1).当n=1时,a1=2满足an=n(n+1),故an=n(n+1).(8分)bn=10(n+1)n(n+1)-12=10n-12.Sn=101+12+1n-n2,S2n=101+12+1n+1n+1+1n+2+12n-2n2.设Mn=S2n-Sn=101n+1+1n+2+12n-n2,(

13、11分)Mn+1=101n+2+1n+3+12n+12n+1+12n+2-n+12,Mn+1-Mn=1012n+1+12n+2-1n+1-12=1012n+1-12n+2-12=10(2n+1)(2n+2)-12.当n=1时,Mn+1-Mn=1034-120,即M1M2;当n2时,Mn+1-MnM3M4,Mn的最大值为M2,M2=1013+14-1=296,即S2n-Sn的最大值为S4-S2=296.(15分)考法二等差数列前n项和及性质问题1.(2018广东汕头模拟,8)已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=9,S99-S55=-4,则Sn取最大值时的n为()A.4B.5C.6D.4或5答

14、案B由an为等差数列,得S99-S55=a5-a3=2d=-4,即d=-2,由于a1=9,所以an=-2n+11,令an=-2n+110,得n0,若a1+a3+a5+a201=2020,则a2a200的最大值是.答案400解析易知a1,a3,a5,a201成等差数列,且项数为101,由等差数列求和公式得(a1+a201)1012=2020,故a1+a201=40,因为an0,所以由基本不等式知a2a200a2+a20022=a1+a20122=400.故a2a200的最大值是400.4.(2018山东青岛调研,17)已知Sn是数列an的前n项和,Sn=32n-3,其中nN*.(1)求数列an的

15、通项公式;(2)数列bn为等差数列,Tn为其前n项和,b2=a5,b11=S3,求Tn的最值.解析(1)由Sn=32n-3,nN*,得(i)当n=1时,a1=S1=321-3=3.(ii)当n2时,an=Sn-Sn-1=(32n-3)-(32n-1-3)=3(2n-2n-1)=32n-1(*).又当n=1时,a1=3也满足(*)式.所以,对任意nN*,都有an=32n-1.(2)解法一:设等差数列bn的首项为b1,公差为d,由(1)得b2=a5=325-1=48,b11=S3=323-3=21.由等差数列的通项公式得b2=b1+d=48,b11=b1+10d=21,解得b1=51,d=-3.所以bn=54-3n.bn+1-bn=-30,当n19时,bn0.所以Tn有最大值,无最小值,且T18(或T17)为Tn的最大值,T18=18(b1+b18)2=9(51+0)=459.解法二:由解法一可知Tn=51n+n(n-1)2(-3)=-32n2+1052n=-32(n2-35n)=-32n-3522-12254=-32n-3522+36758,nN*,当n=17或18时,Tn有最大值,T17=T18=459.