2022年高考数学一轮复习 单元质检九 解析几何（含解析）新人教A版（理）.docx

1、单元质检九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0答案:D解析:设所求直线方程为3x-4y+m=0,由|m-1|5=3,解得m=16或m=-14.即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.2.若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案:D解析:y2=2px

2、的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(3p-p,0),3p-p=p24,解得p=8,故选D.3.若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.233答案:A解析:可知双曲线C的渐近线方程为bxay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为2ba2+b2=22-12=3,即2bc=3,所以c=2a,所以e=2,故选A.4.抛物线y2=8x的焦点到双曲线x212-y24=1的渐近线的距离为()A.1B.3C.33D.36答案:A解析:抛物线

3、y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线x212-y24=1的渐近线x3y=0的距离d=|20|1+3=1.5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()A.33B.22C.14D.12答案:D解析:由题意可知2n2=2m2+c2.因为m2+n2=c2,所以m=c2.因为c是a,m的等比中项,所以c2=am,代入m=c2,解得e=ca=12.6.(2020全国,理5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离

4、为()A.55B.255C.355D.455答案:B解析:由题意可知,圆心在第一象限.设圆心为(a,a)(a0),则(2-a)2+(1-a)2=a2,解得a=1或a=5.当a=1时,圆心为(1,1),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d1=|2-1-3|5=255.当a=5时,圆心为(5,5),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为d2=|25-5-3|5=255.综上,圆心到直线2x-y-3=0的距离为255.故选B.7.已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则ABF1内切圆的半径为()A.43B.1C.45D.34答案:D解

5、析:由x24+y23=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知ABF1的周长为4a=8,ABF1的面积为12|F1F2|yA-yB|=1223=3=128r,解得r=34,故选D.8.若双曲线的中心为原点,F(0,-2)是双曲线的焦点,过F的直线l与双曲线相交于M,N两点,且MN的中点为P(3,1),则双曲线的方程为()A.x23-y2=1B.y2-x23=1C.y23-x2=1D.x2-y23=1答案:B解析:由题意设该双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),M(x1,y1),N(x2,y2),则y12a2-x12b2=1,且y22a2-x22b2=1,则(y1+y2)(y1-

6、y2)a2=(x1+x2)(x1-x2)b2,即2(y1-y2)a2=6(x1-x2)b2,则y1-y2x1-x2=6a22b2=1-(-2)3-0=1,即b2=3a2,则c2=4a2=4,所以a2=1,b2=3,即该双曲线的方程为y2-x23=1.故选B.9.我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,e1,e2分别是椭圆和双曲线的离心率,若P为它们在第一象限的交点,F1PF2=60,则双曲线的离心率e2=()A.2B.2C.3D.3答案:C解析:设F1(-c,0),F2(c,0),椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为m,可得|PF

7、1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2m,可得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60,即有4c2=(a+m)2+(a-m)2-(a+m)(a-m)=a2+3m2,由离心率公式可得1e12+3e22=4,e1e2=1,即有e24-4e22+3=0,解得e2=3.10.(2020全国,理10)若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为()A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+12答案:D解析:由y=x得y=12x,设直线l与曲线y=x的切点为(x0,

8、x0),则直线l的方程为y-x0=12x0(x-x0),即12x0x-y+12x0=0,由直线l与圆x2+y2=15相切,得圆心(0,0)到直线l的距离等于圆的半径r=55,即|12x0|14x0+1=55,解得x0=1(负值舍去),所以直线l的方程为y=12x+12.11.已知抛物线y2=2px(p0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.42答案:B解析:因为双曲线的离心率为2,所以e2=c2a2=a2+b2a2=4,即b2=3a2,所以双曲线x2

9、a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线方程为y=3x,代入y2=2px(p0),得x=23p或x=0,故xA=xB=23p.又因为|AF|=xA+p2=23p+p2=7,所以p=6.12.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A,B是C上两动点,且AFB=(为常数),线段AB中点为M,过点M作l的垂线,垂足为N,若|AB|MN|的最小值为1,则=()A.6B.4C.3D.2答案:C解析:如图,过点A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P.设|AF|=a,|BF|=b,连接AF,BF,由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,2|

10、MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos.|AB|MN|的最小值为1,a2+b2-2abcos(a+b)24,当=3时,不等式恒成立.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=.答案:2解析:由题意知a=1,b=m,m0,c=a2+b2=1+m,则离心率e=ca=1+m=3,解得m=2.14.抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则p的值为.答案:8解析:设OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O

11、|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.又因为O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1p4,22p.又因为圆面积为36,所以半径为6,所以p216+12p2=36,所以p=8.15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为.答案:233解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,MAN=60,|AP|=32b,|OP|=|OA|2-|PA|2=a2-34b2.设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为,则tan=|AP

12、|OP|=32ba2-34b2.又tan=ba,32ba2-34b2=ba,解得a2=3b2,e=1+b2a2=1+13=233.16.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若AMB=90,则k=.答案:2解析:设直线AB:x=my+1,联立x=my+1,y2=4xy2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).AMB=90,MAMB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1

13、)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0.m=12.k=1m=2.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由y=2x-4,y=x-1,得圆心C(3,2).又因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即

14、kx-y+3=0,则|3k-2+3|k2+1=1,所以|3k+1|=k2+1,即2k(4k+3)=0.所以k=0或k=-34.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-34x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+y-(2a-4)2=1.又因为|MA|=2|MO|,所以设M(x,y),则x2+(y-3)2=2x2+y2,整理得x2+(y+1)2=4.设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以2-1a2+(2a-4)-(-1)22+1,解得a的取值

15、范围为0,125.18.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为154,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且PF1F2的周长是8+215.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2+y2=49,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.解:(1)由题意,得e=ca=154=a2-b2a,可知a=4b,c=15b.PF1F2的周长是8+215,2a+2c=8+215,a=4,b=1.椭圆C的方程为x216+y2=1.(2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率,则设其方程为l:y=kx+1,由直线

16、y=kx+1与圆T相切可知|2k+1|1+k2=23,即32k2+36k+5=0,k1+k2=-98,k1k2=532.由y=k1x+1,x216+y2=1,得(1+16k12)x2+32k1x=0,xE=-32k11+16k12.同理xF=-32k21+16k22,kEF=yE-yFxE-xF=k1xE-k2xFxE-xF=k1+k21-16k1k2=34.故直线EF的斜率为34.19.(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得F(1,0),l的

17、方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y

18、0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.20.(12分)已知在ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A的轨迹M的方程;(2)P为轨迹M上的动点,PBC的外接圆为O1,当点P在轨迹M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.解:(1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义.设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0且y0),所以有|BC|=2c=2,|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,b=3.所以动点A的轨迹M满足的方程为x24+y23=1(y0).(2)设P(x0,y0),不

19、妨设00),p2=2,解得p=4.抛物线E的方程为y2=8x.(2)2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r,|AB|+|CD|=4|BC|=42r=8.|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.讨论:若l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,解得y=4.此时|AD|=8,不满足题意;若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k0),此时l的方程为y=k(x-2),由y=k(x-2),y2=8x,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=4k2+8k2.抛物线E的准线方程为x=-2,|AD|=|AF|+|DF|=(x1

20、+2)+(x2+2)=x1+x2+4.4k2+8k2+4=10,解得k=2.当k=2时,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化为x2-6x+4=0,(-6)2-4140,x2-6x+4=0有两个不相等实数根.k=2满足题意.存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.22.(12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P,证明:存在常数,使得|PT|2=

21、|PA|PB|,并求的值.解:(1)由已知,a=2b,则椭圆E的方程为x22b2+y2b2=1.由方程组x22b2+y2b2=1,y=-x+3消去y,得3x2-12x+(18-2b2)=0.方程的判别式为=24(b2-3),由=0,得b2=3,此时方程的解为x=2,所以椭圆E的方程为x26+y23=1,点T的坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l的方程为y=12x+m(m0),由方程组y=12x+m,y=-x+3,可得x=2-2m3,y=1+2m3.所以点P的坐标为2-2m3,1+2m3,|PT|2=89m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组x26+y23=1,y=12x+m消去y,得3x2+4mx+(4m2-12)=0.方程的判别式为=16(9-2m2).由0,解得-322m322.由得x1+x2=-4m3,x1x2=4m2-123.所以|PA|=2-2m3-x12+1+2m3-y12=522-2m3-x1,同理|PB|=522-2m3-x2.所以|PA|PB|=542-2m3-x12-2m3-x2=542-2m32-2-2m3(x1+x2)+x1x2=542-2m32-2-2m3-4m3+4m2-123=109m2.故存在常数=45,使得|PT|2=|PA|PB|.