2022新教材高中数学 第五章 函数应用 2 实际问题中的函数模型 2.docx

1、第五章22.1A组素养自测一、选择题1某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960卖出，这两台取暖器卖出后，该商场(C)A不赚不亏B赚了80元C亏了80元D赚了160元解析设第1台原价x1，第2台原价x2，则x1(120%)960得x1800，x2(120%)960，得x21200，9602(8001200)80.选C2用长度为24m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为(A)A3mB4mC6mD12m解析设矩形的长为x，则宽为(242x)，则矩形的面积为S(242x)x(x212x)(x6)218，所以当x6时，

2、矩形的面积最大，此时隔墙的长度应为3m.3某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为yx280x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为(D)A52B52.5C53D52或53解析因为利润收入成本，当产量为x件时(xN)，利润f(x)25x(x280x)，所以f(x)105xx2，所以x52或x53时，f(x)有最大值4某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y其中x代表拟录用人数，y代表面试人数若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(C)A15B40C25D130解析令y60，若4x60，则x1510，不合题意；若2x1060，则

3、x25，满足题意；若1.5x60，则x40100，不合题意故拟录用25人5如图1，动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿BCDA的顺序运动，得到以点P运动的路程x为自变量，ABP的面积y为因变量的函数的图象，如图2，则梯形ABCD的面积是(B)A96B104C108D112解析从图2可看出，BC8，CD10，DA10，在图1中，过点D作AB的垂线，垂足为E，可推得AE6，AB16，所以梯形的面积为(DCAB)BC(1016)8104，故选B6(福建高考题)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是

4、(C)A80元B120元C160元D240元解析设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为m，依题意，得y204108020160，当且仅当x，即x2时，等号成立，y取得最小值，即ymin160.所以该容器的最低总造价为160元故选C二、填空题7某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是_yx(xN)_解析依题意，设新价为b，则有b(120%)a(125%)b(120%)25%.化简，得b

5、a.yb20%xa20%x，即yx(xN)8某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本就增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)4QQ2，那么总利润L(Q)的最大值是_250_万元，这时产品的产量为_300_(总利润总收入成本)解析L(Q)4QQ2(200Q)(Q300)2250，则当Q300时，总利润L(Q)取最大值250万元9某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%，试问，大约使用_4_年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元解析设使用x年后

6、花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得14.4(10.9x)2.4x14.4化简得x60.9x0，令f(x)x60.9x易得f(x)为递增函数，又f(3)1.3740，f(x)在(3，4)上有一个零点，故大约使用4年后，用在该车上费用达到14.4万元三、解答题10(10分)有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所透过的光线最多？并求出窗户面积的最大值解析设小矩形的长为x，宽为y，窗户的面积为S，则由题图可得9xx6yl，所以6yl(9)x，所以Sx24xyx2xl(9)xx2lx.要使窗户所透过的光

7、线最多，只需窗户的面积S最大由6y0，得0x.因为0，所以当x，y，即时，窗户的面积S有最大值，且Smax.11(10分)国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止旅行社需支付各种费用共计15000元(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解：(1)当0x30时，y900；当30x75，y90010(x30)120010x.即y(2)设旅行社所获利润为S元，则当0x30时，S900x15000；当30x

8、75时，Sx(120010x)1500010x21200x15000.即S因为当0x30时，S900x15000为增函数，所以x30时，Smax12000；当30x75时，S10x21200x1500010(x60)221000，即x60时，Smax2100012000.所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润B组素养提升一、选择题1如图所示，从某幢建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是(B)A2mB3mC4mD5m解析以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直

9、角坐标系，设抛物线方程是ya(x1)2，由条件(0，10)在抛物线上，可得10a，a，所以y(x1)2，设B(x，0)(x1)，代入方程得：(x1)24，所以x3.2某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；若顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为(A)A1500元B1550元C1750元D1800元解析设该顾客在此商场的购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元由

10、题可知，yy5025，x1300，0.1(x1300)2550，解得x1550.1550501500(元)故此人购物实际所付金额为1500元3(多选)在某种金属材料的耐高温试验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示给出下列说法，其中正确的是(BD)A前5min温度增加的速度越来越快B前5min温度增加的速度越来越慢C5min以后温度保持匀速增加D5min以后温度保持不变E温度随时间的变化情况无法判断解析温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量t，则y相应的增量y越来越小，而5min后y关于t的增量保持为0，则BD正确4某单位准备印制一批证书，现有

11、两个印刷厂可供选择，甲厂费用为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则(ABC)A甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y10.5x1C当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用解析由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y10.5x1，故A、B正

12、确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为321.5元，故C正确；当x8时，y10.5815，y28，因为y1y2，所以当印制8千个证书时，选择乙厂更节省费用，故D不正确二、填空题5某零售商购买某种商品的进价P(单位：元/千克)与数量x(单位：千克)之间的函数关系的图象如图所示现此零售商仅有现金2700元，他最多可购买这种商品_90_千克解析由题意得，购买这种商品所需费用y(单位：元)与数量x(单位：千克)之间的函数关系式为y从而易得3050270030100，即该零售商购买这种商品的数量应在50千克与100千克之间，故最多可购买这种商品90(千克)6甲工厂八年来某种产品的年产量

13、y与年份代号x的函数关系如图所示现有下列四种说法：前三年该产品的年产量增长速度越来越快；前三年该产品的年产量增长速度越来越慢；第三年后该产品停止生产；第三年后该产品的年产量保持不变其中说法正确的是_解析设年产量y与年份代号x的关系为f(x)，由图，可知前三年该产品的年产量的增长速度越来越慢，故错误，正确；由图，可知从第四年开始该产品的年产量不发生变化，且f(4)0，故错误，正确7某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y5x4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为_800_副解析由5x400010x，解得x800，即日产手套至少为800副时才不亏本

14、三、解答题8某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法实践表明：礼品的价格为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价格为(n1)元时比礼品价格为n(nN )元时的销售量增加10%.设未赠送礼品时的销售量为m件(1)写出礼品价格为n元时，利润yn(单位：元)与n(单位：元)的函数关系式；(2)请你设计礼品的价格，以使商店获得最大利润解析(1)当礼品价格为n元时，销售量为m(110%)n件，故利润yn(10080n)m(110%)nm(20n)1.1n(0n20，nN)(2)令yn1yn0，即m(19n) 1.1n1m(20n)1.1n

15、0，解得n9.所以y1y2y3y11y12y13y19.所以礼品价格为9元或10元时，商店获得最大利润9某创业团队拟生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比(如图1)，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2)(注：利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A，B两种产品的利润f(x)，g(x)表示为投资额x的函数；(2)该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入A，B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？解析：(1)由题意可设f(x)k1x，g(x)k2，则f(1)k10.25，g(4)2k22.5，k21.25.所以f(x)0.25x(x0)，g(x)1.25(x0)(2)设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为(10x)万元yf(10x)g(x)0.25(10x)1.25(0x10)，令t，则y0.25t21.25t2.5，所以当t2.5，即x6.25时，收益最大，ymax万元答：投资B产品6.25万元，A产品3.75万元时，能获得最大利润，最大利润为万元