河北省沧州市第一中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题（含解析）.doc

1、河北省沧州市第一中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题（含解析）（满分：150分，测试时间：120分钟）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“，”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】全称命题改否定，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否定即可.【详解】命题“，”的否定是: ,故选B【点睛】本题考查全称命题的否定，全称命题（特称命题）改否定，首先把全称量词（特称量词）改成特称量词（全称量词），然后把后面结论改否定即可.2. “”是“”的（ ）A.

2、充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，不等式可化为，即，解得，即不等式的解集为，所以“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分不必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取

3、的初中生近视人数分别为（ ） A. 100，90B. 200，27C. 200，20D. 200，90【答案】B【解析】【分析】首先根据扇形统计图中的数据求出学生总数，接下来结合已知求出样本容量，根据上述所求进一步求出抽取的初中学生人数，然后结合图2进行解答即可.【详解】由图甲可知，学生总数为（人），故抽取的样本容量为（人），其中抽取的初中学生有（人）；由图乙可知，初中生近视率为，抽取的初中生近视人数为（人）.故选：B.【点睛】本题主要考查的是统计图及分层抽样的应用，解答本题的关键是能从图中获取关键信息，接下来结合已知中的数据进行解答即可，属于常考题.4. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，一个

4、焦点坐标为，则该双曲线的方程是（ ）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】【分析】根据两条渐近线垂直可得，再根据可求，从而可得正确的选项.【详解】因为渐近线互相垂直，故，故，又，故，故双曲线的方程是. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线方程的求法，此类问题，根据题设条件求出即可，本题属于基础题.5. 某班统计某次数学测试的平均数与方差，计算完毕才发现有位同学的试卷未登分，只好重算一次.已知第一次计算所得的平均数和方差分别为，重算时的平均数和方差分别为，若此同学的得分恰好为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】运用平均数和方差的运算方法分别计算出第一次和第二次的结果，然

5、后进行比较，得到结果.【详解】设这个班有n个同学，除被忘记登分的同学外的分数分别是，被忘记登分的同学的分数为，则 所以，方差， 因为 将代入到得：故故选：A【点睛】本题考查了平均数和方差的知识，只要运用其计算方法即可得到结果，本题较为简单.6. 过点，焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设所求椭圆的方程为，将点代入椭圆的方程，求得，即可求解.【详解】因为所求椭圆与椭圆有相同的离心率，可设所求椭圆的方程为，又由椭圆过点，代入椭圆方程，可得，解得，即所求椭圆的方程为，即.故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，以及椭圆

6、的几何性质的应用，其中解答中熟练应用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.7. 已知是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线C交于P、Q两点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本道题先设出P,Q坐标,然后利用直角三角形性质,建立等式,计算e，即可【详解】设,结合直角三角形满足的定理可知,将PQ直线方程,代入双曲线方程,得到:,而,结合代入PQ中,得到,解得,即可.故选:C【点睛】本道题考查了直线与双曲线位置关系问题，难度较大8. 已知椭圆，为其两焦点，过的直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B.

7、C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题中条件，得到，记，由椭圆定义，得到，结合余弦定理，分别求，即可求出离心率.【详解】因为，则，记，由椭圆的定义可得，又，所以；，所以，则，即，所以离心率为.故选：B.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 下列命题正确的是（ ）A. 是的充分不必要条件B. 是的充分不必要条件C. 是的必要不充分条件D. 在中，是的充要条件【答案】CD【解析】【分析】利用充

8、分条件、必要条件的定义逐一判断每个选项，即得正确选项.【详解】对于A，当时，不能推出,反之，故是的必要不充分条件，故A错误；对于B,当时，不能推出成立，反之，则，可以推出，则是的必要不充分条件，故B错误；对于C, 由可知，当时，不成立，反之，可得，则有，故C正确；对于D, 在中，由正弦定理得sinBsinC,故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查了充分、必要条件的判定，推理能力与计算能力，属于基础题.10. 若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（ ）A. 若，则C为椭圆B. 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则C. 曲线C可能是圆D. 若C为双曲线，则【答案】AD【解析】【分析】根据题意

9、依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，当时，曲线为C表示圆，故不正确；对于B选项，当曲线C为焦点在轴上的椭圆时，则，解得，故正确；对于C选项，当时，曲线为C表示圆的方程，故正确；对于D选项，当曲线C为双曲线时，则，解得或，故错误；综上，错误的是AD.故选：AD.【点睛】本题考查椭圆，双曲线的方程，考查运算能力，是基础题.11. 某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为的名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题：你的编号是否为奇数？问题：你是否经常吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球个，红球个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则

10、如实回答问题，摸到红球则如实回答问题，回答“是”的人在一张白纸上画一个“”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案.最后统计得出，这人中，共有人回答“是”，则下列表述正确的是（ ）A. 估计被调查者中约有人吸烟B. 估计约有人对问题的回答为“是”C. 估计该地区约有的中学生吸烟D. 估计该地区约有的中学生吸烟【答案】BC【解析】【分析】根据题意知被调查者回答第一个问题的概率为，其编号为奇数的概率也是，计算可得出随机抽出的名学生中回答第一个问题且为“是”的学生人数，由此可求出回答第二个问题且为“

11、是”的学生人数，由此可估计此地区中学生吸烟人数的百分比，进而可估计出被调查者中吸烟的人数，判断选项即可得出结论.【详解】随机抽出的名学生中，回答第一个问题的概率是，其编号是奇数的概率也是.所以回答问题且回答的“是”的学生人数为；回答问题且回答的“是”的人数为.由此可估计该地区中学生吸烟人数的百分比为，估计被调查者中吸烟的人数为.故选：BC.【点睛】本题考查利用样本的数字特征估计总体的数字特征，同时也考查了抽样方法的应用，考查计算能力，属于中等题.12. 已知双曲线，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的值可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】设点，可得或，且有，求

12、得，设，利用二次函数的基本性质求得函数在上的值域，由此可得出合适的选项.【详解】设点，则或，且有，可得，令，其中或，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.当时，函数单调递减，此时；当时，函数单调递增，此时.综上所述，函数在上的值域为.因此，的值可以是、.故选：BCD.【点睛】本题考查双曲线中向量的数量积，考查了双曲线范围的应用以及二次函数值域的应用，考查计算能力，属于中等题.第卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 从1，2，3，4这四个数字中一次随机地抽取两个数，则所取两个数的乘积是6的倍数的概率为_.【答案】【解析】【分析】利用列举法可求基本事件的总

13、数和随机事件中含有的基本事件的个数，从而可求概率.【详解】从1，2，3，4中一次随机抽取两个数，所有的基本事件如下：，共6个.设为：“所取两个数的乘积是6的倍数”，则含有的基本事件如下：，故.故答案为：.【点睛】本题考查古典概型概率计算，此类问题，可用列举法、树形图法等求出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，本题属于基础题.14. 已知直线a，b的方向向量分别为和，若，则_.【答案】6【解析】【分析】先根据两直线平行得到直线的方向向量共线，列出关于的方程，由此求解出的值即可.【详解】因为，所以，解得：，故答案为：.【点睛】本题考查根据空间向量的共线关系求解参数，难度较易.已知，若，

14、则.15. 过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程_.【答案】【解析】【分析】设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，结合为弦的中点，求出弦所在直线的斜率，即可得到直线的方程【详解】解：设直线与椭圆的交点为，为的中点，所以，又、两点在椭圆上，则，两式相减得，所以，即，故所求直线方程为，即.故答案为.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题16. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于，两点（设点在第一象限），记的内切圆半径为，的内切圆半径为，则的值等于_.【答案】【解析】【分析】先由题意，

15、得，直线的方程为，求出，得值，由，化简整理，即可得的值.【详解】由题意得：，由过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，设点在第一象限，则直线的方程为，由得，解得，则或，过点作轴于点，过点作轴于点，则易得，因此，根据双曲线的定义可得，所以，又的内切圆半径为，的内切圆半径为，则，因此，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，考查求直线与双曲线交点问题，考查转化思想与应用能力，属于中档题.三、解答题：本题共6小题，共70分.17. 已知命，；，.（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；（2）若命题p为假且命题q为真，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】

16、（1）利用参变分离可求实数a的取值范围；（2）利用判别式为非正可求q为真时实数a的取值范围，结合（1）中的结论可求实数a的取值范围.【详解】解：（1）由为真，得，使得，设，则，.（2）由（1）知p为真时，所以若p为假，则q为真，由，得.【点睛】本题考查复合命题的真假、一元二次不等式的有解与恒成立问题，后者注意区分是上的恒成立问题有解问题还是为非上的恒成立有解问题，两者的处理方式是有区别的，本题属于基础题.18. 为了解某学校高二学生数学学科的学习效果，现从高二学生某次考试的成绩中随机抽50名学生的数学成绩（单位：分），按分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求m的值并估计这所学校本次考

17、试学生数学成绩的平均数；（2）为调查某项指标，现利用分层抽样从成绩在两个分数段的学生中抽取5人，再从这5人中随机选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段的概率.【答案】（1），平均数121.8分；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率之和为，列出方程求解，即可求出；再根据频率分布直方图，由每组的中间值乘以该组频率再求和，即可得出平均数；（2）先由频率分布直方图，按分层抽样得出分数段内抽三人，分数段内抽2人，分布标记这五个人，根据列举法写出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数比即为所求概率.【详解】（1）由题，解得，样本平均数（分）由此估计这所学校本次考试学生数学成绩的平均

18、数为分；（2）由频率分布直方图可知，成绩在的同学有（人），成绩在的同学有（人），按分层抽样分数段内抽3人记为a，b，c；分数段内抽2人记为1，2从这5人中随机选两人2人有共10种选法.两人来自同一分数段有共4种选法.所以两人来自同一组的概率为.【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求平均数，考查求古典概型的概率，属于常考题型.19. 已知椭圆的离心率为，是椭圆的右顶点（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得a，c的值，由a，b，c的关系可得b，进而点到椭圆方程；（2）过点F且斜率为1的直线方程设

19、为，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得，再由点到直线的距离公式可得O到MN的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值【详解】（1）由题意知，椭圆方程为；（2）直线l的方程为：，联立，消y，得，到直线的距离，【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查点到直线的距离公式和三角形的面积求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题20. 为得到某种作物种子的发芽率，立德中学生物兴趣小组的同学进行了如下研究：在不同的昼夜温差下统计每100颗种子的发芽数，得到了以下数据：昼夜温差x（）810111213发芽数y（颗）7981858690通过画散点图，

20、同学们认为x和y之间存在线性相关关系，经讨论大家制定了如下规则：从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，检验方法如下：用求得的线性回归方程分别计算剩余两组数据中昼夜温差数所对应的发芽数，再求与实际发芽数y的差值，若差值的绝对值都不超过2，则认为所求方程是“合适的回归方程”.（1）请根据表中的后三组数据，求y关于x的线性回归方程；（2）按照题目中的检验方法判断（1）中得到的方程是否是“合适的回归方程”；（3）若100颗该作物种子的发芽率为n颗，则记为的发芽率，当发芽率为时，农户种植该种作物平均每亩地的收益为元，某农户有10亩土地，全部种植这种植物，种植期间昼夜温差大

21、约为9，根据（1）中得到的线性回归方程估计该农户种植此种作物所获得的收益.（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为：.）【答案】（1）；（2）是；（3）7950元.【解析】【分析】（1）先进行数据处理：每个温差值减去12，每个发芽数减去86，得到新的数据表格，求出的值，最后求出关于的线性回归方程；（2）根据线回归方程，分别计算当时，当时，它们的估计值，然后判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；（3）当时，根据线性回归方程计算出的值，然后计算出发芽率以及收益.【详解】解：（1），线性回归方程为（2）当时，；当时，；所以（1）中得到线性回归方程是“合适的回归方程”.（3）因为，所以当时，

22、即每亩地的收益大约为795元，所以该农户此种作物所获得的收益大约为7950元【点睛】本题考查了求线性回归方程，以及用数据检验线性回归方程是否可靠，考查了应用线性回归方程估计收益问题，考查了数学应用能力.21. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，Q为的中点，平面，M是棱上一点，且.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)连接AC,交BQ于N,连接MN,则AQBC,推导出MNPA,由此能证明PA平面BMQ(2)连结BD,以Q为坐标原点,以QA、QB、QP分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角M-BQ-P的余弦值【详解

23、】解：（1）证明：连接，交于N，连接，因为底面是菱形，则，又，又平面，平面，平面；（2）连接，底面是菱形，且，是等边三角形，由于平面，以Q为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，所以点设平面的一个法向量，令，得到，设平面的法向量为，注意，解得是平面的一个法向量，设二面角平面角的大小为，则二面角的正弦值为【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22. 在平面直角坐标系中，已知两点，动点Q到点M的距离为4，线段的垂直平分线交直线于点K.设点K的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）点

24、，A，B为曲线C上的动点，当时，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】【分析】(1)结合已知条件,以及垂直平分线的性质和椭圆的性质,即可得出曲线C的方程.(2) 设,联立方程,结合已知条件,建立关系式,即可求解.【详解】解:(1)线段垂直平分线交于点K,点K的轨迹是中心在原点,以M,N为焦点,长轴在x轴上的椭圆,其中设椭圆方程为,则椭圆的轨迹方程为(2)当直线l不垂直于x轴时,设,得,或当时,恒过定点,当时,恒过定点,不符合题意舍去,当直线l垂直于x轴时,若直线,则与椭圆C相交于,满足题意,综上可知,直线恒过定点,且定点坐标为【点睛】本题考查求轨迹方程,椭圆的性质,及直线与椭圆的位置关系.属于中档题.