数学人教A版必修4教材习题点拨：2.4平面向量的数量积 WORD版含解析.doc

1、教材习题点拨 练习1解：pq|p|q|cos 60861224.2解：AB与AC的夹角为A.当 ab0 时，cos A0 时，a 与 b，a 与 b 的夹角都为，(a)b|a|b|cos|a|b|cos，(ab)|a|b|cos，a(b)|a|b|cos|a|b|cos.(a)b(ab)a(b)(3)当 0 时，a 与 b，a 与 b 的夹角都为 180，(a)b|a|b|cos(180)|a|b|cos，(ab)|a|b|cos|a|b|cos，a(b)|a|b|cos(180)|a|b|cos，(a)b(ab)a(b)5解：(1)由AB(5，2)(1，4)(6，6)，BC(3，4)(5，2

2、)(2，2)，ABBC6(2)620，所以ABBC.所以ABC 是直角三角形(2)由AC(1，6)(2，3)(1，3)，AB(19，4)(2，3)(21，7)，ACAB2117(3)0，所以ABAC，ABC 是直角三角形(3)由AB(5，2)(2，5)(3，3)，BC(10，7)(5，2)(5，5)，ABBC35(3)50，所以ABBC，ABC 是直角三角形6解：cos ab|a|b|54 2129 22，所以 34.7解：因为(2a3b)(2ab)4a24ab3b261，所以 ab6.所以 cos ab|a|b|12.所以 23.8解：因为|ab|16，所以 a22abb2162.所以 ab

3、256164246.所以 cos ab|a|b|468102340.所以55.9证明：由AB(5，2)(1，0)(4，2)，DC(8，4)(4，6)(4，2)，ABDC.四边形 ABCD 是平行四边形又BC(8，4)(5，2)(3，6)，ABBC43(2)60，ABBC.由可知，四边形 ABCD 是矩形10解：a3 55，6 55或 a3 55，6 55.11解：55，2 55或 55，2 55.B 组1证明：(1)abacabac0a(bc)0a(bc)(2)a(bc)a(bc)0abac0abac.abaca(bc)2解：如图所示，(第 2 题图)AOB 可看作向量OA 与OB 的夹角，常

4、采用向量的数量积来求由OA OB|OA|OB|cos AOB，|OA|OB|1，cos AOB OA OB|OA|OB|cos cos sin sin，即 cos()cos cos sin sin.3证法一：利用作差法由(a2b2)(c2d2)(acbd)2a2c2a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2a2d2b2c22abcd(adbc)20，(acbd)2(a2b2)(c2d2)证法二：利用向量法证明，分别把(a，b)与(c，d)看作两向量的坐标设OA(a，b)，OB(c，d)，OA 与OB 的夹角为，则OA OB acbd.又由数量积的定义OA OB|OA|OB|cos，即

5、acbd a2b2 c2d2cos，两边平方，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)cos2.|cos2|1，(a2b2)(c2d2)cos2(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a2b2)(c2d2)4解：ABAC的值只与弦 AB 的长有关，与圆的半径无关证明：如图，取 AB 的中点 D，连接 CD，(第 4 题图)则 CDAB，AD 12AB.又因为ABAC|AB|AC|cos，而 cos BAC|AD|AC|，所以ABAC|AB|AD|12|AB|2.5解：利用平面向量的数量积证明菱形的对角线互相垂直证明：如图，菱形 ABCD 中，ABAD.(第 5 题图)由于ACAD AB，BD AD AB，可得ACBD(AD AB)(AD AB)AD 2AB 2|AD|2|AB|20.所以ACBD，即菱形的两条对角线互相垂直其余略