2022版新教材数学人教B版选择性必修第一册学案：1-2-1 空间中的点、直线与空间向量 WORD版含答案.docx

1、1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量课标解读课标要求素养要求1.能用向量语言描述直线,理解空间中直线的方向向量的意义及求法.2.了解空间中两条直线所成的角与两直线的方向向量所成的角的关系,会求空间两条直线所成的角.3.了解空间中两条异面直线的公垂线段.1.数学抽象能判定并求解直线的方向向量.2.数学运算会求两异面直线所成的角.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一空间中的点与空间向量一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量OP唯一确定，此时，OP通常称为点P的 位置向量，特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确

2、定，从而也就由它的 坐标唯一确定.要点二空间中的直线与空间向量一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行，记作 vl .按照空间中直线的方向向量的定义可知：（1）如果A,B是直线l上两个不同的点，则v=AB就是直线l的一个 方向向量（2）如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数0，空间向量 v也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都 平行；（3）如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则对于直线l上任意一点B，向量AB一定与非零向量v平行，

3、从而可知存在 唯一的实数，使得AB=v，这就是说，空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定；（4）如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1v2l1l2，或l1与l2重合.要点三空间中两条直线所成的角1.直线l1,l2的方向向量v1,v2的夹角v1,v2与l1,l2所成角的关系如图（1）（2）所示，可以看出=v1,v2或=-v1,v2 .特别地，sin=sinv1,v2 ,cos=cosv1,v2 .2.两直线垂直的充要条件$l_1perp l_2Leftrightarrowleftlangleboldsymbol v_1,boldsymbol v_2rightran

4、gle=fracmathrm2Leftrightarrow$ v1v2=0 .要点四异面直线与空间向量1.直线l1 ,l2异面的充要条件如果Al1,Bl2,v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量，那么“v1,v2,AB不共面”是“l1与l2异面”的充要条件.2.两条异面直线的公垂线段一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线,Ml,Nl2,MNl1,MNl2 ,则称MN为l1与l2的公垂线段,空间中任意两条异面直线的公垂线段都 存在并且唯一 .两条异面直线的公垂线段的 长，称为这两条异面直线之间的距离.自主思考1.点P的位置为什么可以由向量OP唯一确定？答案：提示因为一个向量和其起点、

5、终点,三者中有两个确定了，第三个就确定了.2.直线的方向向量是唯一的吗？答案：提示不唯一.3.如果两直线的方向向量v1v2，那么这两直线重合的条件是什么？答案：提示两直线有公共点4.若直线l1,l2所成的角为30，则直线l1,l2的方向向量v1,v2的夹角的值是什么？答案：提示30或1505.如何判断v1,v2,AB不共面？答案：提示不满足共面向量定理.名师点睛1.在空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件：（1）是非零向量;（2）向量所在的直线与直线l平行或重合.2.与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量,且直线l的方向向量有无数个.3.求直线AB的方向向量,就是找

6、与AB平行的任意非零向量,因此可以在直线AB上任取不同的两点,分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB的一个方向向量,也可以在与直线AB平行的直线上任取不同的两点,分别以这两点为起点和终点的向量也是直线AB的一个方向向量.互动探究关键能力探究点一求直线的方向向量自测自评1.（多选）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上不与C1 ,C重合的任意一点,则能作为直线AA1的方向向量的是( )A.AA1 B.C1E C.AB D.A1A答案：A ; B ; D解析：1.由定义知,一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合,则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量.2.

7、若A(-1,0,2) ,B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为( )A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(2,1,4)D.(4,2,1)答案：A解析：2.由已知得AB =(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与AB共线,是直线l的一个方向向量.3.已知直线l的一个方向向量v=(2,1,3) ,且l过A(0,y,3)和B(-1,-2,z) ,则y=，z= .答案：-32 ; 32解析：3.由题意可得,AB=(-1,-2-y,z-3)=(2,1,3) ,=-12,-2-y=,z-3=3 ,解得y=-32,z=32 .解题感悟对直线

8、方向向量的两点说明（1）方向向量的选取：在直线上任取两点P,Q ,可得到直线的一个方向向量PQ .（2）方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的,可以分为方向相同和相反两类,它们都是共线向量解题时,可以选取坐标最简的方向向量.探究点二利用直线的方向向量解决平行、垂直问题精讲精练类型1 利用直线的方向向量解决平行问题例1如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证：B1C平面OC1D .答案：证明设DA=a ,DC=b ,DD1=c，则CB1=a+c ,DC1=b+c ,DO=DD1+D1O=c+12(a+b) .设存在实数x,y ,使得CB=xDC1+yDO成立

9、，则a+c=x(b+c)=yc+12(a+b)=y2a+(x+y2b)+(x+y)c .a,b,c不共线,y2=1,x+y2=0,x+y=1,解得x=-1，y=2,CB1=-DC1+2DO ,即向量CB1,DC1,DO共面.向量CB1不在DC1,DO所确定的平面OC1D内,B1C平面OC1D .类型2 利用直线的方向向量解决垂直问题例2 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,若侧棱C1C的中点为D ,求证：AB1A1D .答案：证明设AB的中点为O ,作OO1AA1 ,连接OC ,以O为坐标原点,OB,OC ,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(

10、-12,0,1),C1(0,32,1) ,A(-12,0,1),B1(12,0,1) ,D(0,32,12) ,A1D=(12,32,-12) ,AB1=(1,0,1) ,A1DAB1=12+0-12=0 ,AB1A1D ,即AB1A1D .变式在本例2中，若为AB的中点,连接OC ,证明:直线A1BCO .答案：证明由例2的解析,易知A1(-12,0,1),B(12,0,0),C(0,32,0) .所以A1B=(1,0,-1),CO=(0,-32,0) ,所以A1BCO=0 ,所以A1BCO ,即A1BCO .解题感悟向量法判定直线平行.v1,v2分别为l1与l2的一个方向向量.（1）v1v

11、2l1l2或l1与l2重合.（2）v1与v2不平行l1与l2不平行.（3）v1v2=0v1v2l1l2 .（4）v1v20v1与v2不垂直l1与l2不垂直.迁移应用1.已知三条直线l1,l2,l3的一个方向向量分别为a=(4,-1,0),b=(1,4,5),c=(-3,12,-9) ,则( )A.l1l2 ,但l1与l3不垂直B.l1l3 ,但l1与l2不垂直C.l2l3 ,但l2与l1不垂直D.l1,l2,l3 ,两两互相垂直答案：A解析：因为ab=(4,-1,0)(1,4,5)=4-4+0=0,ac=(4,-1,0)(-3,12,-9)=-12-12+0=-240,bc=(1,4,5)(-

12、3,12,-9)=-3+48-45=0,所以ab,a与c不垂直,bc .所以l1l2,l2l3 ,但l1不垂直于l3，故选A.2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.求证：平面EFG平面AB1C .答案：证明设AB=a ,AD=b ,AC=c ,则EG=ED1+D1G=12A1D1+12D1C1=12b+12a ,AC=AB+AD=a+b ,AC=2EG ,故ACEG ,即EGAC ,AC平面AB1C，EG平面AB1C，EG平面AB1C .又EF=ED1+D1F=12A1D1+12D1D=12b-12c,B1C=B1C1+C1C=b

13、-c=2EF,EF/B1C，即EFB1C ,B1G平面AB1C，EF平面AB1C ,EF平面AB1C .又EGEF=E,EG,EF平面EFG ,平面EFG平面AB1C .探究点三异面直线所成角及其应用精讲精练例（1）（2021山东聊城一中期中）九章算术是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图）,其中四边形ABCD为矩形,EFAB ,若AB=3EF ,ADE和BCF都是正三角形,且AD=2EF ,则异面直线AE与CF所成角的大小为( )A.6 B.4C.3 D.2（2）在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,AC=22,PB平面ABC ,点M,N分别为

14、AC,PB的中点,MN=6 ,Q为线段AB上的点,使得异面直线PM与CQ所成角的余弦值为3434 ,则|BQ|BA|为( )A.14 B.13C.12 D.34答案：（1）D（2）A解析：（1）如图,以矩形ABCD的中心O为原点,CB,AB的方向分别为x轴、y轴正方向,作垂直于平面xOy的直线为z轴建立空间直角坐标系,由题意可知,EF平面yOz ,且直线Oz是线段EF的垂直平分线.设AB=3 ,则EF=1,AD=2,则A(1,-32,0),E(0,-12,2),C(-1,32,0),F(0,12,2) ,所以AE=(-1,2),CF=(1,-1,2) ,所以AECF=-11+1(-1)+22=

15、0 ,所以AECF ,所以异面直线AE与CF所成的角为2 .（2）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2,AC=22,BABC ,PB平面ABC ,以B为原点,BA,BC,BP所在直线分别为x轴,y轴，z轴建立空间直角坐标系,可知B(0,0,0),C(0,2,0),M(1,1,0),A(2,0,0),BM=2,MN=6,BN=MN2-BM2=2，PB=4，则P(0,0,4) ,设|BQ|BA|= ,且01 ,BA=(2,0,0) ,则Q(2,0,0) ,可知PM=(1,1,-4),CQ=(2,-2,0) ,PMCQ=12+1(-2)+(-4)0=2-2,|PM|=12+12+(-4)2=3

16、2,|CQ|=42+4 ,异面直线PM与CQ所成角的余弦值为3434,|PMCQ|PM|CQ|=|2-2|3242+4=3434,解得=14或=4（舍去）,|BQ|BA|=14 .解题感悟异面直线夹角的计算问题,常用以下方法（1）向量法：建立空间直角坐标系,结合向量的夹角公式求解;（2）平移法,将异面直线通过平移转化成共面直线,结合三角形知识求解;（3）补形法：通过补形（一般是补一个相同的几何体）将异面直线通过平移转化成共面直线,结合三角形知识求解.迁移应用1.（2020江苏徐州高二期中）在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1 ,AA1=2 ,设AC交BD于点O ,则异面直线A1

17、O与BD1所成角的余弦值为( )A.-41515 B.41515 C.-439 D.439答案：D解析：1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,因为AB=AD=1,AA1=2 ,所以A1(1,0,2),B(1,1,0),O(12,12,0),D1(0,0,2),A1O=(-12,12,-2),BD1=(-1,-1,2),设直线A1O与BD1所成角的大小为，则cos=|cosA1O,BD1|=|12-12-4|14+14+41+1+4=439 .2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90,AA1=A1B1=A1C1=4，点E是棱CC1上一点,

18、且异面直线A1B与AE所成角的余弦值为3210，则C1E的长为 .答案：1解析：2.设CE=CC1(01)，则A1B=AB-AA1,AE=AC+CE=AC+CC1=AC+AA1 ,易知|A1B|=42,|AE=16+162,A1BAE=(AB-AA1)(AC+AA1)=-16 .cosA1B,AE=A1BAE|A1B|AE|=-2+22，因为异面直线A1B与AE所成角的余弦值为3210，所以2+22=3210 .解得=34 .所以C1E=1 .评价检测素养提升1.设直线l1的一个方向向量为a=(1,2,-2)，直线l2的一个方向向量为b=(-2,3,m)，若l1l2，则实数m的值为( )A.1B.2C.12 D.3答案：B2.设d1,d2都是直线l的方向向量,则下列说法中正确的是( )A.d1d2B.d1=d2C.d1与d2同向D.d1与d2有相同的位置向量答案：A3.（2020重庆一中高二期末）在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC ,D是PC的中点,已知BAC=2,AB=2,AC=23,PA=2 ,则异面直线BC与AD所成角的余弦值为( )A.34 B.38 C.14 D.18答案：A