2022版新教材数学人教B版选择性必修第一册学案：第一章空间向量与立体几何 章末总结 WORD版含答案.docx

1、章末总结体系构建题型整合题型1 空间向量的运算例1（1）如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且CF=23CB，CG=23CD .求证：四边形EFGH是梯形.（2）已知正四面体OABC的棱长为1，如图.求：OAOB；(OA+OB)(CA+CB)；|OA+OB+OC| .答案：（1）证明：E，H分别是边AB，AD的中点，AE=12AB，AH=12AD，则EH=AH-AE=12AD-12AB=12(AD-AB)=12BD .FG=CG-CF=23CD-23CB=23(CD-CB)=23BD，EHFG，且|EH|=34|FG|FG| .又F不在

2、EH上，故四边形EFGH是梯形.（2）在正四面体OABC中，|OA|=|OB|=|OC|=1 .OA,OB=OA,OC=OB,OC=60OAOB=|OA|OB|cosAOB=11cos60=12 .(OA+OB)(CA+CB)=(OA+OB)(OA-OC+OB-OC)=(OA+OB)(OA+OB-2OC)=OA2+2OAOB-2OAOC+OB2-2OBOC=12+211cos60-211cos60+12-211cos60 =1+1-1+1-1=1.|OA+OB+OC|=(OA+OB+OC)2=12+12+12+211cos603=6 .方法归纳1.空间向量的线性运算包括加法、减法及数乘运算.选

3、定空间中不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求.2.空间向量的数量积：（1）空间向量的数量积的定义表达式ab=|a|b|cosa,b及其变形式cosa,b=ab|a|b|是两个重要公式.（2）空间向量的数量积的其他变形式是解决立体几何问题的重要公式，如a2=|a|2，a在b上的投影的数量为ab|b|=|a|cosa,b等.迁移应用1.如图，已知ABCD-ABCD是平行六面体设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCCB对角线BC上的四等分点且靠近C点，设MN=AB+AD+AA，则+= .答案：32解析：1.连接BD，则M为BD的中点，如图.MN=

4、MB+BN=12DB+34BC=12(DA+AB)+34(BC+BB)=12(-AD+AB)+34(AD+AA)=12AB+14AD+34AA .=12，=14，=34 .+=32 .2.在三棱锥O-ABC中，棱OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC，如图.给出下列四个命题：(OA+OB+OC)2=3OA2；BC(CA-CO)=0；(OA+OB)和CA的夹角为60；三棱锥O-ABC的体积为16|(ABAC)BC| .其中所有正确命题的序号为 .答案： 解析：2.设OA=OB=OC=a，因为棱OA、OB、OC两两垂直，所以以点O为坐标原点，OA、OB、OC所在直线分别为x、y、z轴建立空间

5、直角坐标系，如图所示：则O(0,0,0)、A(a,0,0)、B(0,a,0)、C(0,0,a) .对于，OA+OB+OC=(a,a,a)，所以(OA+OB+OC)2=3a2=3OA2，正确；对于，CA-CO=OA=(a,0,0)，BC=(0,-a,a)，则BC(CA-CO)=0，正确；对于，OA+OB=(a,a,0)，CA=(a,0,-a)，cosOA+OB,CA=(OA+OB)CA|OA+OB|CA|=a2(2a)2=12，因为0OA+OB,CA180，所以(OA+OB)和CA的夹角为60，正确；对于，AB=(-a,a,0)，AC=(-a,0,a)，BC=(0,-a,a)，则ABAC=a2，

6、所以16|(ABAC)BC|=a26|BC|=a262a=a26a3，而三棱锥O-ABC的体积V=1312OAOBOC=16a3，错误.题型2 利用空间向量证明平行、垂直问题例2 在四棱锥P-ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点（1）求证：BM平面PAD；（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，请说明理由答案：（1）以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1)

7、.证明：BM=(0,1,1)，易知平面PAD的一个法向量为n=(1,0,0)，BMn=0，即BMn，又BM平面PAD，BM平面PAD .（2）存在.BD=(-1,2,0)，PB=(1,0,-2)，假设平面PAD内存在一点N，使MN平面PBD，则MNBD，MNPB .设N(0,y,z)，则MN=(-1,y-1,z-1)，MNBD=0MNPB=0即12(y-1)0-1-2(z-1)0，y=12z=12N(0,12,12)，在平面PAD内存在一点N(0,12,12)，使MN平面PBD .方法归纳利用空间向量证明空间中的位置关系：线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量线线垂直证

8、明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直线面平行证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题面面平行证明两个平面的法向量平行（即共线向量）；转化为线面平行、线线平行问题面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题迁移应用3.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=12PD .（1）证明：平面PQC平面DCQ；（2）证明：PC平面BAQ .答

9、案：（1）证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，DA，DP，DC的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz .依题意有D(0,0,0)，Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则DQ=(1,1,0)，DC=(0,0,1)，PQ=(1,-1,0)，所以PQDQ=0，PQDC=0，即PQDQ，PQDC .又DQDC=D，DQ,DC平面DCQ，故PQ平面DCQ .因为PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ .（2）A(1,0,0)，B(1,0,1)，则DA=(1,0,0)，AB=(0,0,1)，AQ=(0,1,0)0，则DAAB=0，DAAQ=0，所以DA为

10、平面BAQ的一个法向量因为PC=(0,-2,1)，且DAPC=0，所以DAPC，又PC平面BAQ，故PC平面BAQ .题型3 利用空间向量求空间角例3 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，ABAD=2，直线PA与底面ABCD成60角，点N是PB的中点.（1）求异面直线DN与BC的夹角的余弦值；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）求二面角P-NC-D的余弦值.答案：（1）以D为原点，DA、DC、DP的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，则AB=2，PD底面ABCD，PAD为直线PA与平面ABCD所成的角，PAD=60，

11、PD=3，D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，N(12,1,32) .DN=(12,1,32)，BC=(-1,0,0)，异面直线DN与BC的夹角的余弦值为cosDN,BC=DNBCDNBC=24 .（2）PA=(1,0,-3)，PB=(1,2,-3)，BC=(-1,0,0)，设平面PBC的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，直线PA与平面PBC所成的角为，则mPB=x1+2y1-3z1=0且mBC=-x1=0，则x1=0，取z1=2，则y1=3，m=(0,3,2)，sin=|mPA|m|PA|=217 .（3）由（2）知平面PBC的一个法

12、向量为m=(0,3,2)，即平面PNC的一个法向量为m=(0,3,2)，设平面CDN的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，易知DN=(12,1,32)，DC=(0,2,0)，DP=(0,0,3)，则nDN=12x2+y2+32z2=0且nDC=2y2=0，则y2=0，取z2=1，则x2=-3,则n=(-3,0,1)，cosm,n=mn|m|n|=77，mDP=230，nDP=30二面角P-NC-D的余弦值为77 .方法归纳1.求异面直线所成的角：设两异面直线的方向向量分别为n1，n2，那么这两条异面直线所成的角=n1,n2或=-n1,n2，所以cos=|cosn1,n2| .2.求斜线与平面

13、所成的角：如图，设平面的一个法向量为n1，斜线OA的一个方向向量为n2，斜线OA与平面所成的角为，则sin=|cosn1,n2| .3.求二面角的大小：如图，设平面，的法向量分别为n1，n2 .因为两平面的法向量所成的角（或其补角）就等于平面，所成的锐二面角，所以cos=|cosn1,n2| .迁移应用4.如图，三棱柱ABC-A1B1C1内接于圆柱OO1，已知圆柱OO1的轴截面为正方形，AB=AC=306OO1，点P在轴OO1上运动.（1）证明：无论P在何处，总有BCPA1；（2）当点P为OO1的中点时，求平面A1PB与平面BCC1B1所成的锐二面角的余弦值.答案：（1）证明：如图，连接AO并

14、延长，交BC于点M，交圆柱侧面于点N，连接OB，OC，AB=AC，OB=OC，AOBC .又在圆柱OO1中，AA1平面ABC，且BC平面ABC，AA1BC，又AOAA1=A，AO平面AOO1A1，AA1平面AOO1A1，BC平面AOO1A1，无论P在何处，总有PA1平面AOO1A1，BCPA1 .（2）如图，建立空间直角坐标系O1xyz，由（1）知BCx轴，设OO1=AA1=AN=a，则AB=AC=306a，在ABC中，AM=ACcosCAM=ACACAN=56aOM=13a，从而CM=BM=(306a)2-(56a)2=56a .A1(0,-12a,0)，B(56a,13a,a)，P(0,0

15、,12a)，A1P=(0,12a,12a)，A1B=(56a,56a,a) .设平面AP1B的一个法向量为u=(x,y,z)，则A1Pu=12ay+12az=0A1Bu=56ax+56ay+az=0，取y=2，得u=(255,2,-2)，易知平面BCC1B1的一个法向量为v=(0,1,0),|cosu,v|=|uv|u|v|=2(255)2+4+4=5511，故所求锐二面角的余弦值为5511 .题型4 利用空间向量求距离例4 已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD=1，E，F分别为AB，BC的中点.（1）求点D到平面PEF的距离；（2）求直线AC到平面PEF的距离.解析：思路分

16、析（1）建立以点D为坐标原点，DA，DC，DP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式即可得到答案.（2）证得AC平面PEF，利用直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离即可得到答案.答案：（1）建立以点D为坐标原点，DA，DC，DP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示，PD=1，E，F分别为AB，BC的中点，D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(1,12,0)，F(12,1,0)，EF=(-12,12,0)，PE=(1,12,-1)，DE=(1,12,0)，设平面PEF的一个法向量为n

17、=(x,y,z)，则nEF=0nPE=0即-12x+12y=0x+12y-z=0，令x=2，则y=2，z=3，n=(2,2,3)，点D到平面PEF的距离d=|DEn|n|=|2+1|4+4+9=31717 .（2）AE=(0,12,0)，点A到平面PEF的距离d=|AEn|n|=117=1717，E，F分别为AB，BC的中点，ACEF，AC平面PEF，EF平面PEF，AC平面PEF，直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离，直线AC到平面PEF的距离为1717 .方法归纳 1.求两点间的距离的向量法主要是坐标法（易建系的）和基向量法（各基向量的模和夹角已知或可求），利用向量的模的定

18、义求解.2.利用向量求点线距离时，关键是利用向量的垂直，建立关于垂足坐标的方程，垂足的坐标要利用向量的共线用直线的方向向量表示，只设一个未知数即可.3.用向量法求点面距离的步骤：（1）建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；（2）求向量：在坐标系中求出点A到平面内任一点B对应的向量AB；（3）求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n；（4）得答案：代入公式d=|ABn|n|求得答案.4.线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解.迁移应用5.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，点E在线段PA上，PC平面BDE .（

19、1）请确定点E的位置，并说明理由；（2）若PAD是等边三角形，AB=2AD，平面PAD平面ABCD，四棱锥P-ABCD的体积为93，求点E到平面PCD的距离.答案：（1）连接AC交BD于点M，连接EM，如图，则点M为AC的中点.当E为AP的中点时，在APC中，EMPC，又EM平面BDE，PC平面BDE，PC平面BDE .（2）以AD的中点O为原点，OA所在直线为x轴，在平面ABCD中，过点O作AB的平行线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图.设AD=x，四棱锥P-ABCD的体积为93，13x2xx2-(x2)2=93，解得x=3A(32,0,0)，P(0,0,332)，E(34

20、,0,334)，D(-32,0,0)，C(-32,6,0) .则PC=(-32,6,-332)，PD=(-32,0,-332)，PE=(34,0,-334)，设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，则nPC=-32x+6y-332z=0nPD=-32x-332z=0，取x=3，得n=(3,0,-1)，E到平面PCD的距离d=|PEn|n|=3322=334高考链接1.（2020课标理，19，12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1 .（1）证明：点C1在平面AEF内；（2）若AB=2，AD=1，AA1=3，求二

21、面角A-EF-A1的正弦值.答案：（1）证明：在棱CC1上取点G，使得C1G=12CG，连接DG、FG、C1E、C1F，如图.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ADBC且AD=BC，BB1CC1且BB1=CC1，C1G=12CG，BF=2FB1，CG=23CC1=23BB1=BF且CGBF，四边形BCGF为平行四边形，GFBCAD，GF=BC=AD，四边形AFGD为平行四边形，则AFDG且AF=DG，同理可证四边形DEC1G为平行四边形，C1EDG且C1E=DG，C1EAF且C1E=AF，则四边形AEC1F为平行四边形，点C1在平面AEF内.（2）以点C1为坐标原点，C1D1、C1B1、C

22、1C所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C1xyz，则A(2,1,3)，A1(2,1,0)，E(2,0,2)，F(0,1,1)，AE=(0,-1,-1)，AF=(-2,0,-2)，A1E=(0,-1,2)，A1F=(-2,0,1)，设平面AEF的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，由mAE=0mAF=0得-y1-z1=0-2x1-2z1=0，取z1=-1，得x1=y1=1，则m=(1,1,-1)，设平面A1EF的一个法向量为n=(x2,y2,z2)，由nA1E=0nA1F=0，得-y2+2x2=0-2x2+z2=0取z1=2，得x2=1，y2=4，则n=(1,4,2)，co

23、sm,n=mn|m|n|=3321=77，设二面角A-EF-A1的平面角为，则|cos|=77，sin=1-cos2=427 .因此，二面角A-EF-A1的正弦值为427 .2.（2020课标理，18，12分）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD .ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=66DO .（1）证明：PA平面PBC；（2）求二面角B-PC-E的余弦值.答案：（1）证明：设DO=a，由题设可得PO=66a，AO=33a，AB=a，PA=PB=PC=22a .因此PA2+PB2=AB2，从而PAPB .又PA2+PC2=AC2,故PAPC .所

24、以PA平面PBC .（2）过O作ONBC交AB于点N，因为PO平面ABC，所以以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OD所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AE=1，则E(-12,0,0)，P(0,0,24)，B(-14,34,0)，C(-14,-34,0)，所以PC=(-14,-34,-24)，PB=(-14,34,-24)，PE=(-12,0,-24)，设平面PCB的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，由nPC=0nPB=0得-x1-3y1-2z1=0-x1+3y1-2z1=0，令x1=2，得z1=-1，y1=0，所以n=(2,0,-1)，设平面PCE的一个

25、法向量为m=(x2,y2,z2),由mPC=0mPE=0，得-x2-3y2-2z2=0-2x2-2z2=0令x2=1，得z2=-2，y2=33，所以m=(1,33,-2)，故cosm,n=nm|n|m|=223103=255，易知二面角B-PC-E的平面角为锐角，所以二面角B-PC-E的余弦值为255 .3.（2020新高考，20,12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD .设平面PAD与平面PBC的交线为l .（1）证明：l平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.答案：（1）证明：在正方形ABCD中，ADBC，因为

26、AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC，又因为AD平面PAD，平面PAD平面PBC=l，所以ADl，因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，所以ADDC，所以lDC，因为PD平面ABCD，所以ADPD，所以lPD，因为CDPD=D，CD,PD平面PDC，所以l平面PDC.（2）如图，建立空间直角坐标系Dxyz，因为PD=AD=1，所以D(0,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)，B(1,1,0)，设Q(m,0,1)，则有DC=(0,1,0)，DQ=(m,0,1)，PB=(1,1,-1)，设平面QCD的一个法向量为n=(x,y,z)，则DCn=0D

27、Qn=0，即y=0mx+z=0，令x=1，则z=-m，所以平面QCD的一个法向量为n=(1,0,-m)，则cosn,PB=nPB|n|PB|=1+0+m3m2+1，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于|cosn,PB|=|1+m|3m2+1=331+2m+m2m2+1=331+2mm2+1331+2|m|m2+1331+1=63当且仅当m=1时取等号，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63 .4.（2020天津，17,15分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，ACBC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2

28、，M为棱A1B1的中点.（1）求证：C1MB1D；（2）求二面角B-B1E-D的正弦值；（3）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.答案：依题意，以C为原点，CA，CB，CC1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,3)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，E(0,0,2)，M(1,1,3) .（1）证明：C1M=(1,1,0)，B1D=(2,-2,-2)，从而C1MB1D=2-2+0=0，所以C1MB1D .（2）易知CA=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量，EB1=(0,2,1)，ED=(2,0,-1) .设n=(x,y,z)为平面DB1E的一个法向量，则nEB1=0nED=0，即2y+z=02x-z=0 .不妨设x=1，可得n=(1,-1,2) .则cosCA,n=CAn|CA|n|=226=66，于是sinCA,n=1-cos2(CA,n)=306 .所以，二面角B-B1E-D的正弦值为306 .（3）依题意，AB=(-2,2,0) .由（2）知n=(1,-1,2)为平面DB1E的一个法向量，于是cosAB,n=ABn|AB|n|=-33 .所以，直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为33 .