《同步辅导》2015高中数学北师大版必修一导学案：《函数模型及其应用》.doc

1、第4课时函数模型及其应用1.掌握求解函数应用题的基本步骤,并能利用常见的函数模型解决实际问题.2.能够根据已有的数据建立拟合函数解决实际问题.前面我们学习了几种不同增长的函数模型问题,并重点学习了利用函数模型解决一些简单的实际问题;另外在一些实际问题中,还会遇到对函数模型的灵活选择以及应用的问题,本节课就来研究这类问题.问题1:我们所学过的重要的函数模型有哪些?(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0);(2)反比例函数模型:f(x)=+b(k,b为常数,k0);(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0);(4)指数函数模型:f(x)=abx+c

2、(a,b,c为常数,a0,b0,b1);(5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,a0,a1);(6)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a0,n1);问题2:(1)建立数学模型的方法是怎样的?(2)在解决实际问题过程中,该如何做才能找到合适的数学模型?(3)解函数应用问题的基本步骤是什么?(1)一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量,并用x、y和辅助变量表示各相关量,然后根据问题的,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立,在此基础上将问题转化为一个问题,实现问题的数学化,即所谓的建立数学模型.(2):建立直角坐标系,

3、画出散点图;:根据散点图设想比较接近的可能的函数模型.例如:一次函数型、二次函数型、指数、对数函数型.:利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型.(3)第一步:阅读理解,审清题意.第二步:引进数学符号,建立.第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果.第四步:将所得结果再转译成具体问题的答案.问题3:(1)对于一些函数实际应用问题,我们该如何分析?(2)数学模型的实质是什么?(1)把问题模型化,思考我们要研究的问题与我们学习过的知识有何关系,把实际问题转化为去研究,利用函数性质特点求解出数学问题,再转化为实际问题的解.(2)数学模型

4、是用模拟现实的一种模型,它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来,并用来表达,数学模型可采用各种形式,如方程(组),函数解析式,图形与网络等.1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为().A.200副B.400副C.600副D.800副2.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=其中x代表拟录用人数,y代表面试人数,若面试人数为60,则该公司拟录用人数为().A.15B.40C.25D.1303.一个水池每小时注入水量是全池的,水池还没有注水部分与总量的比y随时间x

5、(小时)变化的解析式为.4.某人有资金2000元,拟投入在复利方式下年报酬为8%的投资项目,大约经过多少年后能使现有资金翻一番?(下列数据供参考:lg 20.3010,lg 5.40.7324,lg 5.50.7404,lg 5.60.7482)用已知函数模型解决实际问题某县目前有100万人,经过x年后有y万人,如果年平均增长率是1.2%,请回答下列问题:(1)写出y关于x的函数解析式;(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年).分段函数模型的应用WAP手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)按30元计费;

6、超过500分钟则超过部分按0.15元/分钟计费.假如上网时间过短,在1分钟以下不计费,1分钟以上(包括1分钟,不超过60分钟)按0.5元/分钟计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.问:(1)小周12月份用WAP手机上网20小时,要付多少上网费?(2)小周10月份付了90元的上网费,那么他这个月用手机可以上多少分钟的网?(3)你会选择WAP手机上网吗?若用电脑上网的收费为60元/月,你会用哪一种方式上网?建立拟合函数模型解决实际问题某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.

7、40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算,请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).分贝是表示声音强度相对大小的单位,物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小:把一很小的声压P0=210-5帕作为参考声压,把所要测量的声压与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级,声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,

8、60110为过渡区,110以上为有害区.(1)根据上述材料列出声压级y与声压P的函数关系式;(2)某地声压P=0.002帕,试问该地区为以上所说的什么区?(3)2013年春节联欢晚会上,某小品类节目上演时,现场响起多次响亮的掌声,某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量达到90分贝,试求此时中央电台大厅的声压是多少帕?某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(tN+)(天)之间的函数关系用如图的两条线段表示,该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(tN+)(天)之间的关系如表:第t天5152030Q件35252010(1)根据提供的图像,写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系.(2

9、)根据表中提供的数据,确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式.(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?(日销售金额=每件的销售价格日销售量)为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y,现有连续10年的实测资料,如下表所示.年序xy115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度的图像.(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型,并

10、画出图像.1.某种商品2012年提价25%,2013年欲恢复成原价,则应降价().A.30%B.25%C.20%D.15%2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时,交通灯由红变绿,汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走,那么().A.人可在7秒内追上汽车B.人可在10秒内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5米D.人追不上汽车,其间距最少为7米3.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1;乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为拟合模型较好.4.某商场经营一批进价是每件30元的商品,在

11、市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系:销售单价x(元)30404550日销售量y(件)6030150(1)在所给坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点,并确定x与y的一个函数关系式y=f(x);(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系式写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少时,才能获得最大日销售利润.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要清洗的次数是(lg 20.3010).考题变式(我来改编):答案第4课时函数模型及其应用知识体系梳理问题2:(1)已知条件关系式实际函数(2)建系初步选择函数模型择优

12、函数模型(3)数学模型问题3:(1)函数模型(2)数学语言数学语言基础学习交流1.D由5x+400010x,解得x800,即日产手套至少800副时才不亏本.2.C令y=60,若4x=60,则x=1510,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40100,不合题意.故拟录用人数为25.3.y=1-,0x10y=1-,0x10.4.解:设经过x年后能使现有资金翻一番,则2000(1+8%)x=4000,即1.08x=2.两边取对数,有x=9.01.所以,经过10年后才能使现有资金翻一番.重点难点探究探究一:【解析】(1)当x=1时,y=100+1001.2%=

13、100(1+1.2%);当x=2时,y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2;当x=3时,y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3;故y关于x的函数解析式为y=100(1+1.2%)x(xN+).(2)当x=10时,y=100(1+1.2%)10=1001.01210112.7.故10年后该县约有112.7万人.(3)设x年后该县的人口总数为120万,则100(1+1.2%)x=120,所以 x=log1.01216.故大约16年后该县的人口总数将达到120万.【小结】解决此类问题时一定要注意不要将次幂

14、搞错.解决本题的另一个难点就是不能正确地进行指对互化,进而利用对数的运算来求解.探究二:【解析】设使用WAP手机上网的时间为x分钟,由已知条件可知:当上网时间不超过60分钟时,以每分钟0.5元递增计费;当上网时间超过60分钟但不超过500分钟时,一律按30元收费;当上网时间超过500分钟时,在30元的基础上,再增加0.15元/分钟.故所付上网费为:y=(1)当x=2060=1200(分钟)时,应将1200代入第三段解析式,得y=135,小周要付135元上网费.(2)90元已经超过30元,所以上网时间超过500分钟,由函数解析式可得x=900,小周这个月用手机可以上网900分钟.(3)当1x60

15、时,ymax500时,30+0.15(x-500)=60x=700,若每月上网时间少于700分钟,则选用WAP手机上网;若等于700分钟,则选择两种上网方式都可以;若上网时间超过700分钟,则选用电脑上网.【小结】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段变量的范围,特别是端点值.探究三:【解析】以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+

16、2,再把(1,0.65)代入得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.B种商品所获纯利润y万元与投资额x万元之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟.设y=kx+b,取点(1,0.25)和(4,1),代入得解得所以y=0.25x.综上,前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x.设下月投入A,B两种商品的资金分别为xA,xB(万元),总利润为W(万元),那么所以W=-0.15(xA-)2+0.15()2+2.6.当x

17、A=3.2(万元)时,W取最大值,约为4.1万元,此时xB8.8(万元).即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品,8.8万元投资B种商品,可获得最大利润约为4.1万元.【小结】本题根据给定的数据画出散点图,然后根据散点图的“走向”找到其拟合函数,根据题意得出总利润与投资A产品的金额之间的函数关系,最后转化为二次函数的最值问题.思维拓展应用应用一:(1)由已知得y=20lg=20lg.(2)当P=0.002时,y=20lg=40,y60,该地区为无害区.(3)设中央电视台大厅的声压是x帕,则当y=90时,有lg=4.5,x=,此时中央电视台大厅的声压是帕.应用二:(1)由图可得:P=

18、(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为Q=-t+40(0t30,tN+).(3)由题意y=当0t25,t=10时,ymax=900,当25t30,t=25时,ymax=(25-70)2-900=1125,故当t=25时,日销售金额最大且最大值为1125元.应用三:(1)利用计算机几何画板软件,描点如图.(2)从上图可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性模型:y=a+bx.取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx,得用计算器可得a2.4,b1.8,这样,我们得到一个函数模型:y=2.4+1.8x,画图略.基础

19、智能检测1.C设2012年提价前的价格为a,2013年要恢复成原价应降价x,于是有a(1+25%)(1-x)=a,解得x=,即应降价20%.2.D设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值为7,故选D.3.甲将已知的三个点的坐标分别代入两个解析式得,前两个点均适合,但第三个点更适合甲,比较发现选甲更好.4.解:实数对(x,y)对应的点如图所示,由图可知y是x的一次函数.(1)设f(x)=kx+b,则解得f(x)=-3x+150,30x50.检验成立.(2)P=(x-30)(-3x+150)=-3x2+240x-4500,30x50,对称轴x=-=4030,50.故当销售单价为40元时,所获利润最大.全新视角拓展4设至少要洗x次,则(1-)x,x3.322,需4次.思维导图构建二次函数模型反比例函数模型指数函数模型对数函数模型幂函数模型