《同步辅导》2015高中数学北师大版选修2-3学案：《排列》.doc

1、第4课时排列1.理解排列、排列数的概念,掌握排列数公式的推导,从中体会“化归”的数学思想.2.能用“树型图”写出一个排列中所有的排列;能用排列数公式计算.5月1日,小王、小刘、小赵等6名同学与李老师一起外出郊游.在游兴正浓之际,小王提议大家一起合影,把美好的山水风景与老师、同学的身影一起发给班里的每一位同学.大家齐声叫好,并一致提议李老师排中间.小王说:“我与老师排在一起.”小刘说:“我不与小王排在一起.”而小赵说:“我要与小刘排在一起.”其他三位同学说:“我们随便.”于是,大家排了队,合了影,高兴极了.在回学校的路上,李老师提了一个问题:“我们7个人排队,刚才大家提出了各自的要求,那么,符合

2、你们这些要求的排法共有多少种呢?”你能帮他们计算一下吗?问题1:排列的概念从n个元素中,任取m(mn)个元素,按照排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的.说明:(1)排列的定义包括两个方面:取出元素,按一定的顺序排列.(2)两个排列相同的条件:元素完全相同,元素的排列顺序也相同.问题2:排列数的定义从n个不同元素中,任取m(mn)个元素的的个数叫作从n个元素中取出m个元素的,用符号表示.问题3:排列数公式及其推导由的意义:假定有排好顺序的2个空位,从n个元素a1,a2,an中任取2个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到,因

3、此,所有不同的填法的种数就是排列数.由分步计数原理完成上述填空共有种填法,所以=.由此,求可以按依次填3个空位来考虑,=,求以按依次填m个空位来考虑=,得排列数公式如下:= (m,nN+,mn).问题4:阶乘的概念n个不同元素全部取出的一个排列,叫作n个不同元素的一个,这时=.把正整数1到n的连乘积,叫作,表示,即=,规定:.1.89909192100可表示为().A.B.C.D.2.甲、乙、丙、丁四人轮流读同一本书,则甲首先读的安排方法种数为().A.24B.12C.6D.33.若=17161554,则n=,m=.4.从2,3,5,7,11这五个数字中,任取2个数字组成分数,不同值的分数共有

4、多少个? 无限制条件的排列问题有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)选其中5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人. 有限制条件的排列问题有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?(1)甲不在中间也不在两端;(2)甲、乙两人必须排在两端;(3)男女相间. 利用排列数公式进行计算、化简或解方程解方程:3=2+6.6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.(1)43251是这个数列的第几项?(2)这个数列的第97项是

5、多少?解方程:3=4.1.四支足球队进行主客场制的足球比赛,比赛的总场次为().A.6B.12C.16D.242.在数字1,2,3与符号“+”,“-”五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是().A.6B.12C.18D.243.有8人排成一排,甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁,排法共有种.4.有5个人并排站成一排,如果甲必须在乙的右边,则不同的排法有多少种?(2013年山东卷)用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为().A.243B.252C.261D.279考题变式(我来改编):第4课时排列知识体系梳理问题1:不同一定的顺序一个排列问题2:所有排列排列数问

6、题3:n(n-1)n(n-1)n(n-1)(n-2)n(n-1)(n-2)(n-m+1)n(n-1)(n-2)(n-m+1)问题4:全排列n(n-1) (n-2) (n-3) 21n的阶乘n!n!0!=1基础学习交流1.C由题意知n=100,100-m+1=89,m=12.2.C甲在首位,相当于乙、丙、丁全排,即3!=321=6.3.1714由题易知n=17,又4=17-m+1,m=14.4.解:因为从2,3,5,7,11这五个数字中,任取2个数字组成分数,分数的值各不相同,所以不同值的分数的个数等于从这五个数字中任取2个数字的排列数=54=20.重点难点探究探究一:【解析】(1)从7个人中选

7、5个人来排列,有=76543=2520种.(2)分两步完成,先选3人排在前排,有种方法;余下4人排在后排,有种方法,故共有=5040种.事实上,本小题即为7人排成一排的全排列=5040种,属于无任何限制条件的排列问题.【小结】对于无限制条件的排列问题,常用直接法,即把符合条件的排列数直接列式计算.探究二:【解析】(1)(法一)(元素分析法)先排甲有6种,其余有种,故共有6=241920种排法.(法二)(位置分析法)中间和两端有种排法,包括甲在内的其余6人有种排法,故共有=336720=241920种排法.(法三)(等机会法)9个人的全排列数有种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意,甲不在

8、中间及两端的排法总数是=241920(种).(法四)(间接法)-3=6=241920种.(2)先排甲、乙,再排其余7人,共有=10080种排法.(3)(插空法)先排4名男生有种方法,再将5名女生插空,有种方法,故共有=2880种排法.【小结】本题集排列多种类型于一题,充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路.探究三:【解析】由排列数公式得:3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),x3,3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3x2-17x+10=0,解得x=5或x=,原方

9、程的解为x=5或x=;问题上述解法正确吗?结论不正确,应用=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=时,要注意隐含条件m,nN+且mn,于是正确解法如下:由排列数公式得:3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),x3,3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3x2-17x+10=0,解得x=5或x=,x3,且xN+,原方程的解为x=5.【小结】(1)解含排列数的方程和不等式时要注意排列数中,m,nN+且mn这些限制条件,要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围.(2)公式=n(n-1)(n-2)(n-m+1)常用来求值,特别是m,n均为已知时,公式=常用来证明

10、或化简.思维拓展应用应用一:720前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共=720种.应用二:(1)不大于43251的五位数有-(+)=88个,即为此数列的第88项.(2)此数列共有120项,而以5开头的五位数恰好有=24个,所以以5开头的五位数中最小的一个就是该数列的第97项,即51234.应用三:x=6或x=13(舍去).即原方程的解为x=6.基础智能检测1.B相当于从4支球队中选出2支球队的排列,共有=12场比赛.2.B先排列1,2,3,有=6种排法,再将“+”,“-”两个符号插入,有=2种方法,共有12种方法,故选B.3.1440把甲、乙、丙先排好,有种排法,把这三个人“捆绑”在一起看成是一个,与其余5个人相当于6个人排成一排,有种排法,所以一共有=1440种排法.4.解:总的排法数为=120种,甲在乙的右边的排法数为=60种.全新视角拓展B不重复的三位数有:+=648个.则有重复数字的三位数有:900-648=252个,故选B.思维导图构建特殊元素特殊的位置“捆绑法”“插空法”“直接法”“排除法”