数学人教A版选修2-3教材梳理：2.4正态分布 WORD版含解析.doc

1、庖丁巧解牛知识巧学 一、正态曲线与正态分布曲线1.正态曲线 如果随机变量X的概率密度函数为u,(x)=，x(-,+)其中实数u和（0）为参数.我们称u，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线. 要点提示 高尔顿板试验中，当试验次数越多，也就是放入小球的个数越多，实验就越接近正态曲线.2.正态分布一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足P(aXb)=，则称X的分布为正态分布.正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(,2).如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(,2). 参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样

2、本标准差去估计.把=0，=1的正态分布叫做标准正态分布. 方法归纳 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布. 热点聚焦 正态分布是客观存在的规律，高尔顿板试验只不过是验证了这一规律而已.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等，一般都服从正态分布.所以，正态分布广泛存在于自然现

3、象、生产和生活实际之中.3.正态曲线的特点（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；（2）曲线是单峰的.它关于直线x=对称；（3）曲线在x=处达到峰值；（4）曲线与轴之间的面积为1；（5）当一定时，曲线随着的变化而沿轴平移； （6）当一定时，曲线的形状由确定.越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.特点（1）：说明函数的值域为正实数集的子集，且以轴为渐近线；特点（2）：是曲线的对称性，关于直线x=对称；特点（3）：说明函数x=时取得最大值;特点（4）：说明正态变量在（-，）内取值的概率为1;特点（5）：说明当均值一定时，变化时总体分布的集中、离散程度.

4、知识拓展 若标准正态分布N（0，1）总体取值小于x0的概率用(x0)表示，即(x0)=P(xx0),则(x0)+(-x0)=1;对一般正态总体N（,2）来说，可通过线性代换y=转化为标准正态总体N（0，1）.二、3原则1.正态分布在区间(-a,+a上的概率若XN（,2），则对于任何实数0，概率P(-aX+a)=为直线x=-a,x=+a与正态曲线和轴所围成的图形的面积.对于固定的和a而言，该面积随着的减少而变大.这说明越小，X落在区间(-a,+a的概率越大，即X集中在周围的概率越大. 上述规律是通过正态曲线的形象直观地得到的，也就是通过定性分析得到的，事实上我们也可以利用定量计算得到，即通过对定

5、积分计算得到.深化升华 几个特殊结论：P(-aX+a)=0.682 6，P(-2aX+2a)=0.954 4,P(-3aX+3a)=0.997 4.2.3原则 由于正态总体几乎总取值于区间(-3a,+3a)之内，而在此区间以外的取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量X只取(-3a,+3a)之间的值，并简称之为3原则. 深化升华 从理论上可以证明，正态变量在(-,+),(-2,+2),(-3,+3)内，取值的概率分别约是68.3%,95.4%,99.7%.由于正态变量在（-,+）内取值的概率是1，容易得出

6、，它在（-3,+3）之外取值的概率是0.3%.于是正态变量的取值几乎都在距x=三倍的标准差之内，这就是正态分布的3原则.问题探究问题1 在高尔顿板试验中，小球第一次与高尔顿板的底部接触时的坐标X服从正态分布吗？ 思路:一个随机变量如果是众多的，互不相干的，不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.在高尔顿板试验中，小球到达底部的坐标X是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布. 探究:判断一个变量是不是服从正态分布，就是看是否为随机变量，并且是否符合正态分布的定义及条件.尽管我们是利用高尔顿板试验近似地得到正态曲线，进而得到正态分布.但正态分布是客观存在的规律，这一试验只是

7、验证了这一问题.而且当试验的次数越多，也就是放入的小于的个数越多，试验就越接近正态曲线.问题2 某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.52)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 ，试求该厂生产的这批零件是否合格？ 思路:由X服从正态分布N(4,0.52)，由正态分布性质可知，正态分布N(4,0.52),在(4-30.5,4+30.5)之外的取值概率只有0.03，而5.7(2.5,5.5).这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批零件不合格. 探究:解决此类问题可以用假设检验的思想方法来解决，其基本步骤可分为三步.

8、一是提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N（,2）;二是确定一次试验中的取值是否落入范围(-3,+3);三是作出判断，如果a(-3,+3)，则接受统计假设，如果a(-3,+3)则拒绝统计假设.要注意小概率事件原理是假设检验的基础.运用小概率事件原理时须注意：这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的；运用“小概率事件原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能.典题热题例1设服从标准正态分布，则（1）P(1.8)=_;(2)P(-1-1.5)=_;(4)P(|2)=_.思路分析： 由标准正态分布的性质直接代入求解：（1）P(1.8)=(1.8)=0.964 1;（2）P(-1-1.

9、5)=1-P(-1.5)=1-(-1.5)=(1.5)=0.993 2;(4)P(|2)=(2)-(-2)=2(2)-1=20.977 2-1=0.954 4.答案：（1）0.964 1 （2）0.774 5 （3）0.993 2 （4）0.954 4. 方法归纳 利用公式(x)=1-(-x)及标准正态分布的几何意义（即其概率为相应的曲边多边形的面积），是将求服从正态分布的随机变量的概率转化为求(x0)的值的关键，进而通过查标准正态分布表即可求出相关的概率.同样，利用公式P（X0,ex1，当=0，即=0时，=ex取得最小值，当=0时，f(x)=取得最大值（3）任取x10,x20,且x1x22,

10、所以,即f(x1)0,x20,且x1f(x2)，即当0时，（）是递减的. 拓展延伸 已知正态总体的数据落在区间（-3，-1）里的概率和落在区间（3，5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为_.思路分析： 正态总体的数据落在这两个区间的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线正方的面积相等，另外，因为区间（-3，-1）和区间（3，5）的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴.由于正态曲线关于直线x=对称， 的概率意义是期望，我们也就找到了正态分布的数学期望了.因为区间（-3，-1）和区间（3，5）关于=1对称，所以正态分布的数学期望是1.答案：1 深化升华 通过例

11、题的解决总结标准正态分步的概率密度函数的一些性质并注意应用.例4已知某车间正常生产某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到他们的尺寸如下：27.3 27.49 27.55 27.23 27.40 27.46 27.38 27.58 27.54 27.68,请你根据正态分布的3原则，帮助质量检验员确定哪些应该判定为非正常状态下生产的.思路分析： 正态变量的取值几乎都在距x=三倍标准之内，所以对落在区间（27.45-30.05，27.45+30.05）之外的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假说. 解：有两个零件不符合落在区间（27.45-30.05，27.4530.05）内，尺寸为27.23和尺寸27.68的两个零件，它们就是在非正常状态下生产的. 深化升华 本例是统计中假设检验的一个实例，依据的准则是正态总体N(,2)在区间(-3,+3)之外取值的概率很小（大约只有0.3%），所以几乎不可能发生.此级HS5的大图若接排前加，若另面则不加